第六节多元函数的极值及其求法ppt课件

1、一、二元函数极值的概念一、二元函数极值的概念二、条件极值与二、条件极值与 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法一、二元函数极值的概念一、二元函数极值的概念1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值. . 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. . 例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处处无无极极值值在在函函数数)0 , 0(xyz (3)(2)(1)定理定理 1 1（必要条件必要条件） 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00

2、yx具有偏导数， 且在具有偏导数， 且在 点点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 2 2、二元函数取得极值的条件、二元函数取得极值的条件不不妨妨设设),(yxfz 在在点点),(00yx处处有有极极大大值值, , 则对于则对于),(00yx的某邻域内任意的某邻域内任意 ),(yx),(00yx 都都有有 ),(yxf),(00yxf, , 证证*故当故当0yy ，0 xx 时，时， 有有 ),(0yxf),(00yxf, , 说说明明一一元元函函数数),(0yxf在在0 xx 处处

3、有有极极大大值值, , 必必有有 0),(00 yxfx; ; 类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy. . 推广推广：如果三元函数：如果三元函数 ),(zyxfu 在点在点 ),(000zyxP 具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的有极值的必必 要条件要条件为为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. . 例例如如，点点)0 , 0(是是函函数数 xyz 的的驻驻点点， 但但点点 (0, 0) 不不是是极极值值点点. . 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，

4、均称为函数的驻点均称为函数的驻点. .驻点驻点偏导数存在的极值点偏导数存在的极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：; 0)0 , 0( , xxzyz. 0)0 , 0( , yyzxz0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，则则 (1) 02 BAC时时具具有有极极值值，且且 当当0 A时时有有极极大大值值， 当当0 A时时有有极极小小值值； (2) 02 BAC时时没没有有极极值值； (3) 02 BAC时时可可能能有有极极值值, ,也

5、也可可能能没没有有极极值值， 还还需需另另作作讨讨论论 求求函函数数 ),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤： 第第一一步步 解解方方程程组组 , 0),( yxfx0),( yxfy求求出出所所有有驻驻点点. . 第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx， 求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. . 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值. . 例例4 求函数求函数xyyxyxf3),(33 的极值。的极值。解解,33),(2yxyxfx .33),(2xyyxfy 求解方程组：求解方程组： . 033, 03322

6、xyyx得驻点得驻点 .,22xyyx).1 , 1( ),0 , 0(,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 处处在在, 0)0 , 0( xxfA, 3)0 , 0( xyfB. 0)0 , 0( yyfC92 BAC. 0 因而，驻点因而，驻点. )0 , 0(不是极值点不是极值点,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 处处在在, 0)0 , 0( xxfA, 3)0 , 0( xyfB. 0)0 , 0( yyfC92 BAC. 0 因而，驻点因而，驻点. )0 , 0(不是极值点不

7、是极值点, )1 , 1( 处处在在, 06)1 , 1( xxfA, 3)1 , 1( xyfB. 6)1 , 1( yyfC22)3(66 BAC. 027 因而，驻点因而，驻点. )1 , 1(是是极极小小值值点点. 111311)1 , 1( 33 f极极小小值值与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数例如，显然函数22yxz . )0 , 0(处处取取得得极极小小值值在在处处偏偏导导数数但但函函数数在在 )0 , 0(不存在。不存在。求最值的一般方法函数在求最值的

8、一般方法函数在D D上连续、偏导数上连续、偏导数存在且驻点只有有限个）存在且驻点只有有限个） 将函数在将函数在 D D 内的所有驻点处的函数值及内的所有驻点处的函数值及在在 D D 的边界上的最大值和最小值相互比较，的边界上的最大值和最小值相互比较，其中其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值. .3 3、二元函数的最值、二元函数的最值, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yx

9、yxyyxzy得得驻驻点点 )21,21( 和和 )21,21( , , 解解令令即即边边界界上上的的值值为为零零. . 因为因为 01lim22 yxyxyx 即即边边界界上上的的值值为为零零. . ,21)21,21( z,21)21,21( z所所以以最最大大值值为为21，最最小小值值为为21 . . 因为因为 01lim22 yxyxyx 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件并无其他条件. .例例6 做一个体积为做一个体积为8m3的无盖长方体水箱，尺寸如何时用料最的无盖长方体水箱，尺寸如何时用料最少。少。解：设水箱长为解：设

10、水箱长为x，宽为，宽为y，则高为，则高为,8xy表面积表面积,1616882yxxyxyyxyxxyS 01601622yxSxySyx有唯一驻点有唯一驻点 332222,3332132yS,S,xSyyxyxx 02031163216322 且A,BAC故长、宽、高分别为故长、宽、高分别为33322222,时，用料最省。时，用料最省。 实例：小王有实例：小王有 200 200 元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买买 x x 张磁盘，张磁盘， y y 盒录音磁带达到最佳效盒录音磁带达到最佳效果，果，

11、效果函数为效果函数为 U(x, y) = lnx+lny U(x, y) = lnx+lny 设每设每张磁张磁 盘盘 8 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10 10 元，问他如何分配元，问他如何分配这这 200 200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题的实质：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx二、条件极值拉格朗日乘数法二、条件极值拉格朗日乘数法拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 要要找找函函数数 ),(yxfz 在在条条件件 0),( yx 下下的的可可能能 极极值值点点, , 条件极值：对自变量有附加条件的极值条件极值：对自变量有附加

12、条件的极值拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法可可推推广广到到自自变变量量多多于于两两个个的的情情况况： 要要找找函函数数 ),(tzyxfu 在在条条件件 0),( tzyx ， 0),( tzyx 下下的的极极值值。 . 00000021(x,y,z,t)L,(x,y,z,t)L,(x,y,z,t)LL,(x,y,z,t)LL,(x,y,z,t)LL,(x,y,z,t)LLttzzyyxx求解方程组求解方程组解出解出 x, y, z, t 即得即得可能极值点的坐标可能极值点的坐标.解解例例7 求表面积为求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为

13、设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为体积为 V .则问题就是条件则问题就是条件求函数求函数的最大值的最大值.)0, 0, 0( zyxxyzV令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxL)22()22()22(xyxyLzxxzLzyyzLzyx那那么么, 0 , 0 , 0 . 02222 axzyzxy02222 axzyzxy下，下，即即 )4( 0222)3( )(2)2( )(2)1( )(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz , 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy 令令),222(),(

14、2axzyzxyxyzzyxL)22()22()22(xyxyLzxxzLzyyzLzyx那那么么, 0 , 0 , 0 . 02222 axzyzxy, 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy 于是，于是，. zyx 代入条件，得代入条件，得. 02222 axxxxxx,622ax 解得解得,66ax ,66ay .66az .3666666663maxaaaaV 这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，因为由问题本身可知，所以，所以， 最大值就在此点处取得。最大值就在此点处取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，解解 12 0 020323322zyxyxLyzxLzyxLzyx那那么么 )4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323322zyxyxyzxzyx 由由 (1)，(2) 得得(5) ,32xy