相似三角形常用模型与应用

1、相似证明中的根本模型A字形图A字型，结论:图双A字型，结论:8字型相似三角形模型及应用AD Al ，图反A字型，结论：生AB AC BCACDF图图8字型，结论：A9ODAE图双8字型，结论：EFBGGCADABDEBC，图含正方形aBCa为正方形边长CAB、四点共圆CDABAO，图反8字型，结论：型CDCO1 1AB CDBOCO-，图A8字型，结论:BEEG、S AEDCFBODO1EF图，结论:图BECS ABE SxCDE图一线三等角型结论：出现两个相似三角形图外角分线型,图CA图角分线定理与射影定理AB图角分线型，结论：伴AC图斜射影定理型，结论：BDDCAB2结论:ABACBDCD

2、图射影定理型，结论:BD BC ,2 21、AC AD AB , 2、CDAD BD , 3、 BCBD BA2梅涅劳斯型常用辅助线中考总分值必做题考点一相似三角形【例1】 如图，D、E是 ABC的边AC、AB上的点，且AD AC AE AB，求证：ADE B.AD【例2】 如图，在 ABC中，AD BC于D , CE AB于E , ABC的面积是 BDE面积的4倍，AC 6 , 求DE的长【例3】 如图， ABC中，ABC 60，点P是厶ABC 一点，使得 APB BPC那么 PB CPA, PA 8 , PC 6 ,【例4】 如图，三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG 考点二：相

3、似三角形与边的比例?考点说明：可运用相似三角形模型，常用A字形与8字形【例5】 在 ABC中，BD CE , DE的延长线交BC的延长线于P ,求证：AD BP AE CP.【例6】 如图，在 ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使AD AE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证:BP BDCP CE【例7】 如图，m、N ABC边BC上的两点，且满足 BM MN NC，一条平行于 AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点 D、E和F 求证：EF 3DE 考点三：相似三角形与接矩形?考点说明：接矩形问题是相似三角形中比拟典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】一块直角

4、三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。甲设计的方案如图所示，乙设计的方案如图所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由加工损耗忽略不计【例8】CDBE AABC中，正方形 EFGH的两个顶点 E、F在BC上，另两个顶点 G、H分别在AC、AB上,BC 15, BC 边上的高 AD 10,求 Swefgh【例9】【例10】如图， ABC中，四边形DEGF为正方形,S ADF S CDE 1 , S BEG 3，求ABC的面积.D , E在线段AC , BC上，F , G在AB上，如果如图，

5、ABC中，AC 5，AB 11 , BC 4 5，四边形 DEGF为正方形，其中 D，E在边 AC， BC上，F ，G在AB上，求正方形的边长.【例11】如图，在 ABC中，AB 5 , BC 3 , AC 4，动点E (与点A , C不重合)在 AC边上，EF /AB交BC于F点.(1 )当ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长.(2 )当ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长.(3)试问在AB上是否存在点P，使得 EFP为等腰直角三角形？假设不存在，请简要说明理由； 假设存在，请求出EF的长.考点四：与平行四边形有关的相似问题【例12】如图，平行四边形 ABCD

6、中，过点B的直线顺次与 AC、AD及CD的延长线相交于点 E、F、G，假设BE 5, EF 2，那么FG的长是-【例13】如图， DE / AB , OA2 OC OE，求证：AD / BC .【例14】如图，YABCD的对角线相交于点 0，在AB的延长线上任取一点 E，连接0E交BC于点F ,假设AB a , AD c, BE b ,求 BF 的值.【例15】如图：矩形ABCD的面积是36，在AB , AD边上分别取点E , F，使得AE 3EB , DF 2AF , 且DE与CF的交点为点O，求 FOD的面积。【例16】CD如图，在矩形 ABCD中，E为AD的中点，EF EC交AB于F，连

7、接FC ( AB AE ).(1) AEF与ECF是否相似，假设相似，证明你的结论；假设不相似，请说明理由AB(2) 设 k是否存在这样的k值，使得 AEF s BCF，假设存在，证明你的结论并求出k值;BC考点五【例17】与梯形有关的相似问题如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为 是( )p2 , q2，那么梯形的面积2 2A. 2 p q B.C. p q pq D.2 2p q2 2p q22pq2【例18】如图，梯形ABCD中,AD II BC，两条对角线 AC、BD相交于0，假设SAOD : SCOB1:9，那么假设不存在，说明理由【例 19】如图，在梯形

8、 ABCD 中，AD II BC , AD 3, BC 9 , AB 6,CD 4，假设 EF II BC，且梯形 AEFD 与梯形EBCF的周长相等，求 EF的长.an【例20】：如图，在梯形 ABCD中，AB/CD , M是AB的中点，分别连接 AC、BD、MD、MC ,且AC与MD交于点E，DB与MC交于F .(1)求证：EF/CD(2 )假设 AB a ,CD b，求 EF 的长【例21】如图，在梯形ABCD中,AD II BC , ADa , BC b , E , F分别是AD , BC的中点,AF 交 BE于P , CE交DF于Q，求PQ的长.【例 22】如图，梯形 ABCD 中，

9、AD / BC , A 90 , AB a , AD b, BC 2b ( a b ) , DE DC，DE 交AB于点E，连接EC .(1) 判断 DCE与 ADE , DCE与 BCE是否分别一定相似，假设相似，请加以证明(2) 如果不一定相似，请指出 a、b满足什么关系时，它们就能相似 考点六：相似三角形与实际问题?考点说明：常见的题型如测量树高、楼高，或者路灯下影子长度等问题【例23】小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮助，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分另忧0.5米和15米。小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为 米【例24】如图，王华同学晚上由路灯A下的B处走到C

10、处时，测得影子 CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处时，测得影子 EF的长为2米，王华的身高是 1.5米，那么路灯 A的高度AB等于A.4.5 米B.6米C.7.2 米D.8米考点七：位似?考点说明：位似可以考察作图题，也可以填空题的形式展现，但是难度相对较简单【例25】如图，ABC与 ABC的位似中心为点 O，假设AB2 , AB5，那么ABC与ABC的面积比是 AC与AC的比是AAB【例26】作一个多边形的位似图形，假设相似比，以下说法中错误的选项是A.位似中心可以是多边形的一个顶点B.位似中心可以任意选取C. 所作出位似图形的大小与位似中心的位置无关D. 所作出位似图形的大小与位似中

11、心的位置有关【例27】如图是由边长为 1个单位的小正方形组成的 8 8正方形网格，O为一个定点，在网格中画出一个 直角三角形，要求满足满足以下条件：三个顶点都是小正方形的顶点，O是一条直角边的中点，斜边长.5，且以O为位似中心，相似比为 3的位似图形也在正方形网格，这样的三角形能画出几个？考点八：“旋转相似三角形模型?考点说明：此模型结合了相似与旋转的知识，在很多的几何综合问题中都能看到它的影子，因此也是非 常重要的相似根本模型【例28】如图，在 ABC和 ADE中， BAD CAE， ABC ADEE(1) 写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线)(2) 请分别说明两对三角形相似的理由【例2

12、9】我们给出如下定义：假设一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么称这个四边形为等平方和四边形.(1) 写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：D0(2) 如图(1),在梯形 ABCD中，AD/ BC , AC BD，垂足为0 .求证：2 2 2 2AD BC AB DC，即四边形 ABCD是等平方和四边形.证明:如果将图1中的 AOD绕点0按逆时针方向旋转度090后得到图2，那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形？假设能，请你证明；假设不能，请说明理由.证明:【例30】如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点点 G与C、D不重合，以CG

13、为边在正方形 ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE 我们探究以下图中线段 BG、线段DE的长度 关系及所在直线的位置关系：1猜测如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针或逆时针方向旋转任意角度 ，得到如图2、 如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断.图12将原题中正方形改为矩形如图46),且 AB a ,BCCEka, CG kb ( a b , k 0),第1题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？假设成立，以图5为例简要说明理由.图4EDC3在第2题图5中，连结DG、BE，且 a-，求BE2 DG2的值.2考点九：“双垂直模型?考点说明：射影定理图形，虽然在考纲中并没有要求射影定理，但是还是建议学生熟练掌握，为顺利结题提供方法和思路，以及它的变形【例31】如图，直角 ABC 中，ABAC ,ADBC证明：222ABBD BC ,ACCDBC ,AD BD CD .ABDC【例32】如