第八章变形及刚度计算改ppt课件

1、第八章第八章 变形及刚度计算变形及刚度计算第八章第八章变形及刚度计算变形及刚度计算主讲教师：余茜主讲教师：余茜 8 1 8 1 轴向拉伸杆的变形轴向拉伸杆的变形 8 2 8 2 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 8 3 8 3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8 4 8 4 简单超静定问题简单超静定问题目目 录录第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形FF一、轴向拉压的变形分析一、轴向拉压的变形分析FFl0 lll1 1ll1ld1dd1d轴向拉伸：轴向拉伸：纵向伸长

2、、横向缩短纵向伸长、横向缩短纵向伸长量：纵向伸长量：横向缩短量：横向缩短量：0 ddd1 0 lll1轴向压缩：轴向压缩：纵向缩短、横向伸长纵向缩短、横向伸长纵向缩短量：纵向缩短量：横向伸长量：横向伸长量：0 ddd1注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不一注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不一的杆件，因此引入应变的概念。的杆件，因此引入应变的概念。FFFFl1ll1ld1dd1d lll11、纵轴向变形量：、纵轴向变形量：2、横向变形量：、横向变形量： ddd1二、线应变二、线应变轴向线应变：轴向线应变：线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长，线应变：

3、将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长，称之为线应变。称之为线应变。ll 横向线应变：横向线应变：dd 3、线应变的符号约定：、线应变的符号约定： 与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 上式表明，在线弹性范围内轴向拉、压杆件的上式表明，在线弹性范围内轴向拉、压杆件的伸长或缩短量伸长或缩短量 l ，与轴力，与轴力 FN和杆长和杆长 l 成正比成正比,与与EA 成反比。成反比。lEAFlEllNEA抗拉压刚度抗拉压刚度 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形AFNE 由胡克

4、定律由胡克定律且且轴向线应变：轴向线应变：ll EAlFlNEAlFlNE弹性模量弹性模量EAEA抗拉压刚度抗拉压刚度 l 表示长为表示长为 l的杆件在轴力的杆件在轴力 FN的作用下的伸长量或缩短量的作用下的伸长量或缩短量条件：杆件在条件：杆件在 l长范围内长范围内EA和和FN均为常数。均为常数。EA(x)(x)dxF(dx)NlNlEA(x)(x)dxF(dx)Ln1iiiiNEAlFL 当当EAEA和和FNFN在杆长范围内分段为常数时在杆长范围内分段为常数时N（x）xd x(x)FN+FN图图 当当EAEA和和FNFN在杆长范围内为位置的函数时在杆长范围内为位置的函数时 8-1 8-1 轴

5、向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形三、泊松比三、泊松比 当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。FFb1h1bh横向线应变：横向线应变：bbbbbhhhhh11ll 纵向线应变：纵向线应变：实验表明，对于同一种线弹性材料，存在如下关系：实验表明，对于同一种线弹性材料，存在如下关系： 称为泊松比，量纲为一称为泊松比，量纲为一负号表示纵向与横负号表示纵向与横向变形的方向总是相反向变形的方向总是相反l1l 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形40KN20KN10KN+50kN20k

6、N30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3m1m。求求杆杆的的总总变变形形。弹弹性性模模量量材材料料的的积积，受受力力如如图图。已已知知杆杆的的长长度度、截截面面面面例例MPa10125 .EEAlFLLLLLLNDECDBCABiAE分析：多力作用下，分析：多力作用下，整个杆长范围内轴力整个杆长范围内轴力分段为常数，只能分分段为常数，只能分段求变形，再求和。段求变形，再求和。 又因为又因为BD段内虽然轴力段内虽然轴力为常数，但截面面积又分两为常数，但截面面积又分两段，所以要分段，所以要分4段求变形。段求变形。FN图图 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形40KN20

7、KN10KN+50kN20kN30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3m1m。求求杆杆的的总总变变形形。弹弹性性模模量量材材料料的的积积，受受力力如如图图。已已知知杆杆的的长长度度、截截面面面面例例MPa10125 .EEAlFLLLLLLNDECDBCABiAEFN图图0.762mm250102.11011040L533AB0.381mm250102.11021010L533BC0.238mm200102.11011010L533CD 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形40KN20KN10KN+50kN20kN30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3

8、m1m。求求杆杆的的总总变变形形。弹弹性性模模量量材材料料的的积积，受受力力如如图图。已已知知杆杆的的长长度度、截截面面面面例例MPa10125 .EEAlFLLLLLLNDECDBCABiAEFN图图1.572mm1.4290.2380.3810.762LAE1.429mm200102.11031020L533DE即杆被压短了即杆被压短了1.572mm1.572mm 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形下下的的伸伸长长量量。求求自自重重作作用用长长抗抗拉拉刚刚度度等等直直杆杆容容重重为为例例lEA, ayqy(y)FNyqLqEA11 GAlql b c解：解：把自重简化为沿着轴

9、线均匀分布的线荷载，集度把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度qA任意取一个截面任意取一个截面11，画受力图。轴力，画受力图。轴力qy(y)FN在在11截面处取出一微段截面处取出一微段dy作为研究对象，受力如图。作为研究对象，受力如图。由于取的是微段，由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，认为在微段可以忽略，认为在微段dy上轴上轴力均匀分布常数）力均匀分布常数）dy(y)dF(y)FNNqy(y)FN 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形下下的的伸伸长长量量。求求自自重重作作用用长长抗抗拉拉刚刚度度等等直直杆杆容容重重为为例例lEA, ayqy(y)FNyqLqEA11dy c

10、2EAGL2EALAL2EAALL2(y)dF(y)FNNqy(y)FNEA(y)dyFLdN2EAAL2EAqLEAqydyEA(y)dyFLdL22L0LNL 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 ayqy(y)FNyqLqEA11dy c2EAGL2EALAL2EAALL2(y)dF(y)FNNqy(y)FN结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集中力作用在杆端所引起的变形量的一半。中力作用在杆端所引起的变形量的一半。LEAG令取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作令取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作用在自由

11、端，此时杆件的伸长量为用在自由端，此时杆件的伸长量为EAGLLL21L 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 8 2 8 2 圆杆扭转时的变形和刚度计算圆杆扭转时的变形和刚度计算一、扭转变形一、扭转变形扭转角扭转角抗扭刚度抗扭刚度扭率：扭率：pTGIM 单位长度扭转角扭率描述单位长度扭转角扭率描述了扭转变形的剧烈程度了扭转变形的剧烈程度pGI扭转角：扭转角：dxGIMdxl0pTl单位：单位：radradpTGIlM一、扭转变形一、扭转变形扭转角扭转角扭转角：扭转角：dxGIMdxl0pTl当在杆长当在杆长l l内扭率为常数时内扭率为常数时单位：单位：radrad当在杆长当在杆长l

12、 l内扭率分段为常内扭率分段为常数时，用求和公式数时，用求和公式piiiTiIGlM 8 2 8 2 圆杆扭转时的变形和刚度计算圆杆扭转时的变形和刚度计算二、刚度条件二、刚度条件 GITp以度每米为单位时以度每米为单位时以弧度每米为单位时以弧度每米为单位时 180GITp许用单位长度扭转角许用单位长度扭转角三、刚度条件的应用三、刚度条件的应用（1 1校核刚度校核刚度（2 2设计截面设计截面（3 3确定荷载确定荷载 rad/m/m 8 2 8 2 圆杆扭转时的变形和刚度计算圆杆扭转时的变形和刚度计算 例题：圆轴如图所示。已知例题：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的许用切应

13、力材料的许用切应力=40MPa，轴的许用单位扭转，轴的许用单位扭转角角 =0. 8/m，剪切弹性模量，剪切弹性模量G=80GPa。试校核。试校核该轴的扭转强度和刚度。该轴的扭转强度和刚度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.md2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m解：强度校核解：强度校核MPaWMpT6 .301611010836222T T图图1 12 2MPaWMpT2 .36167510336111 MPa2361.max满足强度条件满足强度条件分析：虽然分析：虽然MTABMTBCMTAB0M 0 , M 0 , M 0曲线向下凸曲线向下凸 时时 ： y

14、 0y 0因此因此, M , M 与与 yy的正负号相反的正负号相反oxy推导公式推导公式 zEIxM)(2321)( yyzEIxMyy)()( 2321二、二、 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程zEIxMy)(此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程近似原因近似原因 : (1) : (1) 略去了剪力的影响略去了剪力的影响 ; (2) ; (2) 略去了略去了 y 2 y 2 项。项。2y与与 1 1 相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计, , 故上式可近似为故上式可近似为推导公式推导公式zEIxMyy)()( 2321二、二、 挠曲线的近似微

15、分方程挠曲线的近似微分方程三、三、 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形zEIxMy)(梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程（一）、公式推导（一）、公式推导再积分一次再积分一次, , 得挠度方程得挠度方程上式积分一次得转角方程上式积分一次得转角方程CM(x)dxyEIEIZZDCxM(x)dxyEI2z式中式中C C 、D D称为积分常数，可通过梁挠曲线的位移边界条件称为积分常数，可通过梁挠曲线的位移边界条件和变形连续光滑条件来确定。和变形连续光滑条件来确定。AB0yA0yB0yA0 AAB在简支梁中，在简支梁中， 左右两铰支座处的挠度左右两铰支座处的挠度 yA yA 和和 yB yB

16、 都应等于零边境）；都应等于零边境）；C C左、左、C C右截右截面的饶度、转角相等变形连续光滑）。面的饶度、转角相等变形连续光滑）。在悬臂梁在悬臂梁 中，固定端处的挠度中，固定端处的挠度 yAyA和转角和转角 A A 都应等于零。都应等于零。（二）、位移边界条件和变形连续条件（二）、位移边界条件和变形连续条件位移边界条件：位移边界条件：yA yA 0 0 ，yB yB 0 0位移边界条件：位移边界条件：yA yA 0 0 ， A A 0 0留意：位移边界条件在支座处留意：位移边界条件在支座处 变形连续条件中间在分段点变形连续条件中间在分段点变形连续条件：变形连续条件：CyyCC2121CCy

17、C1 yC1 yC2 yC2 ， C1 C1 C2C2三、三、 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形注注 意意 当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异。方程也随之而异。ABFDabl三、三、 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形1 1、正确分段，分别列弯矩方程；、正确分段，分别列弯矩方程；2 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积、分段列近似微分方程，一次积分得转角

18、方程，再此积分得挠度方程；分得挠度方程；3 3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。步步 骤骤留意：留意：1、位移边界条件在支座处，变形连续条件在中间分段、位移边界条件在支座处，变形连续条件在中间分段点处；点处；2、分、分n段，就要列段，就要列n个弯矩方程，就有个弯矩方程，就有n个转角方程和个转角方程和n个挠度方程，因此就有个挠度方程，因此就有2n个积分常数，就必须列出个积分常数，就必须列出2n个补充方程边界条件和变形连续条件）个补充方程边界条件和变形连续条件）三、三、 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形CDAFB例题例题 ：用积分法求位移时

19、，：用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠曲线图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程？试分别列的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时需用的边出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件。界条件和变形连续条件。3m3m2mq解：分解：分ACAC、CBCB、BDBD三段三段1位移边界条件：位移边界条件：变形连续条件：变形连续条件：yA yA 0 0yC1 yC1 yC2 yC2 ， C1 C1 C2C223应该列应该列6 6个补充方程个补充方程yB2 yB2 yB3 yB3 ， B2 B2 B3B3A A截面：截面：x1=0 x1=0时，时，C C截面：截面：x1=x2=3mx1=x2=3m时，

20、时，B B截面：截面：x2=x3=6mx2=x3=6m时，时，B B截面：截面：x2=x3=6mx2=x3=6m时，时， yB yB 0 0 x例题例题 ：图示一抗弯刚度为：图示一抗弯刚度为 EI EI 的悬臂梁的悬臂梁, , 在自由端受一在自由端受一集中力集中力 P P 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, , 并并确定其最大挠度确定其最大挠度 ymax ymax 和最大转角和最大转角 max max 。 lyABxP P(1) )()(xlPxM弯矩方程为弯矩方程为解：解：挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为(2) )( PxPlxMEIyx)(x

21、MyEI lyABxP P(3) 212CPxPlxEIy对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分)4(622132CxCPxPlxEIy0,00,0yxyx边界条件为边界条件为 ：C1=0 C2=0C1=0 C2=0将边界条件代入将边界条件代入(3) (4)(3) (4)两式中两式中, ,可得可得(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIyxlyABxP PC1=0 C2=0C1=0 C2=0(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIy梁的转角方程和挠度方程分别为梁的转角方程和挠度方程分别为EIPxEIPlxy22E

22、IPxEIPlxy6232xlyABxP P max max 及及 ymaxymax都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处（ ）EIPlyylx33|maxlyABxP PfmaxmaxEIPlEIPlEIPllx22222|max（ ）ymax例题例题 ：图示一抗弯刚度为：图示一抗弯刚度为EI EI的简支梁的简支梁, , 在在D D点处受一点处受一集中力集中力P P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求并求D D截面的挠度和截面的挠度和A A、B B截面的转角截面的转角ABPDabllbPFRAlaPFRB解：梁的两个支反力为解：梁的两个支反力

23、为ABPDablRARBFRAFRB)(axxlbPxFMRA0112)()(lxaaxPxlbPM2xx1 1、分两段分别列弯矩方程、分两段分别列弯矩方程2、两段梁的挠曲线方程分别为、两段梁的挠曲线方程分别为xlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(2DxCaxPxlbPEIy223326)(612挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程( 0 x a)( a x )l)(axxlbPxFMRA01)()(lxaaxPxlbPM2可见，梁分两段，就有可见，梁分两段，就有4个积分常数个

24、积分常数D D点的连续条件：点的连续条件：在在 x1x2 = a 处处21yyyy21边界条件边界条件在在处，处，在在 X = 0 X = 0 处，处，01ylx 02yABPDabl12RARBFRAFRB3 3、边界条件和变形连续条件、边界条件和变形连续条件代入方程可解得：代入方程可解得：021DD)(62221bllPbCCxlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(212挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程( 0 x a)( a x )lDxCaxPxlbPEIy223326

25、)(6在在处，处，在在 X = 0 X = 0 处，处，01ylx 02y在在 x1x2 = a 处处21yyyy21021DD)(62221bllPbCCxlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(212挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程( 0 x a)( a x )lDxCaxPxlbPEIy223326)(6)(31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIP

26、by)()(622332)(31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332lEIblPabxA601)(|将将 x = 0 x = 0 和和 x = l x = l 分别代入转角方程，左右两支座处截面的转角分别代入转角方程，左右两支座处截面的转角lEIalPabB6)(max当当 a b a b 时时, , 右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大lEIalPablxB62)(|ABPDabl12RARBFRAFRB)(312222

27、11xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332ABPDabl12RARBFRAFRBD截面的挠度：截面的挠度：把把x=a代入代入y1或者或者y2，得，得)(2226abllEIPaby|ax四、四、 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形力的独立作用原理力的独立作用原理在线弹性及小变形条件下，在线弹性及小变形条件下，梁的变形挠度梁的变形挠度y y和转角和转角与荷载始终保持线性关与荷载始终保持线性关系，而且每个荷载引起的变形与其他同时作用的荷系，而且每个荷载引起的变形

28、与其他同时作用的荷载无关。载无关。叠加法的分类叠加法的分类直接叠加直接叠加梁上荷载可以化成若干个典型荷载，梁上荷载可以化成若干个典型荷载，每个典型荷载都可以直接查表求出位移，然后直每个典型荷载都可以直接查表求出位移，然后直接叠加；接叠加；间接叠加间接叠加梁上荷载不能化成直接查表的若干梁上荷载不能化成直接查表的若干个典型荷载，需将梁进行适当转换后才能利用表个典型荷载，需将梁进行适当转换后才能利用表中结果进行叠加计算。中结果进行叠加计算。四、四、 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形例题：一抗弯刚度为例题：一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁受荷载如图所示。的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨

29、中点的挠度试按叠加原理求梁跨中点的挠度 yC yC 和支座处横截和支座处横截面的转角面的转角 A A 、 B B 。A AB BmlC Cq解：将梁上荷载分为两项解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图简单的荷载，如图b b、c c 所所示示(b)(b)A AB BmlC CqB BA AC CqB BA AmC C(C)yyyCmCqCAmAqABmBqB)(16384524EImlEIqlycqycmAqAmBqBmA AB BmlC CqA AC CqA AmC CEImlEIql3243( )EImlEIql6243( )查表，得查表，得例题：试利用叠加法，求图所示抗弯刚度为例题：试利用

30、叠加法，求图所示抗弯刚度为 EI EI 的简的简支梁跨中点的挠度支梁跨中点的挠度 yC yC 和两端截面的转角和两端截面的转角 A , A , B B 。l2lABC Cq解：解： 可视为正对称可视为正对称荷载与反对称荷载荷载与反对称荷载两种情况的叠加。两种情况的叠加。l2lABC CqABC Cq/2C CA AB B2q2qEIqlEIlqyC768538425441)(（1 1正对称荷载作用下正对称荷载作用下EIqlEIlqBA482423311)(ABC Cq/2（2 2反对称荷载作用下反对称荷载作用下可将可将ACAC段和段和BCBC段分别视为受均布线荷载作用且长度段分别视为受均布线荷

31、载作用且长度为为 l /2 l /2 的简支梁的简支梁在跨中在跨中C C截面处，挠度截面处，挠度 yc yc 等于零等于零 ，但，但 转角不等于零转角不等于零且该截面的且该截面的 弯矩也等于零弯矩也等于零C CA AB B2q2qEIqlBA2422322)()(02yCC CA AB B2q2qEIql3843C CA AB B2q2q（2 2反对称荷载作用下反对称荷载作用下将相应的位移进行叠将相应的位移进行叠加加, , 即得即得EIqlEIqlEIqlBBB38473844833321)(EIqlyyyCCC7685421EIEIEIqlqlqlAAA12838448333321l2lAB

32、C Cq例例7.6 7.6 等截面外伸梁受力如图等截面外伸梁受力如图7.87.8a a所示，其抗弯刚所示，其抗弯刚度度EI EI为常数。试求自由端处的挠度为常数。试求自由端处的挠度 yCyC。BCEIAB(a)(b)CC1ylaFFaAB为基本部分为基本部分BC为附属部分为附属部分 基本部分基本部分ABAB的变形使附属的变形使附属部分部分BCBC产生的刚体位移，称产生的刚体位移，称为牵连位移为牵连位移 附属部分附属部分BCBC自身变形引起自身变形引起的位移，称为附加位移的位移，称为附加位移图7.8BAC(c)alFMe=FaBCEIAB(a)(b)CCylaFFaBCEIAB(a)(b)CC1

33、yCylaFFaBCEIAB(a)(b)CCylaFFaC1y图7.8BAC(c)al直线C2B2yFMe=Fa12CCCyyy例例7.6 7.6 等截面外伸梁受力如图等截面外伸梁受力如图7.87.8a a所示，其抗弯刚所示，其抗弯刚度度EI EI为常数。试求自由端处的挠度为常数。试求自由端处的挠度 yCyC。BCEIAB(a)(b)CC1ylaFFa牵连位移牵连位移 附加位移附加位移图7.8BAC(c)alFMe=FaBCEIAB(a)(b)CCylaFFaBCEIAB(a)(b)CC1yCylaFFaBCEIAB(a)(b)CCylaFFaC1y图7.8BAC(c)al直线C2B2yFMe

34、=Fa313CFayEI222tanCBByaae233BM lFlaEIEI2223CBFlayaEI12322()333CCCyyyFaFlaFalaEIEIEI例例7.7 7.7 变截面梁受力如图变截面梁受力如图7.97.9a a所示，试求自由端处所示，试求自由端处的挠度的挠度 yByB。(b)(a)l/2 FByEIB 1F2EIEIBCAl/2 l/2 C(c)l/2 l/2 yCCC直线Me=Fl/2F2EIB 2EIyA图7.9BAC为基本部分为基本部分CB为附属部分为附属部分 (b)(a)l/2 FByEIB 1F2EIEIBCAl/2 l/2 C例题：一抗弯刚度为例题：一抗弯

35、刚度为 EI EI 的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示, , 试按叠加原理并利用附表试按叠加原理并利用附表, , 求截面求截面 B B 的转角的转角 B B 以及以及 A A 端和端和BC BC 中点中点 D D 的挠度的挠度 y A y A 和和 yD yD 。 A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿 B B 截面截成两段，将截面截成两段，将AB AB 段看成段看成 B B 端固定的悬臂梁，端固定的悬臂梁，BC BC 段看成简支梁。段看成简支梁。A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q2q2qA AB BB B 截面

36、两侧的相互截面两侧的相互作用力为：作用力为：qaMB2 2qa2qaqaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq qA AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q简支梁简支梁 BC BC 的受力情的受力情况与外伸梁况与外伸梁 AC AC 的的 BC BC 段的受力情况相同段的受力情况相同由简支梁由简支梁 BC BC 求得的求得的B B ，yDyD，就是外，就是外伸梁伸梁 AC AC 的的 B B ，yDyDA AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q

37、简支梁简支梁 BC BC 的变形就的变形就是是MB MB 和均布荷载和均布荷载 q q 分别引起变形的叠加。分别引起变形的叠加。q qB BC CD DB BC CD DqaMB2 (1)(1)求求 B B ，yDyDfDqBqq qB BC CD DfMBDMBBB BC CD DqaMB2 EIqaEIqlBq32433EIqaEIlMBBMB3233EIEIqaqlyDq243845544EIEIMqalMyBDB41642EIqaMBBBqB33EIMqayyyBDDqD244由叠加原理得由叠加原理得2q2qA AB B(2) (2) 求求 yAyA由于简支梁上由于简支梁上 B B 截

38、面的转动，代动截面的转动，代动 AB AB 段一起作刚体运段一起作刚体运动，使动，使 A A 端产生挠度端产生挠度 y1 y1 悬臂梁悬臂梁 AB AB 本身的弯曲变形，使本身的弯曲变形，使 A A 端产生挠度端产生挠度 y2y2y2y1qaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qBA AB BC CD Dq qByyyyaBA221EIqay8242)(EIEIEIqaqaqayA12437444因此，因此，A A端的总挠度应为端的总挠度应为查表，得查表，得2q2qA AB BqaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qA

39、AB BC CD Dq qBBy2y1EIqaB33lflymax式中：式中：ymax ymax 为梁上最大的挠度；为梁上最大的挠度；l l 为梁的跨长；为梁的跨长； f / l f / l 为为 梁的许可挠度与的跨长比值。梁的许可挠度与的跨长比值。五、五、 梁的刚度校核梁的刚度校核刚度条件一般只校核挠度）刚度条件一般只校核挠度）留意：留意：1、建筑结构即要满足强度条件，同时也要满足刚度条件；、建筑结构即要满足强度条件，同时也要满足刚度条件；2、一般情况下，强度条件起控制作用，所以，在设计梁的、一般情况下，强度条件起控制作用，所以，在设计梁的截面时，用强度条件选择梁的截面，选好后再代入刚度条件

40、截面时，用强度条件选择梁的截面，选好后再代入刚度条件进行校核。进行校核。 梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI EI、梁的跨、梁的跨度、荷载、约束等因素有关。度、荷载、约束等因素有关。提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施措施：措施：1、选用合理的截面形状，增大梁的抗弯刚度、选用合理的截面形状，增大梁的抗弯刚度EI ；2、改善结构形式，调整跨长；、改善结构形式，调整跨长；3、改变加载方式；、改变加载方式；4、增加约束，采用超静定结构；、增加约束，采用超静定结构；一、超静定的概念一、超静定的概念 8-4 8-4 简单超静定问题简单超静定问题 8-4 8-4 简单超静定问

41、题简单超静定问题静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目，全部未知量均可求出，这样的问独立的平衡方程的数目，全部未知量均可求出，这样的问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。 超静定或静不定超静定或静不定 ：未知量的数目多于独立的平衡方程的数：未知量的数目多于独立的平衡方程的数目，未知量不可全部求出，这样的问题称为超静定问题，目，未知量不可全部求出，这样的问题称为超静定问题，相应的结构称为超静定结构。相应的结构称为超静定结构。超出几个未知量，就是几次超静定问题。超出几个未知

42、量，就是几次超静定问题。通常超静定问题需要建立补充方程，方可求解。通常超静定问题需要建立补充方程，方可求解。在超静定结构中，若不考虑强度和刚度而仅针对维持结构在超静定结构中，若不考虑强度和刚度而仅针对维持结构的平衡而言，有些约束是可以去掉的，这些约束称为多余的平衡而言，有些约束是可以去掉的，这些约束称为多余约束，与其相应的支座反力称为多余支反力。约束，与其相应的支座反力称为多余支反力。独立的平衡方程数：独立的平衡方程数：2 23 36 6未知力数：未知力数：2+1+2+12+1+2+16 6独立的平衡方程数独立的平衡方程数= =未知力数未知力数独立的平衡方程数：独立的平衡方程数：2 23 36

43、 6未知力数：未知力数：3+1+2+13+1+2+17 7未知力数未知力数 独立的平衡方程数独立的平衡方程数静定问题静定问题超静定问题超静定问题 8-4 8-4 简单超静定问题简单超静定问题 例题：两端固定的等直杆例题：两端固定的等直杆ABAB横截面积为横截面积为A A，弹性模量，弹性模量为为E E，在，在C C点处承受轴力点处承受轴力P P的作用，如图的作用，如图 所示所示 。计算。计算A A、B B的约束反力。的约束反力。 PblBACa 8-4 8-4 简单超静定问题简单超静定问题FRByPBFRAAC判断超静定次数：这是一次超静定问题。判断超静定次数：这是一次超静定问题。解：解：PblBAC（1平衡方程为平衡方程为0PFFRBRAa 8-4 8-4 简单超静定问题简单超静