二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含答案(共31页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上1如图所示，抛物线y=ax2+bx3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PEBC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由2如图，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与

2、y轴相交于点E（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q与点Q关于直线AM对称，连接M Q，P Q当PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的时，求APQM面积3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），且OC=OB，tanACO= （1）求抛物线的解析式；（

3、2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PHAD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由4如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x10x2），与y轴交于点C（0，3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tanOAC=3（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点

4、D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由5已知：如图，直线y=x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（1，0）（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DEBC于E，作DFy轴交BC于F，求DEF周长的最大值（3）在满足第问的条件下，在线段BD上

5、是否存在一点P，使DFP=DBC若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由6如图，抛物线y=x2+（m1）x+m（m1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FGAD于G，FHx轴交直线AD于H，求FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式7如图，已知抛物线y=x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称

6、（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EFx轴，EGy轴并交直线AD于点F、G，求EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由8如图，抛物线y=x2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PEy轴，交直线AC于点E，过点P作PGAC，垂足为G，当PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|

7、QPQC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QPQG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y与直线AD相交的一个交点为A，在平移的过程中，是否存在点A，使得点A，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由9如图，抛物线y=x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；过点P作PDBC于点D，作PMy轴交直线BC于点M，当PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；在的条件下，连接AP与y轴交

8、于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将AOC顺时针旋转60°得到AOC，将AOC沿直线OC平移，记平移中的AOC为AOC，直线AO与x轴交于点F，将OCF沿OC翻折得到OCF，当CCF为等腰三角形时，求此时F点的坐标参考答案与试题解析1如图所示，抛物线y=ax2+bx3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PEBC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求PEF周长的

9、最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）把A（1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx3，得到，解得，抛物线的解析式为y=x22x3（2）如图1中，连接PB、PC设P（m，m22m3），B（3，0），C（0，3），OB=OC，OBC=45°，PFOB，PFE=OBC=45°，PEBC，PEF=90°，PEF是等腰直角三角形，PE最大时，PEF的面积

10、中点，此时PBC的面积最大，则有SPBC=SPOB+SPOCSBOC=3（m2+2m+3）+3m=（m）2+，m=时，PBC的面积最大，此时PEF的面积也最大，此时P（，），直线BC的解析式为y=x3，F（，），PF=，PEF是等腰直角三角形，EF=EP=，CPEF最大值=+（3）如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，3）点P横坐标为2，如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PFy轴于N，MEx轴，PEy轴易知PFNPEM，PF=PE，设P（m，m22m3），M（1，4），m=m22m3（4），m=或（舍弃），P点横坐标为所以满足条件的点P

11、的横坐标为2或2如图，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q与点Q关于直线AM对称，连接M Q，P Q当PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的时，求APQM面积【解答】解：（1）令x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3，A（1，0

12、），C（0，3），点D，C关于抛物线的对称轴对称，D（2，3），直线AD的解析式为：y=x+1；（2）设点F（x，x2+2x+3），FHx轴，H（x2+2x+2，x2+2x+3），FH=x2+2x+2x=（x）2+，FH的最大值为，由直线AD的解析式为：y=x+1可知DAB=45°，FHAB，FHG=DAB=45°，FG=GH=×=故FGH周长的最大值为×2+=；（3）当P点在AM下方时，如图1，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的，PQ必过AM中点N（0，2），可知Q在y轴上，易知QQ

13、的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，APQM是矩形，易得直线AM解析式为：y=2x+2，MQAM，直线QQ：y=x+，4+p=×2+，解得：p=，PN=，SAPQM=2SAMP=4SANP=4××PN×AO=4×××1=5；当P点在AM上方时，如图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），PM Q与APQM重合部分的面积是APQM面积的，PQ必过QM中点R（，4+），易得直线QQ：y=x+p+5，联立，解得：x=，y=，H（，），H为QQ中点，故易得Q（，），由P（0

14、，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（）x+p，将Q（，）代入到y=（）x+p得：=（）×+p，整理得：p29p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），P（0，7），PN=5，SAPQM=2SAMP=2××PN×|xMxA|=2××5×2=10综上所述，APQM面积为5或103如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），且OC=OB，tanACO= （1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛

15、物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PHAD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）点A的坐标为（1，0），OA=1又tanACO=，OC=4C（0，4）OC=OB，OB=4B（4，0）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x4）将x=0，y=4代入得：4a=4，解得a=1，抛物线的解析式为y=x23

16、x4（2）抛物线的对称轴为x=，C（0，4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，D（3，4）设直线AD的解析式为y=kx+b将A（1，0）、D（3，4）代入得：，解得k=1，b=1，直线AD的解析式y=x1直线AD的一次项系数k=1，BAD=45°PM平行于y轴，AEP=90°PMH=AME=45°MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM设P（a，a23a4），M（a1），则PM=a1（a23a4）=a2+2a+3，PM=a2+2a+3=（a1）2+4，当a=1时，PM有最大值，最大值为4MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4（

17、3）如图1所示；当EGN=90°设点G的坐标为（a，0），则N（a，a23a4）EGN=AOC=90°，时，AOCEGN=，整理得：a2+a8=0解得：a=（负值已舍去）点G的坐标为（，0）如图2所示：当EGN=90°设点G的坐标为（a，0），则N（a，a23a4）EGN=AOC=90°，时，AOCNGE=4，整理得：4a211a17=0解得：a=（负值已舍去）点G的坐标为（，0）EN在EP的右面，NEG90°如图3所示：当ENG=90°时，EG=EG××=（1）×=点G的横坐标=4.034，点G不在EG

18、上故此种情况不成立综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）4如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x10x2），与y轴交于点C（0，3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tanOAC=3（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及PMN的周长的最大值；若不存在，

19、请说明理由【解答】解：（1）在RtAOC中，tanAOC=3，且OC=3，OA=1，则A（1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为y=a（x3）（x+1），将点C（0，3）代入上式得3a=3，解得：a=1，抛物线的解析式为y=（x3）（x+1）=x22x3；（2）点B（3，0）、C（0，3），则BC=3，SBCD=×3×=3，设D（x，x22x3），连接OD，SBCD=SOCD+SBODSBOC=3x+3（x2+2x+3）×3×3=3，解得x=1或x=2，则点D的坐标为（1，4）

20、或（2，3）；（3）设直线AE解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、E（0，）代入得：，解得：，则直线AE 解析式为y=x，AE=，设P（t，t22t3），则M（t，t），PM=t（t22t3）=t2+t+，作PGMN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，由PMGAEO得=，即=，MG=PM=NG，CPMN=PM+PN+MN=PM=（t2+t+）=t2+6=（t）2+，当t=时，CPMN取得最大值，此时P（，）5已知：如图，直线y=x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（1，0）（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DEBC于E，作D

21、Fy轴交BC于F，求DEF周长的最大值（3）在满足第问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使DFP=DBC若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）直线y=x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，a=1，b=1，c=2，抛物线的解析式为：y=x2+x+2，（2）设D（x，x2+x+2），F（x，x+2），DF=（x2+x+2）（x+2）=x2+2x，所以x=1时，DF最大=1，OB=OC，OBC为等腰直角三角形，DEBC，DFy轴，DEF为等腰直角三角

22、形，DEF周长的最大值为1+（3）如图，当DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）延长DF交x轴于H，作PMDF于M，则DB=，DH=2，OH=1当DFP=DBC时，DFPDBF，DP=，=，PM=，DM=，P点的横坐标为OH+PM=1+=，P点的纵坐标为DHDM=2=，P（，）6如图，抛物线y=x2+（m1）x+m（m1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FGAD于G，FHx轴交直线AD于H，求FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM

23、，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式【解答】解：（1）把C（0，3）代入y=x2+（m1）x+m得m=3，抛物线的解析式为：y=x2+2x+3，（2）令y=x2+2x+3=0，解得：x1=1，x2=3，A（1，0），B（3，0），C（0，3），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，D（1，2），AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E，OA=OE=1，EAO=45°，FHAB，FHA=EAO=45°，FGAH，FGH是等腰直角三角形，设点F坐标（m，m2+2m+3），点H坐标（m2+2m+2，m2+2m+

24、3），FH=m2+m+2，FGH的周长=（m2+m+2）+2×（m2+m+2）=（1+）（m）2+FGH的周长最大值为；（3）抛物线y=x2+2x+3的定点坐标为（1，4），直线AM的解析式为y=2x+2，直线l垂直于直线AM，设直线l的解析式为y=x+b，与坐标轴交于P、Q两点，直线l的解析式为y=x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），设R（1，a），PR2=（1）2+（ab）2，QR2=（2b1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，PR2=QR2，即（1）2+（ab）2=QR2=（2b1）2+a2，2a=3b4，

25、PR2+QR2=PQ2，即（1）2+（ab）2+（2b1）2+a2=5b2，2a22ab4b+2=0，联立解得：，直线l的解析式为y=x+或y=x+27如图，已知抛物线y=x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EFx轴，EGy轴并交直线AD于点F、G，求EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将x=0代入得y=

26、3，C（0，3）抛物线的对称轴为x=1，C（0，3），D（2，3）把y=0代入抛物线的解析式得：0=x2+2x+3，解得x=3或x=1，A（1，0）设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：，解得：k=1，b=1，直线AD的解析式为y=x+1（2）如图1所示：直线AD的解析式为y=x+1，DAB=45°EFx轴，EGy轴，GEF=90°，GFE=DAB=45°EFG是等腰直角三角形EFG的周长=EF+FG+EG=（2+）EG依题意，设E（t，t2+2t+3），则G（t，t+1）EG=t2+2t+3（t+1）=（t）2+EG的最大值为EFG的周长的

27、最大值为+（3）存在以AD为平行四边形的边时，PQAD，PQ=ADA，D两点间的水平距离为3，P，Q两点间的水平距离也为3点Q的横坐标为3或3将x=3和x=3分别代入y=x2+2x+3得y=0或y=12Q（3，0）或（3，12）当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M，A（1，0），D（2，3），M为AD的中点，M（，）设点Q的横坐标为x，则=，解得x=1，点Q的横坐标为1将x=1代入y=x2+2x+3得y=4这时点Q的坐标为（1，4）综上所述，当点Q的坐标为Q（3，0）或（3，12）或（1，4）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形8如图，抛物线y=x2x+3与x轴相交于A、B

28、两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PEy轴，交直线AC于点E，过点P作PGAC，垂足为G，当PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QPQC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QPQG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y与直线AD相交的一个交点为A，在平移的过程中，是否存在点A，使得点A，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）令y=0则，x2x+3=0，

29、解得x=3或x=2，A（3，0），B（2，0）设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：，解得：k=，b=，直线AC的解析式为y=x+（2）延长PE交OA与点F，则PFOAPFOA，PGAC，EFA=PGE又PEG=FEA，EAF=EPGOC=，AO=3，tanGPE=tanEAF=sinGPE=，cosGPE=PG=PE，EG=EPPEG的周长=PE+PG+EG=（1+）PE当PE取得最大值时，PEC的周长最大设点P的坐标为（t，t2t+3），则点E的坐标为（t，t+）点P在点E的上方，PE=t2t+3（t+）=t2t+=（t+1）2+2当t=1时，PE取得最大值，此时PG

30、E的周长取得最大值点P（1，3），点E的坐标为（1，1）PE=31=2PG=PE=根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点P、G、Q三点共线时，|QPQG|的值最大，此时|QPQG|=PG=（3）如图所示：PGE=PFN，P=P，PEGPNF，=，即=2，解得FN=1.5点N的坐标为（，0）设PN的解析式为y=kx+b，将点P和点N的坐标代入得：，解得：k=2，b=1M（0，1）设直线AD的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：3m+3=0，解得m=1，直线AD的解析式为y=x+3设点A的坐标为（x，x+3）当PM=PA时，=，整理得：x2+x2=0，解得x=1或x=2，点A的坐标为（1，4）或（2，1）当PM=MA时，=，整理得：2x2+4x1=0，解得：x=或x=，点A的坐标为（，）或（，）当AP=AM时，=，整理得：2x=3，解得：x=，A（，）综上所述，点A的坐标为（1，4）或（2，1）或（，）或（，）或（，）9如图，抛物线y=x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P