椭圆知识点及基础训练题.doc

1、椭圆知识点一?椭圆及其标准方程1 .椭圆的定义：平面内与两定点Fi,凡距离的和等丁 ？常数2a（|Ff2|）的点的轨迹叫做椭 圆，即点集M二P| |PFj + |PF2二2a, 2a>|FiF2|=2c;这里两个定点已，F?叫椭圆的焦点,两焦 点间的距离叫椭圆的焦距 2c。（267=闪佗|时为线段证,2a<F F2无轨迹）。41、2e-= cT a2. 标准方程：c4 =a2-b2e = 0是圆；e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近丁圆；e越接近于1（e越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和

2、一定直线（准线）的距离的比为常数 e （0<e<l）的点的轨迹为椭圆。（空1=£）焦点在x轴上:2等凝点在y轴上:22x y 工+ = 1a b,.c、焦点 F (土 c, 0)(a>b>0);(a>b>0);焦点 F (0,注意：在两种标准方程中，总有 a>b>0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示:2 2+ = 1 或者 mx2+ny2=1 m n的简单几何性质：1 ?范围(1)椭圆兰+ 乂 =1 (a>b>0)横坐标-aAxAa ,纵坐标-bWyWb a2 b22 2(2)椭圆 2_ + 二=1 (

3、a>b>0)横坐标-bWxWb,纵坐标-aWyWa / b 22?对称性：椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3?顶点(1)椭圆的顶点:A (-a, 0), A2 (a, 0), Bt (0, -b), B2 (0, b)(2)线段AA, Bb分别叫做椭圆的长轴长等 T 2a,短轴长等T2b,脑口 b分别叫 做椭圆的长半 轴长和短半轴长。4.离弊(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比2,即£称为椭圆的离心率，记作e(Xe<l), 2a a焦点在X轴上:二十匚=1 （a>b>0）准线方程:a

4、2 trx = ±-焦点在y轴上：=1 （a>b>0）准线方程：aV = ± Or点 P（xo,yo）在椭圆一+ = K?>/八>0）的夕卜部 O + jT>1.CTv cid （5?椭圆的的内外部22入。（1）点P（/,小）在椭圆三十=1（。>力> 0）的内部O 二+尸 < 16.儿何性质（1）最大和（ZFf“一喃蛇尸&2尸2, ; （2）最大距离最小偏离椭圆知识点扩充1 .点P处的切线PT平分APF|F2在点P处的外角.2 . PT平分APF|F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径 的

5、 圆，除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PR为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5 .若几（勺，儿）在椭圆刍+存=1上，则过几的椭圆的切线方程是雪 +臂=1.crcr lr=1的不平行于对称轴的弦，M (X0,y0)为AB的中点，则2%= AM.AB是椭圆养6T b%即KAB2、若腋如在椭圆手+召“内，则被P。所平分的中点弦的方程是 M4-13、若就？ 0,兀)在椭圆£ + £1小，则过Po的弦中点的轨迹方程是笔+可=辔+罟. cr trtr it a" b"练习题一?楠圆定义：1?方程J (x_2) 2

6、+) '2 +亿+ 2+y2 =10化简的结果是 2.若44BC的两个顶点A (-4,0) ,B (4,0) ,ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是 r2 J3.已知椭圆一+ -=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为 3,则P到另一焦点距离为一16 9二？利用标准方程确定参数1?若方程 一+ 4=1 (1)表示圆，则实数 k的取值是 ? 5 k k 3(2) 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数 k的取值范围是 .(3) 表示焦点在y 型上的椭圆，则实数 k的取值范用是 ?(4) 表示椭圆，则实数 k的取值范围是.2 .椭圆4x2+25/= 100的长轴长等于 ,短轴长等于 ,顶点坐标是

7、，焦点的坐标是，焦距是 离心率等于 ,2 23 .椭圆一+ A- = 1的焦距为2,则加二 o 4 m4 .椭圆5, +灯2=5的一个焦点是(0,2),那么"o三？待定系数法求椭圆标准方程1. 若椭圆经过点( -4,0) , ( 0,-3)，则该椭圆的标准方程为 2. 焦点在坐标轴上，且/=13, c2=n 的椭圆的标准方程为3. 焦点在兀轴上， a :b = 2 : , c = y6 椭圆的标准方程为 4. 已知三点 P (5, 2)、 F、 (-6, 0)、 F2 (6, 0),求以片、心为焦点且过点P 的椭圆的标 准方程；变式：求与椭圆4X2+9/=36 共焦点，且过点(3,-

8、2) 的椭圆方程。. 焦点三角形2 2椭圆壬+知口的焦点为片、是椭圆过焦点的弦，则AA硒的周长是2 .设片，尸2为椭圆16/+25.二400的焦点，P为椭圆上的任一点，则 APFF2的周长是多少？ PF F2的面积的最大值是多少？3 . 设点P是椭圆©卷舌”上的-点，皿是焦点，若，和是直角，贝肌的面积 为若 ZFjPA =60 ;变式：己知椭圆9" +16),2 =14律点为F、F2, P是椭圆上一点.APF,F2 的面积 .五 . 离心率的有关问题22|1.椭圆三+ 21 = 1的离心率为_L ,则4m22. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 120 °

9、 ,则此椭圆的离心率幺为 3. 椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4. 设椭圆的两个焦点分别为斥、尺，过尺作椭圆长轴的垂线交椭圆丁点只若 FPFz 为等腰 直 角三角形，求椭圆的离心率。5 .在中，ZA = 30 ：IAB 1= 2,5A. wc=V3?若以A, B为焦点的椭圆经过点 C,则该 椭圆的离心率幺二？ 六 . 最值问题 :17椭圆罕+ / = 1两焦点为比、F2,点P在椭圆上，则IPF. | - |PF2|的最大值为，最小值为 乂 2 v22、椭圆25+； 6 1两焦点为R、F2, A(3, 1)点P在椭圆上，则iPFj + 1PA1的最大值为 、最小值

10、?为r23、已知椭圆一:b=i, A(l, 0), P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 C4?设F是椭圆兰+，341的右焦点，定点 A(2, 3)在椭圆内，在椭圆上求一点 P使|PA|+2|PF晨32 小，求 P 点坐标_最小值 ?同步测试1 已知 Fi(-8, 0), F2(8, 0),动点 P 满足 IPF|H-IPF2I=16，则点 P 的轨迹为()A圆B椭圆C线段D直线V2 V22、椭圆L = i 左右焦点为F、F2, CD 为过FI 的弦，则ACDFj 的周长为 1693已知方程：+=1-k1表示椭圆，则k的取值范围是(A-l<k<lBk>0CkAOD

11、k>l 或 k -14、 求满足以下条件的椭圆的标准方程(1) 长轴长为10,短轴长为6 (2) 长轴是短轴的 2倍，且过点 (2, 1)(3) 经过点 (5, 1), (3, 2) 5 若/ABC顶点B、C坐标分别为(-4, 0), (4, 0), AC、AB边上的中线长Z和为30,则 /ABC 的重心 G 的轨迹方程为x2 v2F2,过点FI作x轴的垂线交椭圆于P点6椭圆葡=|(a> >0)的左右焦点分别是闩端HFABCD的髓赞BF C、D两点的椭圆的的离心率为2 28 已知椭圆的方程为 y + A- = l, P 点是椭圆上的点且ZF,PF2 =60。 , 求迟的面积

12、9?若椭圆的短轴为AB,它的一个焦点为F”则满足AABFi为等边三角形的椭I员|的离心率为10.椭圆一+ = 1上的点P到它的左焦点的距离是12,那么点P到它的右焦点的距离是100 362 211. 已知椭圆 + ±1（。5）的两个焦点为片、笃，且,弦 AB 过点片，则的周长2 212-在椭圆知子 | 上求一点匕使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍13、 中心在原点、长轴是短轴的两倍，一条准线方程为龙 =4,那么这个椭圆的方程为_。14、 椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离，则椭圆的离心率十二?15、椭圆的中心在原点, 焦点在 X 轴上，准线方程为 y = 1±8

13、,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和 14,则椭圆方程为 8.5，则P到左焦点的距离为16.已知P是椭圆9/+25于=900上的点，若P到椭圆右准线的距离为18、 椭 圆 AL + 2i =i 与椭圆Al + 2i=xa>0 ）有17-椭圆£ +2），内有两点她B （3,o） ,P为椭圆上一点，若使 PA为3223（A）相等的焦距 （B）相同的离心率（C）相同的准线最小，贝最小值（ D ）以上都不对19、椭圆兰+艺=1与，=i （0<k<9）的关系为25 99 一久 25-/1D ）有相等的长轴、短（A）相等的焦距（B）相同的的焦点（C）相同的准线轴20、椭圆兰+ 21 = 1上一点P到左准线的距离为2,则点P到右准线的距离为62 2 221、点P为椭圆一+ 二 1型勺动点，片，斤为椭圆的左、右焦点，则两？两的最小值为25 16? ，此时点 P 的坐标为 .6 .若A(xo9yo)在椭圆二+与二1夕卜，则过Po作椭圆的两条切线切点为Pi、P2,则切点弦CT DP&2的直线方程是署+缨=1?7 .椭圆*+笃=1(a>b>0)的左右焦点分别为FhF2,点P为椭圆上任意一点Z.FxPF2=7,则椭圆的焦点角形的面积为 S甘阳=2伽乙.2椭圆鼻+笃=1 (a>b>0)的焦半径公式：I MFx = a+ ex Q9 M