学而思数学四年级超常班程雪9几何计数(二).

1、第九讲几何计数（二）一、相关笔记内容参考本学期第四讲一一几何计数二、例题讲析（基础）学案1你能数出下图中共有多少个三角形吗? 解析：参考模型，先按方向分类，分为正立的和倒立的 正立的：边长为1的：1+2+3+4边长为2的：1+2+3边长为3的：1+2边长为4的：1倒立的：边长为1的：1+2+3边长为2的：1共计：27个解析：参照上题数三角形，我们仍然可以先按方向将平行四边形分类，分为（1）尖朝上；（2）尖朝左；（3）尖朝右。将图形旋转，不难发现这三类平行四 边形是同样多的。我们选取尖朝上的进行计数：1+2+3=6 （个）A类似：（1+2） >2=6 （个）根据左右对称，朝左偏的和朝右偏的

2、一样多四年级春季班（八级下）9.2:1>2=2 （个）类似：1个尖朝上的共计：6+6+2+1=15 （个）原图共有平行四边形：15X3=45 (个)解析：显然，原图可以分成5个标准图形，只是最后别忘了要减去重复的。根 据模型，有(42+32+22+12) X5- (22+12) X4=130 (个)小结：标准” +标准”，要注意-重”图中有多少个长方形?解析：不难看出原图可以分成2个标准图形，这2个图形没有重复，但是产生 了新的长方形，那就加上新产生的就可以了外边的标准图形有2325C C ?=30（个）四年级春季班（八级下）9.3(2) 2526C C ?=150（个）（3）按大小分类

3、：1+4+4+2=11 （个）（4）长方形的限制条件比正方形少，我们能不能不采取分类数，而按照一定的方法得到想要的图形呢？很简单：分四步，先选择长方形的上边，再选择下边， 再左边，再右边，不就确定了一个长方形了吗？上边有3种选择，下边有2种选择，左边有2种选择，右边有4种选择，根据乘法原理，就有32X21=48 （个）例4如图，木板上钉着16个钉子，形成4X4的正方形钉阵，那么橡皮筋一共 能套出多少个矩形，多少个三角形？解析：（1）找矩形，不难想到先分为两大类：正着的，斜着的。正着的：将原图沿水平竖直连线得到正着的长方形显然就是这个图形中包含的所有的长方形。根据模型，2424C C?=36 （

4、个）斜着的：这里有3个，根据对称性，还有3个这样的1个，对称性还有1个斜着的共 有 3X2+2=8 （个）原图共有长方形：36+8=44 （个）（2）三角形只要不共线的三个点就是一个三角形。用所有三个点的组合减去共线的三个点 组合即可。41034316-C C = 516 （个）例5 一个棱长为12的正方体是由1728个木制的棱长是1的小正方体堆垒而 成。那么，你从一点最多能看到棱长是 1的小正方体多少个？解析：这属于一个最值问题，那么我们需要先构造”怎样才能看到最多的小方块呢？不难想到，最多能看到与一个顶点相连的三个面。这三个面共有小正方体：12X12X3-11 >3-2=397 （个

5、）或：11X1X3+11X3+1=397 （个）例6如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周 围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第一层包括6个正方形和6个正三角形，第二层包括6个正方形和18个正三角形，依次类推，第8层中含有正三角形 个数是？（图略）解析：仔细观察，三角形分成了六大块，每一块的整体来说是一个大的正三角 形，这不是我们学过的正三角形的模型吗？问的是第八层，那就是第 8个单数： 8X2-1=15 （个），六块共计 15X5=90 （个）（提高）学案4前8层共用了多少块正三角形的地砖？解析：参照模型，一大块正三角形含有 8X8=64 （块）地砖，那么六块共计/64 >6=384 （块）>44* * 里面的标准图形也有2325C C ?=30 （个）新的有哪些呢？新的长方形一定是跨越两个标准图形的，即有的边只属于大标 准，有的边只属于小标准。不难数出有 12个。所以图中长方形总数一共是 30+30+12=72 （个）。小结：标准” +标准”，要注意+新”例3如图，由20个边长为1的小正方形拼成一个4X5长方形中有一格有求：（1）图中正方形的个数（2）图中长方