用光学衍射测量细丝和狭缝理论模型的改进

1、用光学衍射测量细丝和狭缝理论模型的改进翻译：06114131 陈宫傣摘要：用光学衍射测量狭缝和细丝的尺寸通常的模型是，这种模型已被广泛应用很长一段时间。在本设计方案中，通过理论分析和实验研究将其改进为新模型，即。两个标准的狭缝和细丝（细圆柱体）经光学衍射方法测量，结果表明新模型更适合描述光学衍射现象，测量细丝直径也更为精确。关键词：直径 狭缝宽度 光学衍射 弗朗和费衍射 细丝 细圆柱体 测量引言我们知道用经典光学理论狭缝光学衍射可以被如下近似的描述为1： （1）其中，是衍射光强，为常数，为狭缝宽度，是衍射角， 则为波长。上述理论常常用于测量细丝直径2，3和狭缝宽度。基于巴俾列原理，细丝可以看作

2、反狭缝，其产生的衍射图像与狭缝相同。为获得狭缝宽度和细丝直径，我们可以测出衍射极小位置，然后根据下面的关系式计算： m=1，2，3， （2）其中m是上面方程中衍射级次。式（2）是由式（1）推演而来，即“通常模型”。然而，我们发现直径的测量结果偏大，而且当用式（2）2测量细丝时，直径随着被测量衍射角增大而增大。再者，式（2）也是的基尔霍夫衍射理论解释狭缝衍射现象结果，实际上亦被经常提到作为理论模型。尽管在此之上作出了一些改进2，但到目前为止没有得到满意的结果。本文设计方案的目的在于修改该理论和改进测量精度。为了分析该模型的精度，我们给出数学推导如下。正如图一所示，我们采用笛卡尔坐标系，原点在孔中

3、心，x轴和y轴在处理平面上，z轴指向包含观察点P的半空间。Q点是一个点源。我们知道在P1点的扰动如下： （3）这里，是光波长，为直线QP 与屏的垂面之间的夹角。此外，从图一我们有 （4） （5）根据弗朗和费衍射理论，孔的线度远小于和。于是，我们得到 （6） （7）忽略和的二次项和高阶小量，将式（6）和式（7）代入（3）中，有 （8）在式（8）中，C是常数，。项，尽管是x、y的函数，把它看作常数而放在积分号前面。式（8）可以简化。让孔成缝，缝宽为b且缝平行于y轴，则在垂直于缝方向上衍射强度可以用式（1）描述。如果满足式（2）的条件，衍射强度减弱至最小。长久以来这种数学模型用于联机测量细丝直径或者

4、狭缝宽度。然而，这种简化形式，尤其在衍射角较大的情况下，R看作常数会产生一个偏移量，因为R对（x，y）的相关性随着衍射角增大而增加。通常模型的简化和新模型的检验另一方面，对于弗朗合费衍射，和项 足够小，所以我们将和按幂级数展开4： （9）忽略和的二次项和高阶小量，我们得到： （10）在上面的式子中，为常数，。比较式（6）和式（7），这种推导更为合理，因为z是独立于（x，y）的变量。根据式（10），狭缝衍射极小的条件可以改进为新的模型： m=， （11）式（2），即通常模型和式（11），即新模型都是在忽略高阶小量的情况下根据基尔霍夫理论得来的。但在通常模型中，有一个额外的近似即R被看作常数。正如

5、图二所示，测量狭缝宽度两种模型之间的差别非常大，尤其在大衍射角度情况下。通模型一般用于测量狭缝宽度和细丝直径。通常模型的一个优势在于刚好等于从狭缝边沿到P点的光程差，那么弗朗和费衍射可以简单地解释。从数学上来看，式（11）比式（2）更为合理。然而，究竟哪一种模型与实验结果更契合呢？我们将在下面给出答案。1. 实验1.1. 测量对象 模型（2）和（11）是由狭缝推导得出的。尽管根据巴俾列原理细圆柱体或细丝可以看作反狭缝，但有所区别，因为圆柱体的表面并不在同一面上。实验的目的是确定那种衍射模型更适合测量细圆柱体直径和狭缝宽度。因此，两个狭缝，狭缝宽度用误差为的光学显微镜校准；两个金属圆柱体，其直径

6、用误差为的PBC-比较仪（INCO）5测量过。将该狭缝和细圆柱体作为标准物来产生衍射图样。狭缝是由用金属涂层在边沿附近涂黑表面的石英玻璃制成。两个圆柱体是金属的。表一有详细介绍。1.2. 系统组成本系统用于光学衍射测量，主要由光源、透镜和线形CCD组成（见图三）。光源是发光二极管并伴有一些额外的光学元件，可以产生平行偏振光，波长为，偏振方向不可控制。线形CCD像素为5000，尺度为，位于焦距的凸透镜后焦平面上作为探测器。另外，CCD中心部分需遮挡以防止照射光强饱和。衍射图样在两边偏角从到可以被线形CCD探测到。1.3. 狭缝宽度测量为获得测量结果，我们可以处理衍射图样然后计算。然而，在测量之前

7、有两个问题必须解决。（i）由衍射图样得出的缝宽与衍射角无关。（ii）透镜与CCD之间的光程必须校准。到目前为止，还没有比根据式（11），用缝1作为标准物来校准它更好的方法。根据标准物我们测量了其他物体。两个缝的测量结果在图四、图五中给出，由于大角度衍射情况下衍射图样质量不好，狭缝宽度不能在整个范围内计算。实现表示通常模型的结果，而虚线（下边）表示新模型的结果。在图五里由新模型对缝2的测量结果与光学显微镜的测量结果相同就不足为奇了，因为系统参量是参考缝1校准的。从图四和图五我们得出结论：（i）通常模型得出的结果比新模型得出的大；（ii）用通常模型计算出的缝宽随着衍射角增大而增大，然而用新模型计算

8、出的缝宽几乎不变；（iii）因为新模型与衍射角的相关性比通常模型稍小，所以新模型比通常模型与实验的一致性更好。1.4. 圆柱体直径的测量图六和图七展示了由两种模型测得的圆柱体衍射结果。我们也能够总结出：（i）两种模型计算出的直径都比实际值大且随着衍射角增大而增大；（ii）新模型得出的直径和新模型与衍射角的相关性都比通常模型得出的小。还有，两种模型测得曲线的线性都比狭缝差，因为圆柱体的形状和不平表面对衍射图样有所影响。结果比实际值大的可能原因：（i）细丝的衍射结果并不完全与狭缝相同；（ii）用INCO校准的直径仅仅是不同圆柱体截面直径中的一个，所以由衍射测得的测量结果是平均值。表二详细地给出实验

9、结果。结论理论和实验表明，新模型比通常模型更适合测量细丝直径和狭缝宽度。测量细丝时，新模型比通常模型更贴切地符合实验结果。感谢本实验在德国Braunschweig PTB完成，当时作者为PTB的访问学者。我们要感谢PTB的F Luedicke博士、O Jusko博士和W Mirande对于我们实验的支持。参考书目【1】 Born M and Wolf E 1980 Principles of Optics (Oxford: Pergamon)【2】 Schmidt S 1976 Ein Beitrag zur Erklaerung der Lichtbeugung am metallischen Kreiszylinder PTB-Mitteilungen 86 23947【3】 Xing X, Li M, Ozono S, Kato J, Bai G, Zheng W and Li C 1987 High accuracy microdimension measurement system by using laser and CCD Measurement 5 914【4】 Goodman J 1968 Introduction