第5单元· 不等式· 最新高考+模拟

1、 2011 年最新高考年最新高考+最新模拟最新模拟不等式不等式1.【2010上海文数】满足线性约束条件的目23,23,0,0 xyxyxy标函数的最大值是（ ）zxyA.1 B. C.2 D.332【答案】C【解析】当直线过点 B(1,1)时，z 最大值为 2zxy2.【2010浙江理数】若实数，满足不等式组且的最大值为xy330,230,10,xyxyxmy xy9，则实数( )m A. B. C.1 D.221【答案】C【解析】将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档

2、题。3.【2010全国卷 2 理数】不等式2601xxx的解集为（ ）A.2,3x xx或 B.213x xx，或C.213xxx ，或 D.2113xxx ，或【答案】C【解析】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.利用数轴穿根法解得-2x1 或 x3，故选 C.4.【2010全国卷 2 文数】若变量 x,y 满足约束条件 1325xyxxy 则 z=2x+y 的最大值为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】本题考查了线性规划的知识. 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，yx325xy即为（1，1） ，当时.1,1xymax3z5.【2010全国

3、卷 2 文数】不等式0 的解集为（ ）32xxA. B. C. D.23xx 2x x 23x xx 或3x x 【答案】A【解析】本题考查了不等式的解法. ， ，故选 A.302xx23x 6.【2010江西理数】不等式 22xxxx的解集是（ ） A. B. C. D.(0 2)，(0)，(2)，(0)（-，0），【答案】A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得 A.20 xx或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除.7.【2010安徽文数】设 x,y 满足约束条件260,260,0,xyxyy则目标函数 z=x+y 的最大值是（ ）A.3 B.4 C.6

4、 D.8【答案】C【解析】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.不等式表示的区域是一个三角形，3 个顶点是，目标函数在(3,0),(6,0),(2,2)zxy取最大值 6.(6,0)8.【2010重庆文数】设变量满足约束条件, x y则的最大值为（ ）0,0,220,xxyxy32zxyA.0 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线过点 B 时，在 y 轴上截距最小，z 最大.由 B（2,2）知，z 的最大值为 4.32zxy9.【答案】A【解

5、析】将最大值转化为 y 轴上的截距，可知答案选 A.本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题.10.【2010重庆理数】已知 x0，y0,x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是（ ）A.3 B.4 C. D.29112【答案】B【解析】考察均值不等式.，整理得2228)2(82yxyxyx0322422yxyx 即，又，08242yxyx02yx42yx11.【2010重庆理数】设变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为（ ）01030yxyxy A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图所

6、示，当直线过点 B（3,0）的时候，z 取得最大值 6.12.【2010北京理数】设不等式组表示的平面区域为 D，若指数函数 y=110330530 xyxyxy9的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是（ ）xaA.(1,3 B.2,3 C.(1,2 D. 3, 【答案】Ay0 x70488070(15,55)13.【2010四川理数】设，则的最0abc221121025()aaccaba ab小值是（ ）A.2 B.4 C. D.52 5【答案】B【解析】221121025()aaccaba ab 2211(5 )()acaabababa ab211(5 )()()acaba a

7、baba ab0224当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1 时等号成立，如取a,b,c满足条件.2222514.【2010四川理数】某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ）A.甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60

8、 箱B.甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱C.甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱D.甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱【答案】B【解析】设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱，则70106480,xyxyx yN目标函数 z280 x300y，结合图象可得：当 x15,y55 时，z 最大.本题也可以将答案逐项代入检验.15.【2010天津文数】设变量 x，y 满足约束条件0 xy1Oyxy20 xyxA0:20lxyL022A则目标函数 z=4x+2y 的最大值为（ ）3,1,1,xyxyy A.12 B.10 C.8 D.2【答案】

9、B【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点（2，1）时,z 取得最大值 10.16.【2010全国卷 1 文数】设则（ ），21352ln2logcbaA. B. C. D.abcbcacabcba【答案】C【解析】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.解法一： a=2=, b=ln2=,而,所以 ab,3log21log 321log e22log 3log1ec=,而,所以 ca,综上 cab.125152252log 4log 3解法

10、二：a=2=,b=ln2=, ，； c=3log321log21loge3221loglog2e32211112logloge，cab.12111525417.【2010全国卷 1 文数】若变量满足约束条件则的最大, x y1,0,20,yxyxy2zxy值为（ ）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.画出可行域（如下图），11222zxyyxz，由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为.max1 2 ( 1)3z 18.【2010四川文数】设，则0ab的最小值是（ ）211aaba abA.1 B.2 C.

11、3 D.4【答案】D【解析】211aaba ab211()aabababa ab22411()()aba ababa ab当且仅当ab1,a(ab)1 时等号成立.如取a,b满足条件.22219.【2010山东理数】20.【2010福建理数】设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是x1x-2y+30yx1与关于直线对称,对于中的任意一点 A 与中的任意一点 B, 213490 xy12的最小值等于( )|ABA. B.4 C. D.2285125【答案】B【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的|AB13490 xy距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可

12、看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为3490 xy|AB，所以选 B.|3 1 4 1 9|245 21.【2010曲靖一中冲刺卷数学（二） 】若，则（ ）31log0,( )13ba A. B. C. D.1,0ab01,0ab1,0ab01,0ab【答案】D【解析】依题意，根据指数函数与对数函数的图像和单调性知 0a1，b0，解得-2x2，选择B.30.【2010河北隆尧一中五月模拟】不等式的解集为（ ）2)3(log21 xA.B.1|xx1|xxC.D. | 13xx 10| xx【答案】C【解析】，选 C.2)3(log21 x21032x3113xx 31.【2010襄樊

13、五中5月调研】函数的定义域是（ ）) 1(log22xyA. B. C. D. )1 (，) 1(，) 11(，)1 () 1(，【答案】D【解析】依题意，x2-10，解得 x1，选择 D.32.【2010绵阳南山中学热身考试】已知集合21|230 ,|21xAx xxBx，则AB=（ ）A （-3,1） B(, 3) C1( ,1)2 D(1,)【答案】A【解析】依题意，A=x|-3x1,B=x|xn B.m0 D.m+n0, n0,则 ，22( )( )11f mf nmn22()()11nm nmmn由，故 m+n0，解得a4，故选 D.43.【2010北京东城一模】已知变量满足，则,x

14、y120 xyxy的最小值为（ ）xyA. B. C. D.2345【答案】A【解析】不等式组所表示的平面区域如下图如示，当时，1,1xy有最小值xy244.【2010山东德州一模】若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+4 分成面积相等)的两部分，则的值为( )kA. B. C. D. 7337173317【答案】C【解析】易知直线y=kx+4 过点 B(0,4)，作出可行域，由图可知，当直线经过线段 AC 的中点 M 时，平分可行域ABC 的面积，由解得点 C(1,1)，从而 M( ， )，于是 k=kBM=.选 C.)127617345.【2010北京西城一模】已知平面区域,1( ,)

15、01yxxyyx ，向区域内随机投一点，点落| 1( ,)0yxMxyyPPABCMOxyOyx1O-11yx在区域内的概率为（ ）MA B C D14131223【答案】C【解析】如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为，小的等腰直角三角形区域为，M由面积比知12P 46.【2010巢湖市第一学期期末教学质量检测试题】已知实数xy，满足条件023xyxxy，则12xy的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5132，235，3251，523，【答案】A【解析】-表示动点 P(x,y)与定点 M(-1,-2)连线斜率 k 的倒数的相反数，设直线x + 1y + 22x+y=3 与 y 轴交点为

16、 A(0,3)，直线 y=x 与 2x+y=3 的交点为 B(1,1)，由图可知 k5，32所以 ，从而 ,选 A.151k23231k1547.【2010石家庄市教学质量检测（二） 】已知函数f(x) 的定义域为1，+), 且f(2)= f(4)=1，f(x)为f(x)的导函数，函数y=f(x)的图象如图所示，则不等式组 所表示的平面区域的面积是( ). 1)2(; 0; 0yxfyxA.3 B.4 C.5 D.415【答案】A【解析】由图可知，f(x)在1，3）上是减函数，在3，+)上是增函数，又f(2)= f(4)=1，f(2xy)1，所以 22xy4，从而不等式组为 ，作出可行域如图所

17、示，其面积为)S= 24 12=3.故选 A.121248.【2010上海文数】不等式204xx的解集是 .【答案】24|xxOxy1224【解析】考查分式不等式的解法204xx等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x0,b0,称2abab为 a，b 的调和平均数。如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB为直径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结OD，AD，BD。过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术平均数，线段 的长度是 a,b 的几何平均数，线段 的长度是 a,b 的调和平均数。【答案】

18、CD DE【解析】在 RtADB 中 DC 为高，则由射影定理可得2CDAC CB，故CDab，即 CD 长度为a,b的几何平均数，将 OC=, , 222abababaCDabOD代入OD CEOC CD可得，故222()2()abOEOCCEab，所以 ED=OD-abbabaCEOE=2abab，故 DE 的长度为a,b的调和平均数.62.【2010江苏卷】设实数 x,y 满足 32xy8，4yx29，则43yx的最大值是 .【答案】27【解析】本题考查不等式的基本性质，等价转化思想.的最大值是 27.4322243222,27, 21,31,811,18,16yxxyyxyxxyyx6

19、3.【2010崇文区二模】若110ab，则下列不等式中，abab；| |ab；ab；2baab，正确的不等式有 （写出所有正确不等式的序号） 【答案】【解析】取 a= ，b=-1 代入验证知，正确.1264 【2010茂名市二模】已知正实数满足,则的最小值为 ., x y1xy ()()xyyxyx【答案】4【解析】依题意，当且仅当 x=y=12222()()11224xyyxyxyxyxxyxy 时取等号。65.【2010重庆市四月考】设，若，则1, 1,baRyx82 , 2babayx的最大值为 yx11【答案】3【解析】由得,2xyablog 2,log 2abxy1111log 2l

20、og 2abxy,又,即,当且仅当222logloglogabab1,1ab822 2abab 8ab 即时取等号,所以.故.2,ab2,4ab2211loglog 83abxymax113xy66.【2010湖南师大附中第二次月考试卷】不等式的解集是 .43 220 xx 【答案】 01xx【解析】由.243 220(2 )3 220 xxxx (21)(22)0 xx122x 所以，故不等式的解集是.01x 01xx67 【2010黄岗中学八月月考】设，函数有最大值，01aa且2lg(23)( )xxf xa则不等式的解集为 2log (57)0axx【答案】2 3（，）【解析】设当时，.

21、又函数y=f(x)有最22lg(23)lg(1)2,txxxxRminlg2t大值，所以得,解得201.log (57)0aaxx由20571xx23.x68.【2010河北省衡水中学一模】设定点 A(0，1)，动点 P(x,y)的坐标满足条件0,xyx则|PA|的最小值是_.【答案】22【解析】|PA|的最小值即为点 A 到直线 y=x 的距离，易求得d=.2269 【2010宁波高三四月模拟】已知点 P(x,y)在由不等式组010103xyxyx确定的平面区域内，O 为坐标原点，点 A(-1,2)，则AOPOPcos|的最大值是 【答案】553【解析】由题可知=(1,2)，又|cosAOP

22、=|=OAOPOP，于是问题转化为求 z=2yx的最大值，作出可行域如图所示，2yx5当直线经过点 C(1，2)时，z=2y-x取得最大值，zmax=221=3，从而|cosAOP的最大值为553.OP70 【2010黄冈中学第八次月考】已知点 M(x,y)满足约束条件点 A(2,4),O 为坐标原点，)则 z的取值范围是 OMOA【答案】6,38【解析】目标函数为 z=2x4y,作出约束条件的可OMOA行域，如图所示.作出直线l0：2x4y0，由图可知，当平移直线l0经过点 A 时，目标函数取得最大值z=2348=38，经过点 B 时，目标函数取得最小值z=234(-3)=-671.【201

23、0广东理数】某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？Oxy13A3BCy x O C A(3,8) 3 l0 5B(3,-3) 解：设该儿童分别预订, x y个单位的午

24、餐和晚餐，共花费z元，则2.54zxy.可行域为 即, 0, 0,54106,4266,64812NyyNxxyxyxyx, 0, 0,2753, 7,1623NyyNxxyxyxyx作出可行域如图所示： 经试验发现，当 x=4,y=3 时，花费最少，为2.54zxy=2.54+43=22 元72 【 2010福建省宁德三县市一中第二次联考】设函数 412xxxf.求不等式 2xf的解集；求函数 xf的最小值.解： )4(5)42/1(33)2/1(5xxxxxxxf由2/125xx解得7x；42/1233xx解得43/5 x； 425xx解得4x；0.5xy综上可知不等式的解集为x|x .5

25、3如图可知.29)(minxf73 【2010哈尔滨、长春、沈阳、大连第二次联合考试】设对于任意实数，不等式xm 恒成立.|7|1|xx(1)求 m 的取值范围;(2)当 m 取最大值时，解关于的不等式：x|3| 2212xxm解：（1）设，则有,当时，|1|7|)(xxxf1, 6217, 87,26)(xxxxxxf7x有最小值8；当时，有最小值8；当时，有最小值8.综上)(xf17x)(xf1x)(xf有最小值8 ，所以.)(xf8m（2）当取最大值时，原不等式等价于： ，等价于：m8m42|3|xx或，等价于：或，所以原不等式的解集4233xxx4233xxx3x331x为.31|xx74.【2010黄岗中学八月月考】设函数，函数2222( )1xxf xx2( )52g xaxxa（1）求在上的值域；( )f x0,1（2）若对于任意,总存在,使得成立,求的取值范围10,1x 00,1x 01()()g xf xa解：（1）,22222222(1)222(1)2111xxxxxyxxx令，当时，；当，1,1,1,0 xtxtt 则22222tytt0t 2y 1,0t ，由对勾函数的单调性得，故函数在上的值域是;2222ytt0,2