概率论与数理统计第三章随机向量及其独立性02ppt课件

1、3.4随机向量的函数的分布随机向量的函数的分布 设设(X, Y)是二维随机变量是二维随机变量,z = (x, y)是一个是一个已知的二元函数已知的二元函数,如果当如果当(X, Y)取值为取值为(x, y)时时, 随机变量随机变量Z取值为取值为z = (x, y),则称则称Z是二维随是二维随机变量的函数机变量的函数,记作记作Z = (X, Y)问题问题: 知知(X, Y)的分布的分布, 求求Z = (X, Y)的分布的分布.一、离散型随机向量函数的分布一、离散型随机向量函数的分布 XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),(Y

2、X.)2(,)1(的的分分布布律律求求YXYX 例例1 1概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121) 0 , 1( 123 221,122 121,121)2, 3( 122)0 , 3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等价于等价于概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01

3、252353124121122121122122的的分分布布律律分分别别为为所所以以YXYX ,例例2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与 Y 的分布律为的分布律为XXP317 . 03 . 0YYP424 . 06 . 0求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.)()(),(jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318. 012. 042. 028. 0由于由于 X 与与 Y 相互独立相互独立, 所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0YXZ 3557所以所以YXZ P35718. 0

4、54. 028. 0YX421318. 012. 042. 028. 0解解Z=X+Y的所有可能的取值是的所有可能的取值是0,1,2,nYXPnZP., 2 , 1 , 0),(, 2 , 1 , 0),(,的的分分布布律律求求随随机机变变量量分分布布律律分分别别为为，其其是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量已已知知YXZmmqmYPkkpkXPYX 例例3nkknYkXP0,nkknYPkXP0,.2 , 1 , 0, )()(0nknqkpnZPnk,.2 , 1 , 0, )()(0nknqkpnkX, Y 相互独立相互独立nYXPnZP nkknYkXP0,证明证明).(),(),

5、(,2121 YXYXYX则则，是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量设设由前面的例题可知由前面的例题可知, 2 , 1 , 0,!)(, 2 , 1 , 0,!)(2121 mmemYPkkekXPmk ,.2 , 1 , 0 , )()()(0 nknYPkXPnYXPnk例例4)!(!)(21021knekenYXPknknk )!(!210)(21knkeknknk knknkknknne 210)()!( !121 ,)(!121)(21nne ,.2 , 1 , 0n)(21 YX例例5设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分

6、布. 我们可以按照前面的方法来求解，也可以我们可以按照前面的方法来求解，也可以换一种方法换一种方法. 回忆第二章对服从二项分布的随机变量回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释所作的直观解释:同样，同样，Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p. 若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的出现的概率都为概率都为p. 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数出现的次

7、数.每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p.于是于是Z是以是以n1+n2，p为参数的二为参数的二项随机变量，即项随机变量，即Z B(n1+n2, p).解解. iiXmin的的次次数数是是次次试试验验，其其中中试试验验成成功功个个同同学学做做了了如如果果第第验验同同学学重重复复进进行行同同一一个个试试下下每每个个个个同同学学，在在相相同同的的条条件件设设全全班班有有.,21次独立重复试验次独立重复试验进行了进行了全班同学一共全班同学一共是是设每次试验成功的概率设每次试验成功的概率nmmmmp Z试试验验成成功功总总次次数数).,(pmB（续）（续）.Z 21的的概概率率分分布布的的总

8、总次次数数计计算算全全班班同同学学试试验验成成功功nXXX 则则相相互互独独立立服服从从二二项项分分布布如如果果,., 2 , 1),( 21niiXXXnipmBX 从问题的背景出发得到的结果更直接，从问题的背景出发得到的结果更直接，更容易理解更容易理解. 更一般地，更一般地，).,(21pmmmBZn 二、连续型随机变量函数的概率分布二、连续型随机变量函数的概率分布1. 知知(X,Y) f(x,y)，求，求Z = (X,Y)的概率分布的概率分布. ),()(zYXPzZPzFZ若若Z为连续型随机变量为连续型随机变量,则在则在f(z)的连续点处的连续点处)( )(zFzfZZ zyxdxdy

9、yxf),(),( .),0(), 0( , 222的概率密度的概率密度求求且均服从且均服从相互独立相互独立已知已知YXZNYX 2222exp21)(), 0( xxfNXX 解解 22222exp21),( yxyxf 2222exp21)(), 0( yyfNYY例例6X,Y相互独立相互独立).(),(zfzFZZ设设Z的分布函数和概率密度分别为的分布函数和概率密度分别为0)(,0 zFzZ时时当当22YXZ )(,0zZPzFzZ 时时当当22zYXP zyxdxdyyxf22),(,0时时当当 z zyxZdxdyyxzF2222222exp21)( sincosryrx zrdrd

10、rr 2exp21222222exp1z 其其它它 , 00,2exp1)(22zzzFZ 其它其它 , 00,2exp)(222zzzzfZ .)()0(分分布布的的瑞瑞利利服服从从参参数数为为RayleighZ 例例7 知知(X,Y) f(x, y)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度., ba 对对任任意意解解1)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dxdyyxfxbxa),( )(xyz 令令dxdzxzxfba),( dzdxxzxfba ),(xyoayxbyx)(bZaP dzdxxzxfba ),(由概率密度的定义可知，由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概

11、率的概率密度为密度为dxxzxfzfZ),()( 例例7 知知(X,Y) f(x, y)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度., ba 对对任任意意解解2)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dydxyxfybya),( )(yxz 令令dydzyyzfba),( dzdyyyzfba ),(xyoayxbyx)(bZaP 由概率密度的定义可知，由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概率的概率密度为密度为 dyyyzfzfZ),()(dzdyyyzfba ),(dyyyzfzfZ),()(dxxzxfzfZ),()(推论推论 设设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密度分别为的边缘

12、密度分别为fX(x) , fY(y). 若若X和和Y独立独立, 那么那么 dxxzfxfzfYXZ)()()( dyyfyzfzfYXZ)()()(两个随机变量和的概率密度的一般公式两个随机变量和的概率密度的一般公式. .的的概概率率密密度度求求电电阻阻其其他他它它们们的的概概率率密密度度均均为为相相互互独独立立设设串串联联联联接接和和两两电电阻阻在在一一简简单单电电路路中中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxfRRRR 解解的的概概率率密密度度为为由由题题意意知知 R dxxzfxfzfYXR)()()(例例8 . , 0,100,5010)(其其他他xxxf ., 0,

13、100,50)(10)(其他其他xzxzxzf 100100 xzxzox被积函数被积函数的非零域的非零域 100 xz10 xz10(10,10)(10,20)20 dxxzfxfzfYXZ)()()(zox10100 xz10 xz)20,10()10,10(20,010时时当当 zdxxzxzfzZ 050)(105010)(,0210时时当当 zdxxzxzfzZ 101050)(105010)( dxxzfxfzfYXZ)()()(,200时时或或当当 zz. 0)( zfZ ., 0,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其其他他zzzzzzzfR

14、例例9.)1 , 0( 的的概概率率密密度度分分布布，求求上上服服从从均均匀匀相相互互独独立立，均均在在与与若若YXZYX 解解 其它其它, 010, 1)(),1 , 0(xxfUXX 其其它它, 010, 1)(),1 , 0(yyfUYY 其其它它, 010, 1)(xzxzfY 1010 xzxzox11 dxxzfxfzfYXZ)()()(0 xz1xz)1 , 1()2, 1(2. 0)(,20 zfzzZ时时或或当当,10时时当当 zzdxzfzZ 01)(,21时时当当 zzdxzfzZ 21)(11被积函数的非零域被积函数的非零域 其其它它 , 021 ,210 ,)(zzz

15、zzfZ已知已知X, Y 相互独立且均服从标准正态分布，相互独立且均服从标准正态分布，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解2221)(),1 , 0(xXexfNX 2221)(),1 , 0(yYeyfNY dxxzfxfzfYXZ)()()(例例10 dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx 2)(222 21 dxeezxz 222)(4 21 )(2zxt 令令dteetz 22 214 4221ze 2142ze 22)2(2 221ze z,若若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),则则Z=X+Y服从正态分布服从正态分布N(0,2).).,(

16、,).,(),(, 222121222211NZYXZNYNXYX 且且有有仍仍然然服服从从正正态态分分布布则则相相互互独独立立且且一一般般地地，设设 有限个相互独立的正态随机变量的线性有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布组合仍然服从正态分布.一个重要的结论一个重要的结论3.5极大极小值的分布极大极小值的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y), 求求M=max(X,Y) 及及 N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.M=max(X,Y)FM(z) = PMz = Pmax(X,Y)

17、z= PXz,Yz= PXz PYz= FX(z) FY(z) 类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是=1-PXz,YzFN(z) =PNz =Pmin(X,Y) z=1 Pmin(X,Y) z=1- PXzPYz= 1-1-FX(z)1-FY(z) 推论推论的的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max( 2121nnXXXNXXXM )()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(,21nixFnXXXiXni 它它们们的的分分布布函函数数分分别别为为变变量量个个相相互互独独立立的的随随机机是是设设)(1 )(1)(1 1)(21minzFzF

18、zFzFnXXX 则则分布函数分布函数相互独立且具有相同的相互独立且具有相同的若若, )(, 21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF .,(ii),(i),21如如图图所所示示并并联联串串联联连连接接的的方方式式分分别别为为联联接接而而成成统统由由两两个个相相互互独独立立的的子子系系设设系系统统LLL例例1 1XY1L2LXY2L1L密密度度分分别别为为已已知知它它们们的的概概率率的的寿寿命命分分别别为为设设,21YXLL,0, 00,e)( xxxfxX 0, 00,e)(yyyfyY.0, 0的概率密度的概率密度的寿命的寿命方式写出方式写出试分别就以上两

19、种联接试分别就以上两种联接且且其中其中ZL ,0, 00,e)( xxxfxX 0, 00,e)(yyyfyY串联情况串联情况(i),21工工作作就就停停止止系系统统中中有有一一个个损损坏坏时时由由于于当当LLL的的寿寿命命为为所所以以这这时时 L).,min(YXZ , 0, 0, 0,e)(xxxfxX由由 , 0, 0, 0,e1)(xxxFxX ; 0, 0, 0,e)(yyyfyY由由 . 0, 0, 0,e1)(yyyFyY)(1)(1 1)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,e1)(zzz . 0, 0, 0,e )()()(minzzzfz的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,max(YXZ 的的分分布布函函数数为为),max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX . 0, 0, 0),e1)(e1(zzzz并联情况并联情况(ii), 21停停止