人教版_人教版八年级数学关于动点问题的分析

1、人教版八年级动点总是专项练习如图，在直角坐标系中，O是原点，A，B，C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P，Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC，CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动（1）求直线OC的解析式（2）设从出发起，运动了t秒如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围（3）设从出发起，运动了t秒当P，Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的

2、值；如不可能，请说明理由（1）O，C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）当Q在OC上运动时，Q的坐标满足直线OC的解析式，可设Q(m，34 m)，则OQ就是Q运动的路程，利用勾股定理即可利用t表示出m，从而求得Q的坐标；当当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2t，求得CQ的长度，即可求得Q的坐标；（3）当Q点在OC上运动时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t），根据OPQ的面积等于梯形面积的一半，即可得到一个关于t的方程，根据方程的解得情况即可判断；当Q在BC上运动时，Q走过的路程为（22-t），根据梯形OCQP的面积等于梯形O

3、ABC的面积的一半从而列方程求解解：（1）O，C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），设OC的解析式为y=kx+b，将两点坐标代入得：k=3 4 ，b=0y=3 4 x（2）当Q在OC上运动时，可设Q(m，3 4 m)，依题意有：m2+(3 4 m)2=(2t)2，解得m=8 5 t则Q(8 5 t，6 5 t)（0t5）当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2tOC=10，CQ=2t-10Q点的横坐标为2t-10+8=2t-2Q（2t-2，6）（5t10）（3）梯形OABC的周长为44，当Q点在OC上运动时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t）OPQ中，OP边上的高为：(22

4、-t)×3 5 SOPQ=1 2 t(22-t)×3 5 ，S梯形OABC=1 2 (18+10)×6=84依题意有：1 2 t(22-t)×3 5 =84×1 2 整理得：t2-22t+140=0=222-4×1400，这样的t不存在当Q在BC上运动时，Q走过的路程为（22-t），CQ的长为：22-t-10=12-tS梯形OCQP=1 2 ×6(22-t-10+t)=3684×1 2 这样的t值也不存在综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积 如图1所示，在ABC中，点O在AC边上运动，

5、过O作直线MNBC交BCA内角平分线于E点，外角平分线于F点试探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 析解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形因为MNBC，所以ECB=FEC因为ECB=ECA，所以ECA=FEC，所以EO=OC同理可得OF=OC，所以EO=OF又因为点O是AC的中点，所以CA与FE互相平分，所以四边形AECF是平行四边形又因为CE、CF分别是BCA的内、外角平分线，而BCD是一平角，所以ECA+ACF=90º，即ECF=90º所以四边形AECF是矩形 如图2所示，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OABC，BC=14cm，A点

6、坐标为（16，0），C点坐标为（0，2）点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为ts（0t4）（1）求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形（2）求当t为多少时，PQ所在直线将梯形OABC分成左右两部分的面积比为1:2，求出此时直线PQ的函数关系式析解：（1）因为ts后，BP=(14-2t) cm，AQ=4t cm由BP= AQ，得14-2t=4t，t=(s)因此当t=s时，BP= AQ，又OABC，所以四边形PQAB为平行四边形（2）因为C点坐标为（0，2），A点坐标为（16，0），

7、所以OC=2 cm，OA=16 cm所以=(OA+BC)·OC=×(16+14)×2=30(cm2)因为ts后，PC=2t cm，OQ=(16-4t) cm，所以=(2t+16-4t)×2=16-2t由题意可得=10，所以16-2t=10，解得t=3(s)此时直线PQ的函数关系式为y=x-41. 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外

8、一点也随之停止运动，设运动时间为ts（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可解答：解：（1）四边形PQCD平行为四边形PD=CQ24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形（2）过D作DEBC于E则四边形ABED为矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四边

9、形PQCD为等腰梯形QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中2.如图，ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的外角平分线CF于点F，交ACB内角平分线CE于E（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形

10、AECF是正方形，猜想ABC的形状并证明你的结论分析：（1）根据CE平分ACB，MNBC，找到相等的角，即OEC=ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（3）利用已知条件及正方形的性质解答解答：解：（1）CE平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形如图AO=CO，EO=FO，四边形AECF为平行四边形，CE平分ACB，ACE= ACB，同理，ACF= ACG，ECF=ACE+ACF=

11、 （ACB+ACG）= ×180°=90°，四边形AECF是矩形（3）ABC是直角三角形四边形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90°，MNBC，BCA=AOM，BCA=90°，ABC是直角三角形点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用3.如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，

12、动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，PMC为等腰三角形分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知

13、，DQ就是t，即解；ABQN，CMNCAB，CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值然后根据得出的t的值，求出MNC的面积，即可判断出MNC的面积是否为ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值当MP=PC时，在直角

14、三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值综上所述可得出符合条件的t的值解答:解：（1）AQ=3-tCN=4-（3-t）=1+t在RtABC中，AC2=AB2+BC2=32+42AC=5在RtMNC中，cosNCM= = ，CM= （2）由于四边形PCDQ构成平行四边形PC=QD，即4-t=t解得t=2（3）如果射线QN将ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即： （1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）SMNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，SMNC=（1+t）2= ×4×3不

15、存在某一时刻t，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分（4）当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC4-t=2（1+t）解得：t= 当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t= 当PM=PC时（如图3）则有：在RtMNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3 （1+t）2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）当t= ，t= ，t= 时，PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法4.如图，在矩形AB

16、CD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm（x0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P

17、、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MCBC即x+3x20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm所以可以根据这两种情况来求解x的值以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD所以可以根据这些条件列出方程关系式如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MCBC即x+3x20cm，AP=ND即2x=

18、x2，BQ=MC即x=3x，x0这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）因为BQ+CM=x+3x=4（ -1）20，此时点Q与点M不重合所以x= -1符合题意当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5此时DN=x2=2520，不符合题意故点Q与点M不能重合所以所求x的值为 -1（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解

19、得x1=0（舍去），x2=2当x=2时四边形PQMN是平行四边形当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4当x=4时四边形NQMP是平行四边形所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F由于2xx，所以点E一定在点P的左侧若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x解得x1=0（舍去），x2=4由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形点评

20、：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点5.如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可解答：解：（1）MDNC，当MD=N

21、C，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DEBC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容6.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）（1）设BPQ的面积为S，

22、求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点P作PMBC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，若PQ=BQ，在RtPQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；若BP=BQ，在RtPMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出解答：解：（1）过点P作PMBC于M，则四边形PDCM为矩形PM

23、=DC=12，QB=16-t，s= QBPM= （16-t）×12=96-6t（0t ）（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： 若PQ=BQ，在RtPMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得 ； 若BP=BQ，在RtPMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，BPPQ若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得 ，t2=16（不合题意，舍去）综上所述，当 或 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象7.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线OBA运动（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 4