河南省郑州市智林学校2015届高三数学上学期12月月考试卷 理（含解析）

1、河南省郑州市智林学校2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1（5分）在复平面内，复数Z=+i3对应的点位于（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限2（5分）已知集合M=x|y=lg，N=y|y=x2+2x+3，则（RM）N=（）Ax|10x1Bx|x1Cx|x2Dx|1x23（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=xex（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）Aln6+6Bln66Cln6+6Dln664（5分）已知等差

2、数列an的前n项和为Sn，其中S10=0，S15=25，则Sn取得最小值时n的值是（）A4B5C6D75（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则AOF的面积为（）ABCD26（5分）如图，若程序框图输出的S是127，则判断框中应为（）An5？Bn6？Cn7？Dn8？7（5分）设变量x，y满足，若直线kxy+2=0经过该可行域，则k的最大值为（）A1B3C4D58（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A2BCD39（5分）设偶函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，KLM为等腰

3、直角三角形，KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）ABCD10（5分）如图已知ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足，若|=2，|=3，BAC=90°，则的值为（）AB2C2D11（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为（）AB4CD12（5分）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）ax在区间（0，3上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（，e）C（0，D三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知数列a

4、n的前n项和为Sn，且2Sn=1an（nN*）（）求数列an的通项公式；（）设bn=，cn=，求数列cn的前n项和Tn18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，cn=，记数列cn的前n项和Tn，若对nN*，Tnk（n+4）恒成立，求实数k的取值范围19（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点（）求证：A1B平面ADC1；（）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值20（12分）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的

5、圆与直线xy+2=0相切（）求椭圆C的方程；（）设A（4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连结AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，试探究直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由21（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x0，aR是常数（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：aR，存在（1，e），使f（）=22（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）x2x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的

6、方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（3）证明：对任意的正整数n，不等式都成立河南省郑州市智林学校2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1（5分）在复平面内，复数Z=+i3对应的点位于（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出解答：解：复数Z=+i3=对应的点位于第四象限，故选：A点评：本题考

7、查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题2（5分）已知集合M=x|y=lg，N=y|y=x2+2x+3，则（RM）N=（）Ax|10x1Bx|x1Cx|x2Dx|1x2考点：其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域 专题：不等式的解法及应用分析：利用函数的定义域求出M，函数的值域求出N，即可求解（RM）N解答：解：集合M=x|y=lg，解得：0x1，M=x|0x1，RM=x|x0或x1N=y|y=x2+2x+3=y|y2，（RM）N=考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由求和公式易得等差数列的首项和公差，可得通项公式，解不等式可得等差数列an的前5项为负数，从第6项

8、开始为正数，易得结论解答：解：设等差数列an的公差为d，则S10=10a1+d=0，S15=15a1+d=25，联立解得a1=3，d=，an=3+（n1）=，令an=0可解得n，等差数列an的前5项为负数，从第6项开始为正数，Sn取得最小值时n的值是5故选：B点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题5（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则AOF的面积为（）ABCD2考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算AOF的面积解答：解：抛物线y2=4x的准线l：x=1|AF|

9、=3，点A到准线l：x=1的距离为31+xA=3xA=2，yA=±2，AOF的面积为=故选：B点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键6（5分）如图，若程序框图输出的S是127，则判断框中应为（）An5？Bn6？Cn7？Dn8？考点：程序框图 专题：计算题；阅读型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图，可得该程序的作用是计算S=1+2+22+2n的值，利用S=127，求出满足条件的n，并确定循环的条件，据此即可得到答案解答：解：第一次循环，S=1+2=3，n=2，满足条件，第二次循环，S=3+22=7，n=3，满足条件，第三次循环，S=

10、7+23=15，n=4，满足条件，第四次循环，S=15+24=31，n=5，满足条件，第五次循环，S=31+25=63，n=6，此时满足条件，第六次循环，S=63+26=127，n=7，此时不满足条件输出S，所以判断框的条件为n6？故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误属于基础题7（5分）设变量x，y满足，若直线kxy+2=0经过该可行域，则k的最大值为（）A1B3C4D5考点

11、：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先根据约束条件画出可行域，再利用直线kxy+2=0过定点（0，2），再利用k的几何意义，只需求出直线kxy+2=0过点B（2，4）时，k值即可解答：解：直线kxy+2=0过定点（0，2），作可行域如图所示，由得B（2，4）当定点（0，2）和B点连接时，斜率最大，此时k=1，则k的最大值为1故选A点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题8（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A2BCD3考点：简单空间图形的三视图 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据三视图判断几何体为四棱锥

12、，再利用体积公式求高x即可解答：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V=3x=3故选D点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键9（5分）设偶函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）ABCD考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题分析：通过函数的图象，利用KL以及KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定，利用函数是偶函数求出，即可求解f（）的值解答：解：因为f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，

13、KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以=，函数是偶函数，0，所以=，函数的解析式为：f（x）=sin（x+），所以f（）=sin（+）=cos=故选：D点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力10（5分）如图已知ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足，若|=2，|=3，BAC=90°，则的值为（）AB2C2D考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：利用向量的三角形法则和已知向量共线的条件即可得到，再利用向量的运算法则和数量积即可得出=解答：解：=，=故选A点评：熟练掌握向量的三角形法

14、则、向量共线定理、数量积运算是解题的关键11（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为（）AB4CD考点：直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积 专题：球分析：设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积解答：解：设球的半径为R，AH：HB=1：2，平面与球心的距离为R，截球O所得截面的面积为，d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，R2=球

15、的表面积S=4R2=故选：C点评：本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理12（5分）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）ax在区间（0，3上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（，e）C（0，D上有三个零点，进行判断解答：解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：当a0时，显然，不合乎题意，当a0时，如图示，当x（0，1时，存在一个零点，当x1时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnxax，（x（1，3）g（x）=，若g（x）0，可得x，g（x）为减函数，若g（x）0，可得

16、x，g（x）为增函数，此时f（x）必须在上有两个零点， 解得，在区间（0，3上有三个零点时，故选D点评：本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等二、填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13（5分）已知tan=2，则sincos的值为考点：同角三角函数间的基本关系 专题：计算题分析：把所求的式子分母看作“1”，利用sin2+cos2=1，从而把所求的式子化为关于tan的关系式，把tan的值代入即可求出值解答：解：由tan=2，则sincos=故答案为：点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用本题利用了sin2+cos2=1巧妙的完成弦切互化14（

17、5分）己知x0，y0，且x+y+=5，则x+y的最大值是4考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用基本不等式转化为一元二次不等式，解出即可解答：解：x0，y0，且x+y+=5，=（x+y）+，令x+y=t0，上述不等式可化为t25t+40，解得1t4，当且仅当x=y=2时取等号因此t即x+y的最大值为4故答案为：4点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、转化法，属于中档题15（5分）设x，y满足约束条件，则M（x，y）所在平面区域的面积为e22考点：定积分的简单应用 专题：导数的综合应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用定积分的应用，即可求出区域面积解答：解：作

18、出不等式组对应的平面区域如图：由x+2y=2得y=1，由exy=0得y=ex，则由积分的意义可知，所求的面积为S=（exx+x2）|=e22+11=e22，故答案为：e22点评：本题主要考查利用积分求区域面积的问题，作出不等式对应的平面区域是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的积分公式16（5分）已知函数f（x）的导数f（x）=a（x+1）（xa），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是（1，0）考点：利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：讨论a的正负，以及a与1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求解答：解：（1）当a0时

19、，当1xa时，f（x）0，当xa时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；（2）当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；（3）当1a0时，当1xa时，f（x）0，当xa时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；（4）当a=1时，f（x）0，函数f（x）无极值，不符合题意；（5）当a1时，当xa时，f（x）0，当ax1时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述1a0，故答案为 （1，0）点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键是分类讨论的数学思想，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证

20、明过程或演算步骤.）17（10分）已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=1an（nN*）（）求数列an的通项公式；（）设bn=，cn=，求数列cn的前n项和Tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）由已知得当n2时，2Sn=1an，2Sn1=1an1，两式相减，能推导出（）由=得=由此能求出数列cn的前n项和Tn解答：解：（）当n=1时，由2S1=1a1得： 当n2时，2Sn=1an；2Sn1=1an1，上面两式相减，得：所以数列an是以首项为，公比为的等比数列 （6分）（）= （10分）Tn=（1）+（）+（）+（）=1（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法

21、，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，cn=，记数列cn的前n项和Tn，若对nN*，Tnk（n+4）恒成立，求实数k的取值范围考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）当n=1时，a1=S1，解得a1当n2时，an=SnSn1，再利用等比数列的通项公式即可得出（2）利用对数的运算性质可得bn，利用cn=利用“裂项求和”即可得出：数列cn的前n项和Tn=由于对nN*，Tnk（n+4）恒成立，可得，化为=，利用基本不等式的性质即可

22、得出解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=2a12，解得a1=2当n2时，an=SnSn1=2an2（2an12）=2an2an1，化为an=2an1，数列an是以2为公比的等比数列，（2）bn=log2an=n，cn=数列cn的前n项和Tn=+=对nN*，Tnk（n+4）恒成立，化为=n+5=9，当且仅当n=2时取等号，实数k的取值范围是点评：本题综合考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、恒成立问题的等价转化、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题19（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，AB=AC=2，AA1=4

23、，点D是BC的中点（）求证：A1B平面ADC1；（）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）连接A1C，交C1A于E，证明：DEA1B，即可证明A1B平面ADC1；（）建立空间直角坐标系，求出平面ABA1的一个法向量、平面ADC1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值解答：（）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC的中点，所以DEA1B，（3分）又DE平面ADC1，A1B平面ADC1，故A1B平面ADC1 （5分）

24、（）解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），（6分）=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，（7分）设平面ADC1的法向量=（x，y，z）=（1，1，0），=（0，2，4），取z=1，得y=2，x=2平面ADC1的法向量=（2，2，1），（9分）平面ADC1与ABA1所成的二面角为，|cos|=|=（11分）从而sin=，即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为 （13分）点评：本题考查线面平行，考查平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（12分）已知椭圆C：+=1（a

25、b0）的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+2=0相切（）求椭圆C的方程；（）设A（4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连结AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，试探究直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的方程（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线PQ：x=my+3，与椭圆方程联立，得（3m2+4）y2+18my21=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MR、NR的斜率为定

26、值解答：解：（1）由题意：（2分）（4分）故椭圆C的方程为（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），若直线PQ与纵轴垂直，则M，N中有一点与A重合，与题意不符，故可设直线PQ：x=my+3（6分）将其与椭圆方程联立，消去x得：（3m2+4）y2+18my21=0（7分）（8分）由A，P，M三点共线可知，（9分）同理可得（10分）（11分）而（12分）所以故直线MR、NR的斜率之积为定值（14分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用21（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x0，aR是常数（1）求函

27、数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：aR，存在（1，e），使f（）=考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用分析：（1）求出函数f（x）的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）讨论a=0，a0，a0，运用对数函数的性质，以及分离参数，构造函数应用导数求极值、最值，即可得到a的范围；（3）设函数g（x）=f（x）=2x（e+1）+，计算g（1），g（e），讨论当ae（e1）2或时，由零点存在定理，

28、即可得证；当时，求出g（x）的最小值，判断它小于0，再由零点存在定理，即可得证解答：（1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f（1）=2+2a，则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线为y（1+a）=（2+2a）（x1），即y=（1+a）（2x1）；（2）解：a=0时，f（x）=x2，因为x0，所以点（x，x2）在第一象限，依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）0；a0时，由对数函数性质知，x（0，1）时，lnx（，0），alnx（，0），从而“x0，f（x）=x2+a（x+lnx）0”不成立；a0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）0得，设，g（x）=+，x（0，1）1（1，+）g（x）0+g（x）极小值则g（x）g（1）=1，从而，1a0；综上所述，常数a的取值范围1a0（3）证明：直接计算知，