高中数学新课标人教A版选修2-2《16微积分基本定理》

1、 微积分基本定理微积分基本定理 如果总是用定义来求定积分，那将非如果总是用定义来求定积分，那将非常麻烦，有时甚至无法计算。而求导数比常麻烦，有时甚至无法计算。而求导数比求定积分容易得多。求定积分容易得多。17世纪，牛顿和莱布世纪，牛顿和莱布尼茨找到两者之间的关系。尼茨找到两者之间的关系。我们还是从爬山说起。我们还是从爬山说起。如图，把地平面取作如图，把地平面取作横坐标轴，横坐标轴，y=F(x)是是爬山路线，并假定曲爬山路线，并假定曲线线y=F(x)与与x轴在同一轴在同一平面内，平面内，A是出发点是出发点,点点B为山顶。为山顶。 在爬山路线的每一点在爬山路线的每一点(x，F(x)，山坡的，山坡的

2、斜率为斜率为F (x)。将区间将区间a，bn等分，记等分，记x=ban 我们来分析每一小段所爬高度与这一小我们来分析每一小段所爬高度与这一小段所在直线的斜率的关系。段所在直线的斜率的关系。 x h k x k +1 x k H F G E不妨以不妨以xk，xk+1为例，为例，EF是曲线是曲线过点过点E的切线，其斜率为的切线，其斜率为F (xi),于于是是GF=F (xK)x。在此段所爬高。在此段所爬高度度hk为为GH，GH=F(xk+1)F(xk)。当当x很小时很小时(即即n很大很大)hk=GHGF. 即即F(xk+1)F(xk)F (xk)x. 这样，我们得到了一系列近似等式：这样，我们得到

3、了一系列近似等式：h1=F(a+x)F(a) F (a)x，h2=F(a+2x)F(a+x)F(a+x)x,h3=F(a+3x)F(a+2x)F(a+2x)x,hn1=Fa+(n1)x(a+(n2)x) F a+(n2)xx，hn=F(b)Fa+(n1)x) F a+(n1)xx， 将上列将上列n个近似等式相加，得到从个近似等式相加，得到从A到到B所爬的总高度所爬的总高度 h=h1+h2+hn=F(b)F(a)10()niF ai xx 由定积分定义可知：当由定积分定义可知：当x0时，时， 10()( )nbaiF ai xxF x dx 这一公式告诉我们：这一公式告诉我们：F (x)从从a到

4、到b的积的积分等于分等于F(x)在两端点的取值之差在两端点的取值之差 微积分基本定理微积分基本定理 如果如果F (x)=f(x)，且，且f(x)在在a，b上可积，则上可积，则 ( )( )( )baf x dxF bF a其中其中F(x)叫做叫做f(x)的一个的一个原函数原函数。 由于由于F(x)+C=f(x)，F(x)+C也是也是f(x)的原的原函数。其中函数。其中C为常数。为常数。 一般地，原函数在一般地，原函数在a，b上的改变量上的改变量F(b)F(a)简记作简记作F(x) ，因此，因此微积分基本定微积分基本定理理可以写成形式：可以写成形式：ba( )( )( )( )bbaaf x d

5、xF xF bF a例例1.求求y=sinx在在0,上阴影部分的面积上阴影部分的面积S.解：解：S=0sin xdx 因为因为(cosx)=sinx，所以所以cosx是是sinx的一个原函数，的一个原函数，因此因此 0sin xdx=(cos)(cos0)=1+1=2例例2求曲线求曲线y=sinx与与x轴在区间轴在区间0，2是是所围成阴影部分的面积所围成阴影部分的面积S。解：由例解：由例1知知 =2，0sin xdx又可以求得又可以求得 =2，正弦函数在，正弦函数在区间区间，2上的积分为负值，因此正弦上的积分为负值，因此正弦函数在函数在0，2上的定积分为上的定积分为0，但是它不，但是它不等于我

6、们所求的阴影等于我们所求的阴影部分的面积，部分的面积，2sin xdx所以所以S= +| | =2+2=40sin xdx2sin xdx例例3计算：（计算：（1） ；（2）411dxx220(1)xdx解：（解：（1）因为）因为1(2)xx所以所以 411dxx2 42 12（2）因为）因为 32()13xxx所以所以 220(1)xdx320142()4333xx例例4计算计算:120 x dx解：由于解：由于 是是 y=x2的一个原函数，的一个原函数， 313x所以所以 120 x dx3 101|3x3311110333例例5汽车以每小时汽车以每小时32公里速度行驶，到公里速度行驶，到

7、某处需要减速停车。设汽车以等减速度某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8米米/秒秒2刹车，问从开始刹车到停车，刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？汽车走了多少距离？解：首先要求出从刹车开始到停车经过了解：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。多少时间。 当当t=0时，汽车速度时，汽车速度v(0)=32公里公里/小时小时 = 米米/秒秒8.88米米/秒秒. 32 10003600 刹车后汽车减速行驶，刹车后汽车减速行驶，其速度为其速度为 v(t)=v(0)at=8.881.8t. 当汽车停住时，速度当汽车停住时，速度v(t)=0， 故从故从v(t)=8.881.8t=0解得解得 秒秒.8.88t=4.931.8于是在这段时间内，汽车所走过的距离是于是在这段时间内，汽车所走过的距离是4.934.9300(t)(8.88 1.8t)svdtdt4.93201(8.881.8t )21.902t米米 即在刹车后，汽车需走过即