新人教版八年级数学上册培优资料

1、新人教版八年级数学上册培优资料（中考题型）第16讲认识三角形经典考题赏析【例1】若的三边分别为 4,x, 9, 则x的取值范围是_ ,周长丨的取值范围是;当周长为奇数时，x=_.【解法指导】 运用三角形三边关 系，即第三边小于两边之和而大于两 边之差故 5vxv13, 18vlv26;周长 为 19 时，x=6,周长为 21 时，x= 8,周长为 23 时，x=10,周长为 25 时，x= 12,【变式题组】01.若ABC勺三边分别为 4,x, 9,且 9 为最长边，则x的取值范围是_ ，周长丨的取值范围是_ .02.设ABC三边为a,b,c的长度均 为正整数，且avbvc,a+b+c=13,

2、则以a,b,c为边的三角形， 共有_个.03.用 9 根同样长的火柴棒在桌面上 摆一个三角形（不许折断）并全 部用完，能摆出不同形状的三角 形个数是（）.A. 1 B. 2C. 3D. 4【例2】已知等腰三角形的一边 长为 18cm周长为 58cm试求三角形 三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题 目没有交代底边和腰，要给予讨论.当 18cm为腰时，底边为 58 18X2= 22, 则三边为 18, 18, 22.当 18cm为底边 时，腰为 里8= 20,则三边为 20,220, 18.此两种情况都符合两边之和大 于第三边.解： 18cm,18cm,22cm或 18cm20,20cm知 sE

3、FC= 2SAGFC=2.又由EFDEC中线，SDEC2SEFC4. |同壬理 SADC8 , SABC01.已知等腰三角形两边长分别为6cm, 12cm，则这个三角形的周长是（）A.24cmB.30cmC.24cm或30cmD.18cm02.已知三角形的两边长分别是4cm和 9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是（）A.13cmB.6cm C.5cmD.4cm03.等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成 12 和 10 两部分，则此等腰三角形的腰长 为 .【例3】如图人。是厶ABC的中线，。已是厶ADC的中线，EF是厶DEC的中 线，卩6是厶EFC的中线，若s= 1 亦，

4、 贝ySMBC=.【解法指导】中线将原三角形面 积一分为二，由EFC的中线，=16.【变式题组】01.如图，已知点D、E、F分别是BC AD BE的中点，SA ABC=4，贝卩SA EFC=02.如图，点D是等腰ABC底边BC上任意一点，DEIAB于E, DF丄AC于F,若一腰上的高为 4cm,则DEbDF=_.03.如图，已知四边形ABC區矩形（ADAB，点E在BC上，且AE= ADDF丄AE于F， 贝9 DF与AB的数量 关系是_.【例4】已知，如图，则/A+ZB+ZC+ZD+ZE=【变式题组】知 sEFC= 2SAGFC=2.又由EFDEC中【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法

5、为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系A【变式题组】01.如图，ZA=70,ZB=40,ZC=20,贝 yZBOC=/C+ZD.故连结BC有/A+ZD=ZDBCZACB,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180【变式题组】01.如图，贝UZA+ZB+ZC+ZD+ZE=，点P、O分别是ZABCZACB的三等分线的交点，则ZOPC=02 .如图，则ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+Z F=_.03 .如图，则ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=_.【例5】如图，已知ZA= 70，BO CO分别平分ZABCZACB则ZBOC【解法指导】这是本章另一个基 本图形，其结论为ZBO&-ZA+902

6、证法如下:ZBOG180-ZOBC-ZOCB=1801ZABC-丄ZACB=2 21801(180 ZA=290+丄ZA.所以ZBO& 125.203.如图，Z8140，ZP= 100，BR CP分别平分ZABOZACO则ZA=.【例6】如图，已知ZB= 35，ZC= 47，ADL BC AE平分ZBAC则ZEA=.【解法指 导】ZEAD=90ZAED-90(ZB+ZBAE1=90ZB- (180 ZBZC)2=90ZB90+丄ZB+- ZC=2 21(ZC-ZB)，故ZEA= 6.2D,ZA+ZB=【变式题组】01.（改）如图，已知/B= 39,/C=61,BDL AC,AE平分/B

7、AC则/BFE=_.（说明:原题题、图不符由已知得/A= 98 ,BDLAC,则点D在CA的 延长线上.）02.如图，在ABC中, /ACB=40,AD平分/BAC/ACB的外角平分 线交AD的延长线于点P,点F是/ C AC=180A2X70=740ENG【变式（第 2 题图）题组】BC上一动点（F、D不重合），过 点F作EFLBC交于点E,下列结 论:/P+/DEF为定值，/P-/DEF为定值中，有且只有一个 答案正确，请你作出判断，并说 明理由01 如图，用等腰直角三角形板画/AOB=45,并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针方向旋转 22，则三角板的 斜边与射线OA的

8、直角a=【例7】 如图， 在平面内将ABC绕点A逆时针旋转至AB C，使CC/AB若/BAC=70,则旋转角a =_.【解法指导】利用平移、旋转不 改变图形的形状这条性质来解02.如图，在平面内将AOB绕点O顺 时针旋转a角度得到厶OA B, 若点A在AB上时，则旋转角a=. （ /AOB=，/AB、-C/C CE（第 1 题图）B题.VCC题.VCCDA= /CAB= 70 ,又AC=AC,A90,/B= 30）3.如图，ABEHACCgABC演练巩固反馈提高01 .如图，图中三角形的个数为( )A. 5 个 B. 6 个C. 7个D. 8 个02.如果三角形的三条高的交点恰是 三角形的一个

9、顶点，那么这个三 角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D不确定03 .有 4 条线段，长度分别是 4cm8cm10cm12cm,选其中三条组成三 角形，可以组成三角形的个数是( )A.1 个 B. 2 个C. 3个D. 4 个04 .下列语句中，正确的是()A.三角形的一个外角大于任何一的外角中，至少有两个钝角D.三角形的外角中，至少有一个 钝角05 .若一个三角形的一个外角小于与 它相邻的内角，则这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法 确定06 .若一个三角形的一个外角大于与 它相邻的内角，则这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形 C

10、.钝角三角形 D.无法 确定沿着AB边，AC边翻折 180形成的，若/BAG130,则/a个内角B .三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和07.如果等腰三角形的一边长是 5cm另一边长是 9cm则这个三角形的周长是_.08.三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于 18,则这个三角形的三条边长分别是09.如图，在ABC中，/A= 42,/B与/C的三等分线，分别交于点D、E,则/BDC的度数是10. 如图，光线丨照射到平面镜上，然后在平面镜I、U之间来回反 身寸，已知/a= 55，/Y= 75， /B=_.11. 如图，点D E、F分别是BC ADBE的中点，且SAEFC

11、= 1，贝ySAABC=12. 如图，已知:/ 1 = / 2，/ 3=/4,/BAC= 63 ，贝V/DAC=且BE=AB, CD=CA/DAE=-/BAC求/BAC勺度数3第17讲认识多边形经典考题赏析【例1】如图所示是一个六边形(1) 从顶点A出发画这个多边形的 所有对角线，这样的对角线有几条？ 它们将六边形分成几个三角形？(2) 画出此六边形的所有对角线， 数一数共有几条？【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，可引(n 3)条 对角线，它们将这n边形分成(n 2) 个三角形，n边形一共有皿卫条对2角线，解:(1)从顶点A出发，共可画三 条对角线

12、，如图所示，它们分别是AC AD、AE将六边形分成四个三角 形:ABCACDAADEAEF(2)六边形共有 9 条对角线.【变式题组】01.下列图形中，凸多边形有()A.1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个02.过m边形的一个顶点有 7 条对角 线，n边形没有对角线，k边形对 角线条数等于边数，则m= _ ，n=_，k=03.已知多边形的边数恰好是从这个 多边形的一个顶点出发的对角线 条数的 2倍，则此多边形的边数 是.【例2】(1)八边形的内角和是多 少度？(2)几边形的内角和是八边形内 角和的2 倍？【解法指导】(1)多边形的内角和 公式的推导：从n边形一个顶点作对 角线，可以作(n

13、 3)条对角线，并且 将n边形分成(n 2)个三角形，这(n2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n 2) 1800;(2)内角和定理的应用：已知多 边形的边数，求其内角和；已知多 边形内角和，求其边数.解：(1)八边形的内角和为(8 0 02)X180=1080;(2)设n边形的内角和是八边形内 角和的 2 倍，则有(n 2)X1800= 10800X2, 解得n= 14.故十四边形的内角和是八 边形内角和的 2 倍.【变式题组】01.已知n边形的内角和为 21600，求n边形的边数.02 .如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是()A.正方形B.正五边形C.正六边形 D.

14、正七边形 03 .已知13.如图，已知点D E是BC上的点,一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是()A. 8B. 7C. 6D. 504.如图，/ 1、/ 2、/ 3、/ 4 是五边形ABCDE勺外角，且/ 1 = / 2 =/3=/ 4= 700，则/AED的度 数为()A. 1100B. 1080C. 1050D. 1005.当多边形的边数增加 1 时，它的内角和与外角和()A.都不变B.内角和增加 1800，外角和不变C.内角和增加 1800，外角和减少1800D.都增加 1800【例3】一只蚂蚁从点A出发， 每爬行 5cm便左转 60，则这只蚂蚁需 要爬行多少路程才能回

15、到点A?解：蚂蚁爬行的路程构成一个正 多边形，其路程就是这个正多边形的 周长，根据已知可得这个正多边形的 每个外角均为600，则这个多边形的边 数为 驾 =6.所以这只蚂蚁需要爬行60(1) 多边形的外角和恒等于 3600, 它与边数的多少无关(2) 多边形的外角和的推导方法： 由于多边形的每个内角与它相邻的外 角是邻补角，所以n边形内角和加外 角和等于1800 n,外角和等于n 1800(n2) 1800= 3600.(3) 多边的外角和为什么等于 3600，还可以这样理解：从多边形的一 个顶点A出发，沿多边形的各边走过 各顶点，再回到点 A,然后转向出发点 时的方向，在行程中所转的各个角的

16、和就是多边形的外角和，由于走了一 周，所转的各个角的和等于一个周角， 所以多【解法指边形的外角和3600.导】多为边形的外角和等于 3600.(4) 多边形的外角和为 3600的作 用：已知各相等外角度数求多边形 边数；已知多边形边数，求各相等5X6= 30(cn)才能回到点 A.外角的度数.【变式题组】01.（无锡）八边形的内角和为_ .度02.（永州）如图所示，已知ABC中, /A= 400，剪去/A后成四边形， 则/ 1+Z2 =_03.（资阳）n（n为整数，且n3）边 形的内角和比（n+1）边形的内角 和少_ 度.04.（株洲）如图所示，小明在操场上 从点A出发，沿直线前进 10 米后

17、 向左转40，再沿直线前进 10 米 后，又向左转 400,，照这样 下去，他第一次回到出发地A点 时，一共走了米.【例4】已知两个多边形的内角和为 1800，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【解法指导】因为两个多边形的 边数之比为 2:5，可设两个多边形的边 数为 2x和 5x，利用多边形的内角可列解：设这两个多边形的边数分别 是 2x和 5x，则由多边形内角和定理可得：（2x 2） 1800+ （5x 2） 1800=18000,解得x= 2，二 2x= 4，5x= 10,故这两个多边形的边数分别为4和 10.【变式题组】01 . 一个多边形除去一个角后，其余各内角的和

18、为 22100，这个多边形是_02 .若一个多边形的外角和是其内角和的2，则此多边形的边数为503 .每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的-，3则这个多边形是（）A.三角形B.四边形出方程.C.五边形D.六边形04.内角和与其外角和相等的多边形02 .小明家装修房屋，用同样的正多是_【例5】某人到瓷砖商店去购买 一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面， 他购买的瓷砖不可以是（）A.正三角形B.长方形C.正八边形D.正六边形【解法指导】根据平面镶嵌的定 义可知：在一个顶点处各多边形的内 角和为360，由于正三角形、长方形、 正六边形的内角都是 360的约数，因 此它们可以用来完成平面镶

19、嵌，而正 八边形的每个内角为 135，不是 360的约数，所以正八边形不能把平面镶 嵌.解：选 C.【变式题组】01.用一种如下形状的地砖，不能把 地面铺成既无缝隙，又不重叠的 是（ ）A.正三角形B.正方形C.长方形D.正五边形边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（）A正三角形、正方形、正六边形B .正三角形、正方形、正五边形C.正方形、正五边形D.正三角形、正方形、正五边形、正六边形C.正八边形D.正十边形04 .（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到 4 个 小正方形，称为第一次操作；然 后将其中的一个正方形再剪成四 个小正方形，共得 7 个小

20、正方形，称为第二次操作；再将其中的一 个正方形再剪成四个小正方形，03 .只用下列正多边形镶嵌的是（A正五边形共得到 10 个小正方形，称为第二 次操作；，根据以上操作， 若要得到 2011 个小正方形，则需 要操作的次数是（）A. 669B. 670C. 671D. 672【例6】有一个一边形，它由 若干个边长为 1 的等边三角形和边长 为 1 的正方形无重叠、无间隙地拼成， 求此一边形各内角的大小，并画出 图形【解法指导】正三角形的每个内 角为 600，正方形的每个内角为 900， 它们无重叠、无间隙可拼成 600、900、 120、1500四种角度，根据一边形内 角和即可判断每种角的个数

21、.解： 因为正三角形和正方形的内 角分别为 600、900，由此可拼成 600、 900、1200、1500四种角度，十一边形内 角和为（n 2）X1800= （11 2）X1800=16200.所以这个一边形的内角只有 1200和 1500两种.设 1200的角有m个，1500的 角有n个， 则有 1200n+1500n= 16200, 即 4n+5n=54所以这个一边形内角中有 1 个角为1200，10 个角为 1500,此一边形如图所示.【变式题组】01.如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12 层（不包括中央的正

22、六边形地砖），每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为，则第此方程有唯一正整数解12围02 .（黄冈）小明的书房地面为因为 1200X11v16200v1500X11,m 1n 10层的外边界所成的多边形的长是_210cmx300cm的长方形， 若仅从 方便平面镶嵌的角度出发，最适 宜选用的地砖规格为（）A30cmlx30cm的正方形，B.50cmlx50cm的正方形，C.60cmix60cm的正方形，D. 120cmx120cm的正方形，03.正m边形、正n边形及正p边形 各取一个内角，其和为 3600,求-的值.m n p演练巩固反馈提高01.在一个顶点处，若正n边形的

23、几个内角的和为_，则此正n边形可铺满地面，没有空隙.02.（宜昌市）如图，用同样规格的黑 白两种正方形瓷砖铺设正方形地 面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为 20 块时，白色瓷砖为_ 块，当白色瓷砖为n2（n为正整数）块时，黑色瓷砖为_ 块.03.（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六 边形地板砖按图所示的规律拼成 如下若干地板图案：则第n个图案中白色的地板砖有_ 块.04 .如图所示的图案是由正六边形密 铺而成，黑色正六边形周围的第 一层有六个白色正六边形，则第n层有_个白色正六边形05.如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有 6 个正多边形, 则该正多边形的边数为

24、（）A. 3B. 4C. 5D. 606.下列不能镶嵌的正多边组合是（ ）A.正三角形与正六边形B.正方形与正六边形C.正三角形与正方形D.正五边形与正十边形具备的条件是( )A.边长相同B.在每一点的交接处各多边形的内角和为 1800C.边长之间互为整数倍D.在每一点的交接处各多边形的内角和为 3600，且边长相等 08(荆门市)用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是 8，则第三块木板的边数 是()A4B5C6D809自贡(课改) 张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重

25、叠，所购瓷砖形状不能是( )10我们常常见到如图所示那样图案 的地板，它们分别是由正方形、 等边三角形的材料铺成的，(1) 为什么用这样形状的材料能 铺成平整、无空隙的地板？(2) 你想一想能否用一些全等的 任意四边形或不等边三角形镶 嵌成地板，请画出图形 .11某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设 它们的边数为x、y、z,你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？ 请说明理由 .12黑色正三角形与白色正六边形的 边长相等，用它们镶嵌图案，方 法如下：白色正六边形分上下两 行，上面一行的正六边形个数比 下面一行少一个，正六边形之间 的空隙用黑色的07用两种以上的正多边形镶嵌必

26、须C.正D.正八边形A.正三角形B.正方形(3) 规律依次下去，则第n个图正三角形嵌满，按第 1,2,3 个图案如图(1) 、(2) 、案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）2A.n+n+2, 2n+1B. 2n+2 ,2n+1C.4n,nn+3D. 4n, 2n+1第 0101 讲全等三角形的性质与判定考点方法破译1. 能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形全等三角形的形状和大 小完全相同；2. 全等三角形性质：全等三角 形对应边相等，对应角相等；全等 三角形对应高、角平分线、中线相等； 全等三角形对应周长相等，面积相 等;3 .全等三角形判定方法有：SASASAAASSSS对于两个

27、直角三角 形全等的判定方法，除上述方法外， 还有HL法；4.证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出 两个三角形中相等的边或角，再根据 选定的判定方法，确定还需要证明哪 些相等的边或角，再设法对它们进行 证明；5 .证明两个三角形全等， 根据 条件，有时能直接进行证明，有时要 证的两个三角形并不全等，这时需要 添加辅助线构造全等三角形，构造全 等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等经典考题赏析90,AB= CD那么图中有全等三角形（ ）【例1】如图，AB/ EF/ DC/ABC【解法指导】从题设题设条件出发， 首先找到

28、比较明显的一对全等三 角形，并由此推出结论作为下面有用 的条件，从而推出第二对，第三对全A. 5 对C. 3 对D. 2 对4到解：AB/ EF/ DC/ABG90./DC490.在厶ABC DC沖AB DCZABCZDCBABCABC CBDCB( SAS)AZA=ZD在ABEffiDCE中ZAZDZAEDZDECAAB DCABEAADCEABE= CE在RtEFB和RtEFC中ARtEFB RtEFC( HL) 故选C【变式题组】01 .(天津)下列判断中错误的是( )A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等应相等的两个三角形全等D.有一边对应

29、相等的两个等边三角形全等02.（丽水）已知命题：如图，点A D题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题， 请添加一个适当 条件使它成为真命题，并加以证 明.03.（上海）已知线段AC与BD相交于点Q连接AB DC E为OB的中点，F为QC的中点，连接EF（如图所示）.等三角形这种逐步推进的方法常用C.有两边和其中一边上的中线对B、E在同一条直线上，且AD= BEZA=ZFDE贝卩厶ABCADEF判AA断这个命题是真命题还是假命添加条件ZA=ZD，ZOEBZQFE求证：AB= DC分别将“ZA=ZD”记为，“ZOEBZQFE记为，“A养DC记为，添加、，以为ABFA DCE二AF= DE结论构

30、成命题 1;添加条件、，以为结论构成命题 2.命【变式题组】01.如图，AD BE是锐角ABC的高,题 1 是_ 命题，命题 2 是_ 命题（选择“真”或“假” 填入空格）【例2】 已知AB= DC AE= DF, CF=FB求证：AF=DE【解法指导】想证AF=DE首先 要找出AF和DE所在的三角形.人卩在厶AFBfPAAEF中,而DEftACDEfPADEF中，因而只需证明厶ABFADCE或AEFADFE即可然后再根据已知条 件找出证明它们全等的条件.证明：FB= CE FB+ EF=CE+EE即BE= CFAB DC在厶ABEffiADCF中,AEDFBE CFABEADCF（ SSSB

31、=/CAB DC在ABF和DCE中,ZBZCBF CE相交于点O,若Bd AC BC=7,CD=2,贝y AO的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5ZAC养 90,CDL AB于点D,点E在AC上,CE= BC过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：A养FCZBAC=90,AE是过A点的一条直线,【解法指导】（1）ZAFDZDCA02.如图，RtABC沿直角边BC所在ABC-/DEF/BAC-/EDF /./ABC-/FBC- /DEF-/CBF二 /ABF-ZDEC【例3】如图，AB（DEF将厶ABCPDEF的顶点B和顶点E重 合，把DEF绕点B顺时针方向旋转， 这时AC与DF相

32、交于点Q当DEF旋转至如图位置，点B（ E）、C D在同一直线上时，/AFD与/DCA的数量关系是在ABF和DEC中，AB DEZABFZDECBF ECABFADECZBAF-ZDEC/BAC-ZBAF-ZEDF-ZEDC二ZFAC-ZCDFTZAOZFAOZ当DEF继续旋转至如图位置时，中的结论成立吗？请说明理AFD=ZCDHZDCAZAFD=ZDCA【变式题组】01.（绍兴）如图，D E分别为ABC的AG BC边的中点，将此三角形 沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若ZCD-48，贝UZflAAPD等 于（）.4248B(E) C 58ZAFD=ZDCA理由如下：由ABCADEF二A

33、养DE BC-EFZ的直线向右平移得到DEF下列结论中错误的是（）A E C由_.DF图03. 张长方形纸片沿对角线剪幵，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，90、ABdADEF B.ZDE已知，如图，BD CE分别是ABC的C. ACDFCF边A C和AB边上的高，点P在BD的D. EC 延长线，BP= AC点Q在CE上,C3AB.求证：AP= AQAPIAQ【解法指导】证明线段或角相等,也就是证线段或角所在的两三角形全等:经观察，证AP= AQ也就是证厶APDC F第 2 题图AQE或厶APBOAQAC全等，由使点B F、C D在同一条直线上AQ即证/PA(90，2PA

34、DbZQAC求证：AB1ED=90就可以若P吐BC找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证【例4】（第 21 届江苏竞赛试题）CAGE证明：TBD CE分别是2122APBA QACBP CA知条件BP= AC CCAB应该证APBQAC已具备两组边对应相等，于是再证夹角/ 1 =22 即可.证API Al AQAPBAQAC/P=ZCAQ/P+ZPAA90/CAQkZPAD-90,APIAQA-第 3 题图03 .如图， 已知五边形ABCDI中,ZABC【变式题组】01.如图，已知A养AEZB-ZE,BA= ED,点F是CD的中点，求证:AF丄CD02.（湖州市竞赛试题）如图，在一个 房间

35、内有一个梯子斜靠在墙上， 梯子顶端距地面的垂直距离MA为am此时梯子的倾斜角为 75, 如果梯子底端不动，顶端靠在对 面的墙上，此时梯子顶端距地面-ZAE490,AB= CD= AE= BC+DE=2,则五边形ABCD的面积 为一BA01 .（海南）已知图中的两个三角形全D等，则Za度数是（）A. 72B. 6003 .（牡丹江）尺规作图作ZAOB的平A.B.C. bmD. am02 .如图，ACBAACM, /BCB-30，则ZACA勺度数是（）A. 20B. 30C. 35D. 40的垂直距离NB为bm梯子倾斜角为 45，这间房子的宽度是（）MNA C=!第 2 题图C. 58D. 50b

36、第 1 题图c第 2-98 分线方法如下：以o为圆心，任意长为半径画弧交OAOB于CD,再分别以点C D为圆心，以大于1CD长为半径画弧，两弧交于点2P,作射线0P由作法得厶0C耳B.ODP勺根据是（）A. SASB. ASA C. AAS D.个锐角顶点放在一起，如图，当AB、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）AABWACBD/AB /CBDC./ABC /EBD-45AC/ BE04.（江西）如图，已知AB= AD那么添加下列一个条件后，仍无法判/1-Z2，/B=ZE. BC交AD于M DE交AC于N,小华说：“一定定厶AB3AADC的是（）A CB= CDB./BAC=ZDAC

37、有ABCAAED” 小明说：ABIWAAEN”那么（）A小华、小明都对05.有两块不同大小的等腰直角三角板厶ABCffiBDE将它们的一个08.如图，ABCWAADE BC延长线锐角顶点放在一起，将它们的一交DE于F，/ B= 25 , /ACD. SSS06.如图，ABC和共顶点A, AB-AEC./BCAFZDCAD./BB.小华、小明都不对C.小华对、小明不对D= 90B第 5 题图- B=-第 4 题图口图，D-ED如果D9，/ACD的度数是D.小华不对、AC-CD AB12.105，/DAG10，则/DFB的度数为_ .09.如图，在RtABC中, /C= 90 ,DEI AB于D

38、BC= BD AC=3,那么AE+DE=_C作CFLAE垂足为F，过B作BDL BC交CF的延长线于D求证：AE= CD若AC=12cm求BD的长.归纳与叙述：由可得一个正/BAC的平分线上.13.（吉林）如图，AB= AC ADL BC于/KIEFE分/F,EBCDDEA第 8 题图B明ABC的AE=的垂线EDlA加以证明BABo=BC CE过丄AB DFBBEC证AOBC AE是BC边上的中线严C第 7交DE于点同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发若DE= a，求梯形DAB啲面积（温馨提示： 补形法）的全等三角形，并如图，AB= CD AB/ CD BO12cm上，从另直角顶点C放在直线I时，A

39、PBAQDC15.如图，AC丄BC ADL BD AD点D, AD等于AE AB平14.如图， 将找出图如图，BAL AC CD/ AB BG= DE出图中三对全等A并选取其第一两个顶点A B分别作I的速度是s.求爬行时间t为多少垂足分别为D E且BCLDE若AB=2,CD=6，则沿CB方向爬行，P的速度是s,QBACD1如图，ABC中，/BC岸 90请你E C9 题图10.11.C归纳与叙述：由可得一个正/BAC的平分线上.丄AB垂足分别是E、F.求证：CE=DF16.我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明：对于这两个三角形

40、均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知ABCAABC均为锐角三角形，A养AB，BG= BiC，ZC=/C.求证：ABCABC.（请你将下列证明过程补充完整）确结论，请你写出这个结论.第 0202 讲角平分线的性质与判定经典考题赏析【例1】如图，已知OD平分/AOB在OA OB边上截取OA= OB PMBDPNL AD求证：PMkPN【解法指导】由于PMLBD PN1AD欲证PMkPN只需/ 3=/ 4,证/ 3=/ 4,只需/ 3 和/4 所在的OBD与OB OA在OBD与OAD中，归

41、纳与叙述：由可得一个正/BAC的平分线上.1 2OBBOADOD OD/3 = / 4/PMLBD PNL AD所以PM=PN【变式题组】01.如图，CR BP分别平分厶ABC的外角/BCM/CBN求证：点P在CD202.如图，BD平分/ABC AB= BC,点P是BD延长线上的一点，PMLADPN! CD求证：PM= PNDF, 2AE=AE+AF+BE- DF,二BE=DFCFLAD CEL AB/-ZF=【例2】（天津竞赛题）如图，已ZCEB=90知四边形ABC冲，AC平分ZBAD CE丄AB于点E,且AE=1（AB AD，女口2果ZD= 120，求ZB的度数【解法指导】由已知Z1 =Z

42、2，CEL AB联想到可作CFLAD于F，得CE= CF，, AF=AE,又由AE=1（人聊AD2得DF=EB,于是可证厶CFDACEB在CEB和CFD中，CE CFF CEB, /CEBACFDDF BE/ZB=ZCDF=120,/ZCDR60 即ZB=60 .【变式题组】则ZB=ZCDR60 .或者在AE上截取AMhAD从而构造全等三角形.解:过点C作CFLAD于点F.TAC01.如图，在厶ABC中,CD平分ZACBACh5,BCh3.求邑CDSCBDAFhAE又AEh1(AE+BE+AF-2【例3】如图，在厶ABC中,ZBAC=90 ,AB= AC BE平分ZABC CEL平分ZBAD

43、CE1 AB,点C是AC上占八、7 CE= CF在RtCFA和RtCEA中,CF CEAC AC/RtAAC蔭RtACE02.（河北竞赛）在四边形ABC即，已知AB= a,AD= b.且BChDC对角线AC平分ZBAD问a与b的大小符合什么条件时，有ZB+ZD= 180,请画图并证明你的结论.CE B又/ADCAD B213AB ACBAD CAF BD= CF CE= -BD2【变式题组】01.如图，已知AC/ BD EA EB分别平分/CAB/DBA CD过点E,求证：A养AO BD面四个结论：BP= CPADLBCAE平分/BAC/PB&PCB其中正确的结论个数有）个C.02.如

44、图，在ABC中，/B= 60BE求证：BD2【解法指导】由于BE平分/ABC因而可以考虑过点D作BC的垂线或延 长CE从而构造全等三角形.证明：延长CE交BA的延长线于F,/Z1= /2,BE= BE/BEF=ZBECBEFA BECASA二CE=EF,CE=2CF1+ ZF=2/3+ZF=90 ,1 = / 3量关系，并说明理由；求证：A曰CD= AC演练巩固反馈提高01.如图，在RtABC中, /C= 90，BD平分/ABC交AC于D,若CD=n,AB=m,1A.1mn3B.则厶ABD的面积是1mn2mnC. mn在ABD和ACF中，02.如图,已知A养AC BE= CE下03.如图,在厶

45、ABC中，P、Q分别是AD CE分别是/BAC/BCA的平分线，AD CE相交于点F.请你判断FE和FD之间的数BG AC上的点，作PRL ABAC垂足分别是R、SPSL下A3 PQA.B.D. 4列结论：AS= ARPQ/ AR、BRPACSP其中正确的是A. 50B. 45C. 40D. 3504.如图，ABC中，AB= AC AD平列结论：AD= AF;A科EO分/BAC DEIAB DF丄AC垂足分别是E、F,则下列四个结论中:AD上任意一点到B、C的距离相等；AD上任意一点到AB AC的距离相等；ADL BC且BD= CD/BDE=ZCDF其中正确的是（ ）A.B.C.D.05.如图

46、，在RtABC中,ZACB=90 ,/CA* 30 ,ZACB的平分线与ZABC勺外角平分线交于E点，则ZAEB的度数为（）AO BEBO CF=AB+ AF;点P是厶ABC三条角平分线的交点其中正确的序号是（）A.B.C.D.07 .如图，点P是厶ABC两个外角平分 线的交点，贝y下列说法中不正确 的是（）A.点P到厶ABC三边的距离相等B.点P在ZABC的平分线 上C.ZP与ZB的关系是：ZP+12ZB= 90D.ZP与ZB的关系是：ZB=1ZP2A.B.C.第2题图D.A06 .如图，P是厶ABC内一BC于E,PFLAC于F，PDLAB于D, PEL第4题图且PD= PE= PF,给出下

47、08.如图，BD平分/ABC CD平分/ACE BD与CD相交于D给出下列 结论：点D到AB AC的距离相等；/BAG2/BDCD心DCDB平分/ADC其中正确的个数是（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4个09.如图，ABC中,ZC= 90AD是ABC的角平分线，DEL AB于E,下列结论中：AD平分ZCDEZBA&ZBDEDE平分ZADBAB= AO BE其中正确的个数 有（ ）A. 3 个B. 2 个C. 1 个D. 4个10.如图，已知BQ是ZABC的内角平 分线，CQ是ZACB的外角平分线， 由Q出发，作点Q到BC AC和AB的垂线QM QN和QK垂足分别为M N

48、K,J则QM QN QK的关系 是11. 如图，AD是ZBAC的平分线，DE丄AB于E，DFLAC于F，且DB= DC求证：BE= CF12. 如图，在ABC中,AD是ZBAC的平分线，DEL AB于点E，DFLAC于点F.求证：ADL EF第 3 3 讲轴对称及轴对称变换经典考题赏析【例1】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打 3 个洞，则纸片展幵后是（）【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D【变式题组】EAFC01.将正方形纸片两次对折，并剪出 一个菱形小洞后铺平，得到的图 形是（）02.（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G

49、上，点D落在点H上；然后再沿 虚线GH折叠，使B落在点E上, 点C落在点F上，叠完后，剪一 个直径在BC上的半圆，再展幵， 则展幵后的图形为（）【例 2】（襄樊）如图，在边长为 1的正方形网格中，将ABC向右平移 两个单位长度得到A B C，则与 点B关于x轴对称的点的坐标是（）A. （0, 1）B. （1，1）C.（2， 1）D（1， 1）【解法指导】 在厶ABC中， 点B的 坐标为（一 1，1），将厶ABC向右平移 两个单位长度得到A B C，由点 的坐标平移规律可得 B （ 1 + 2,1）， 即 B（ 1，1） .由关于x轴对称的点 的坐标的规律可得点B关于x轴对称 的点的坐标是（1，

50、 1），故应选D【变式题组】01.若点P（ 2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别A. 2,3B. 2,3C.2， 3D. 2， 302.在直角坐标系中，已知点P（3，2），点Q是点P关 于x轴的对称点，将点Q向03.（荆州）已知点P（a+ 1, 2a 1） 关于x轴的对称点在第一象限， 则a的取值范围为_.【例 3】如图，将一个直角三角形 纸片ABC（/AC* 90 ）,沿线段CD折叠，使点B落在B处，若/ACE* 70，则/AC*（）A.30 B.20 C. 15D. 10 【解法指导】 由折叠知/BCDZBCD设/AC*x,则/BC*/BiCD=是（）/ACB+/AC*

51、70 +x.又/AC+/BCD=/ACB即x+（70 +x）=90，故x= 10 .故选D【变式题组】01.（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D C分别落在 点D、C的位置.若/EF圧 65，则/AED等于（）A. 70 B.65 C. 50D. 2502.如图，ABC中，/A= 30，以BE为边，将此三角形对折，其次， 又以BA为边，再一次对折，C点 落在BE上，此时/CD= 82， 则原三角形中/B=03.（江苏）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（ AB AC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边 上，折痕为AD展平纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使 点A和点D重合，折痕

52、为EF展 平纸片后得到AEF（如图）. 小明认AEF是等腰三角形，你 同意吗？请说明理由.实践与运用：将矩形纸片ABC沿过点B的直 线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图）；再沿 过点E的直线折叠， 使点D落在BE上的点D处，折痕为EG（如 图）；再展平纸片（如图） 求图中/a的大小.【例 4】 如图, 在厶ABC中,AD为/BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的 延长线于点F，求证：/B=/CAF【解法指导】：EF是AD的中垂线，则可得AEFADEE/EAF=/EDF从而利用角平分线的定义与三角 形的外角转化即可.证明：TEF是AD的中垂线， AE=DE

53、/AEF=/DEF EF=EF直线成轴对称，请在下面的备用列条件:AEFADEF2+Z4=/3,二/3=/B+Z1,Z2+Z4=/B+Z1 ,/ 1 = / 2 ,/B=Z4【变式题组】01.如图，点D在厶ABC的BC边上，且BC=BD+AD,则点D在_ 的垂直平分线上.02.如图，ABC中，/AB（= 90,/C= 15,DEI AC于E,且AE=EC,若AB= 3cm,贝U DC=cm03.如图，ABC中,/BA（= 126,DEFG分别为AB AC的垂直平分 线，则/EA（=_.04. ABC中,A养AC, AB边的垂直平分线交AC于F,若A养12cmBCF的周长为 20cm则厶ABC的

54、周 长是_cm【例 5】 （眉山） 如图， 在 3X3 的 正方形格点图中，有格点ABC和 DEF且厶ABC和厶DEF关于某图中画出所有这样的DEF【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找 对称轴时，通常找图案居中的水平直 线、居中的竖直直线或者斜线作为对 称轴.若以图案居中的水平直线为对 称轴，所作的厶DEF如图所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴， 所作的DEF如图所示；若以图案居 中的斜线为对称轴，所作的DEF如图 所示.【变式题组】01.（泰州）如图，在 2X2 的正 方形格点图中，有一个以格点为顶点 的厶ABC请你找出格点图中所有与ABC成轴对称且也以格点为顶点

55、的三 角形，这样的三角形共有_涂黑部分的面积是原正方形面AA的中垂线,积的一半；涂黑部分成轴对称图形.如图乙是一种涂法，请在图 1-3 中分别设计另外三种涂法.（在 所设计的图案中，若涂黑部分 全等，则认为是同一种不同涂 法，如图乙与图丙）【例 6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛 到河岸CD处饮水后回家，试问在何处 饮水，所求路程最短？【解法指导】所求问题可转化为CD上取一点M使其AW BM为最小； 本题利用轴对称知识进行解答.解:先作点A关于直线CD的对称 点A,连接A B交CD于点M则点M为所求，下面证明此时的AW BM最 小.证明： 在CD上任取与M不重合的 点M

56、, AA关于CD对称，.CD为线段 AM= A M M=A M,在厶A M B中，有A BvA M+BM， A附BMVA M+BM，二AW BMVAM+BM，即AW BM最小.【变式题组】01.（山西）设直线丨是一条河，P、Q两地相A距 8千米，/Rfr* cf/P、Q两地到J l地距离分4别氏 r %为 2 千:A米、5 千米，AAf欲在丨上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水.现在如下四种铺设管 道方案，图中的实线表示辅设的 管道，则铺设的管道最短的是（）02 .若点A B是锐角/MOF内两点，请在OM ON上确定点C点D,使四边形ABC周长最小，写出你 作图的主要步骤并标明你确定的

57、点八、演练巩固反馈提高01.（黄冈）如图，A B C关于直线I对称，且/A= 78 , /C= 48，则/B的度数是（）A 48 B 54 C747802（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB再以AB的中点O为顶点把平角/AOE三等分，沿 平角的三等分线折叠，将折叠后 的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形03.图 1 是四边形纸片ABCD其中/B=120，/D= 50，若将其右下角向内折出PCR恰使CP/AB RC/ A如图 2 所示，则/C=（）A. 80 B. 85 C. 9

58、5. 11004.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）A.M（1，3），N（1，3）B. M（1，3），N（1， 3）C. M（1，3），N（1，3）.M（1， 3），N（ 1，3）05.点P关于x轴对称的对称点P的坐标是（一 3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（ ）A.（ 3，5）B.（ 5， 3）C.（ 3， 5）D.（ 5， 3）06.已知M（ 1 a， 2a 2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值 范围是（ ）A.1 1D. a 107. （杭州）如图， 镜子中号码的实际号码

59、是.08. （贵阳）如图， 正方形ABCD勺边长为 4cm则图中阴影部分的面积为_cn2，09.已知点 A（2a+ 3b, - 2）和 B（8,3a+ 2b）关于x轴对称，则a+b10. 如图，在ABC中，OE OF分别 是AB AC中垂线， 且/AB320 , /ABO45 ，求/BAC和/ACB的度数.11. 如图，C D E、F是一个长方形台球桌的 4 个顶点，A、B是桌面 上的两个球，怎样击打A球，才 能使A球撞击桌面边缘CF后反弹 能够撞击B球？请画出A球经过 的路线，并写出作法.12. 如图，P为/ABC的平分线与ACM PN丄BA的延长线于N.求证：AN= MC13. （荆州）有

60、如图“m”的 8 张 纸条，用每 4 张拼成一个正方形 图案，拼成的正方形的每一行和 每一列中，同色的小正方形仅为 2 个， 且使每个正方形图案都是轴 对称图形，在网格中画出你拼成 的图.（画出的两个图案不能全等）第 4 4 讲等丿腰三角形S 厂O考点方c法破译1.等腰三角形及其性质 有两条边相等的三角形叫做等腰 三角形，等腰三角形是轴对称图形， 因此它的性质有：等腰三角形的两 个底角相等（即等边对等角）；等腰 三角形的顶角平分线、底边上的中的垂直平分线的交点，PML BC于 三线合一）线、 底边上的高互相重合（即等腰三角形2等腰三角形的判定解：如图 1，当一腰上的高在三角证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明