线性空间的定义

1、2021/6/1612312121122(,)(,)(,)nnnna aab bbab abab 1212(,)(,)nnk a aakakkakaP 而且这两种运算满足一些重要的规律而且这两种运算满足一些重要的规律, ,如如 空间空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：，定义了两个向量的加法和数量乘法： 在第三章在第三章2中，我们讨论了数域中，我们讨论了数域P上的上的n维向量维向量0()() ()0 1 ()()k lkl ()klkl ()kkk,nPk lP 4同样满足上述这些重要的规律，即同样满足上述这些重要的规律，即 ( ), ( ), ( ) ,f xg x h xP xk lP

2、 ( )( )( )( )f xg xg xf x 数域数域P上的一元多顶式环上的一元多顶式环Px中，定义了两个多中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算( ( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x ( ) ( )() ( )k l f xkl f x 1 ( )( )f xf x ( )( )0f xf x ( )0( )f xf x() ( )( )( )kl f xkf xlf x ( ( )( )( )( )k f xg xkf xkg x5设设V是一个非空集合，是一个非空集合，P是一个

3、数域，在集合是一个数域，在集合V中中定义了一种代数运算，叫做定义了一种代数运算，叫做加法加法：即：即对，对， ,V 在在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为 的的和和，记为，记为 ；在；在P与与V的元素之间还的元素之间还与定义了一种运算，叫做定义了一种运算，叫做数量乘法数量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一个元素中都存在唯一的一个元素与它们对应，称与它们对应，称为为 的的数量乘积数量乘积，记为，记为 如果加法和数量乘如果加法和数量乘k与.k法还满足下述规则，则称法还满足下述规则，则称V为数域为数域P上的上的线性空间线性空间：6加法满足下列四条

4、规则：加法满足下列四条规则： 1 ()()k lkl 数量乘法与加法满足下列两条规则：数量乘法与加法满足下列两条规则： ()klkl （具有这个性质的元素（具有这个性质的元素0称为称为V的的零元素零元素） 数量乘法满足下列两条规则数量乘法满足下列两条规则 : ()() ()kkk ,V 对对 都有都有V中的一个元素中的一个元素，使得，使得 ,V ; ;（称为称为 的的负元素负元素） 0 在在V中有一个元素中有一个元素0，对，对,0V 有有73 线性空间的判定：线性空间的判定：1 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也2线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向

5、量向量，线性空间也称，线性空间也称向量空间向量空间但这里的向量不一定是有序数组但这里的向量不一定是有序数组称为称为线性运算线性运算就不能构成线性空间就不能构成线性空间 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者8例例1引例引例1, 2中的中的 Pn, Px 均为数域均为数域 P上的线性空间上的线性空间例例2数域数域 P上的次数小于上的次数小于 n 的多项式的全体，再添的多项式的全体，再添的加法和数量乘法，构成数域的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间，上的一

6、个线性空间，法构成数域法构成数域 P上的一个线性空间，常用上的一个线性空间，常用 Pxn表示表示上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘1110110 ( ),nnnnP xf xaxa xaaa aP 例例3数域数域 P上上 矩阵的全体作成的集合矩阵的全体作成的集合, ,按矩阵按矩阵mn 用用 表示表示m nP 9例例5全体正实数全体正实数R，logbaabkk aaabab kk aa判断判断 R是否构成实数域是否构成实数域 R上的线性空间上的线性空间 .1) 1) 加法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为： ,a bRkR 2) 2) 加

7、法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为： ,a bRkR 例例4任一数域任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个按照本身的加法与乘法构成一个数域数域P上的线性空间上的线性空间101）R不构成实数域不构成实数域R上的线性空间上的线性空间. . 不封闭，如不封闭，如 12212log12 R 2) R构成实数域构成实数域R上的线性空间上的线性空间 首先，首先，R ，且加法和数量乘法对，且加法和数量乘法对R是封闭的是封闭的. .,kaRkR k aaR , ,且且 ak 唯一确定唯一确定 ,a bRababR , ,且且 ab 唯一确定；唯一确定； 事实上事实上, , 其次，加法和数量乘法满足下

8、列算律其次，加法和数量乘法满足下列算律 ()()()()()()abcabcab ca bcabcabc ababbaba 11 R， 111,aaa aR，即即1 1是零元；是零元； a R， 1a R，且，且 111aaaa 即即a 的负元素是的负元素是 ；1a 11 aaa ;a R； ()()()llklkklkl ak aaaakla;()()()k lklklklaaa aaak al a ()()()kkkkkkabkababa bab R构成实数域构成实数域 R上的线性空间上的线性空间 ;()()k ak b 12即即n阶方阵阶方阵A的实系数多项式的全体，则的实系数多项式的全体

9、，则V关于矩阵关于矩阵例例6令令 ()( ) ,n nVf Af xR xAR 的加法和数量乘法构成实数域的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间上的线性空间证：证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知根据矩阵的加法和数量乘法运算可知()()(),()()f Ag Ah Akf Ad A 其中，其中，,( ), () kRh x d AR x 又又V中含有中含有A的零多项式，即零矩阵的零多项式，即零矩阵0，为，为V的零元素的零元素.以以 f(x) 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为f(x) , 则则 f(A)有负元素有负元素f(A). 由于矩阵的加法与

10、数由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故乘满足其他各条，故V为实数域为实数域R上的线性空间上的线性空间.131、零元素是唯一的零元素是唯一的. 2、 ，的负元素是唯一的，记为，的负元素是唯一的，记为- - V 证明：假设证明：假设 有两个负元素有两个负元素 、 ，则有，则有利用负元素，我们定义利用负元素，我们定义减法减法： 01010202证明证明：假设线性空间：假设线性空间V有两个零元素有两个零元素01、02，则有，则有0()()()0 0,0 () 14两边加上两边加上 即得即得 0 0 0； (0)0kkkk两边加上两边加上 k ；即得；即得k 00 ;( 1 )1( 1 )(1 1)00 两边加上两边加上 即得即得 ( 1); ()()kkkk 即得即得 两边加上两边加上 k().kkk 00,00, ( 1),()kkkk 3、 0(0 1),证明：证明：154、如果如果k0，那么，那么k0或或 0. 111()()00.k kkkk 证明：假若则证明：假若则0,k 1、P273：习题：习题31）2）4）2、证明：数域、证明：数域P上的线性空间上的线性空间V若含有一个非零若含有一个非零向量，则向量，则V一定含有