第七章 常微分方程数值解1

1、第七章 常微分方程数值解本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法.l 常微分方程含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数的方程.它是描述运动、变化规律的重要数学方法之一，分为两类：1.初值问题，即给出未知函数及导数在初始点的值2.边值问题，即给出未知函数及（或）它的某些导数在区间两个端点的值l 常微分方程初值问题 其中为的已知函数，为给定的初值. 这里仅讨论一阶标量微分方程初值问题的数值解法. 而高阶微分方程通常可化为一阶微分方程组来研究.l 数值解法寻求微分方程初值问题之解在一系列离散点上的近似值:的方法.: 问题的数值解数值解所满足的离散方程统称为差分格式.步长： ，一般取定步长l

2、初值问题的适定性(其解是否唯一存在)记(带形)区域：为，即=.设为连续映射，若存在常数使得不等式 对一切都成立，则称在上关于满足Lipschitz条件，而式中的常数L称为Lipschitz常数.定理 初值问题，当在上连续，且关于满足Lipschitz条件，则其解存在且唯一. 7.1 Euler方法l Euler公式将初值问题的求解区间等分,分点:,其中将写成等价的积分方程形式：, 在上式中令，并用左矩形公式计算右端积分，得到, (*) 余项 将(*)中的余项截去，可得 则有的近似值的递推公式 (*1)-Euler公式表示当为精确值时，利用(*1)即Euler公式计算时的误差. 为Euler方法

3、的局部截断误差.例1 用Euler公式解初值问题 解：取，Euler公式的具体形式为 其中已知，则有 依次计算可得 其部分结果见下表 数值解准确解局部截断误差 可见Euler方法的计算结果精度不太高。Euler公式的几何意义: 初值问题的解:从出发的一条曲线,过的切线方程:,与直线交点的纵坐标,正好为Euler公式求出的;同理,过点且斜率为的直线与直线交点的纵坐标,正好为Euler公式求出的; ,可得一条折线,Euler公式就是用这条折线来近似代替解曲线.故,Euler方法也称折线法.l 隐式(后退的)Euler 公式 对令，并用右矩形公式计算右端积分，类似可得递推公式：, (*2)(*2)式

4、称为隐式(后退的)Euler公式表示当为精确值时，利用(*2)即后退的Euler公式计算时的误差.为后退的Euler方法的局部截断误差 .l 方法的阶1. def:若局部截断误差（将准确解代入公式的左、右两端，其左端与右端之差），则称该数值方法具有阶精度。越大，精度越高，数值方法越好。2. Euler方法的精度 其中：将在点处一阶Taylor展开 Euler方法具有一阶精度 。3. 后退的Euler方法的精度同理将在点处一阶Taylor展开 后退的Euler方法也是具有一阶精度l 改进的Euler方法 对令，并用梯形公式计算右端积分，类似可得递推公式： (*3) (*3)式称为梯形（平均）公式其局部截断误差为将及均在点处二阶Taylor展开 这种方法具有二阶精度平均（梯形）公式为隐式公式，一般用迭代法求解，迭代初值由Euler公式提供，只迭代一次即得如下预测校正型公式 或 称上式为改进的Euler 公式 可以证明，改进的Euler 公式具有二阶精度。 例2 用改进的Euler公式解初值问题 解：取，改进的Euler公式的具体格式为 具体计算过程如下 依次计算可得 其部分结果见下表数值解准