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文档简介

1、 微分方程的解 使方程成为恒等式的函数. 通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件: , ", y ( n 1 ( x0 = y0 ( n 1 y ( x0 = y0 , y ( x0 = y0 引例1 通解: 特解: dy dx = 2x x =1 = 2 d2y y 2 引例2 y = x +C y = x2 +1 = 20 s t =0 = 0 , 2 s = 0.2 t + C1t + C2 s = 0.2 t 2 + 20 t 机动 目录 上

2、页 下页 返回 结束 dx 2 = 0.4 d s d t t =0 例1. 验证函数 x = C1 cos k t + C2 sin k t (C1 , C2为常数 d2 x 是微分方程 2 + k 2 x = 0 的解, 并求满足初始条件 dt dx x t =0 = A , = 0 的特解 . dt t = 0 d2 x 2 2 解: = C1k cos kt C2 k sin kt 2 dt = k 2 ( C1 sin kt + C2 cos kt = k 2 x 这说明 x = C1 cos k t + C2 sin k t 是方程的解 . C1 , C2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解. 利用初始条件易得: C1 = A , C2 = 0 , 故所求特解为 x = A cos k t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 已知曲线上点 P(x, y 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y 处的法线方程为 1 Y y = ( X x y 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 y P x x X = x + y y x + y y = x , 即 y y + 2 x = 0 思考与练习 P263 (习题12-1 Q o 1 ;

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