【2019-2020】高考数学压轴题命题区间探究与突破(第一篇)专题02“三招五法”轻松破解含参零点问题学案

1、1 / 19 【20192019- -20202020】高考数学压轴题命题区间探究与突破（第一篇）专题 02 02 三招五 法轻松破解含参零点问题学案三招五法轻松破解含参零点问题 一. 方法综述 函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能 考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出 现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点“对于此类题目， 我们常利用零点存在定理、函数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形 结合思想、分离参数方法来求解.

2、 具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况， 研究零点的个数或取值；（2） 利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉 及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数； （4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问 题，从而构建不等式求解 二. 解题策略 类型一 第一招带参讨论 【例1】XX一中2018届一轮第一次检测】已知函数 f（x）= ：-,如果函数f （x）恰有 两个零点，那么实数 m的取值范围为 _ . 答案】 丨二 【解析】 分析：根据.与-2 , 0和4的大小关系逐一判断的零点个数即可得出结论. 解：若m-2,则1（的在（叫

3、ra上无零魚 在（叫+） 1个霍点以=4,不符合题意$ 若2 m0，则f 3 在（-8, 上有1个零鈕=2,在（叫+ ）上育1个零点盜=4,符合题 竜 则f 在（ -00,山上有2个零点X = -27 X = 0J在（g +切 上有1个零点；二4， 不符合題意： 若 ；，则： 在 “上有2个零点:-0，在二 上无零点，符合题意； 一： 门或-王： 故答案为： . 【指点迷津】 1. 根据题设要求研究函数的性质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范2 / 19 围； 2. 由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解 【举一反三】【扬州中学201

4、9届高三10月月考】已知定义在上的函数： : 可以表示为一个偶函数 - 与一个奇函数 之和，设 - - - 1 - ；| - - ，丁 営 - - 若方程 /：.：1 - ：i 无 实根，则实数 负的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 假设f(X)=g (x) +h (x)其中g (%)偶函数，h (x)为奇函数， 则有 f ( - x) =g ( - x) -h ( -x),即 f -=g x) -h (x)* 由解得咖=回严 h(x)= 詈空 /f X)定义在R , Ag (x)? h (x)都定义在R上. VgC-x)=驾型=测，h(-x)=穿国=-h(O 心(X)是偶函数j h (x)

5、是奇函数，Vf (x) =2田, 前=哼百=严；=2贰 + 羔 h(x)= = =2-i 2 2 /“ p (t) =t+2mt+m - m+1. 即得一 - ，且只要方程无实根，故其判别式 丨，. . .- - : . I ： 3 / 19 “/ 1恒成立，由解得 m 2,.同时成立得 K m 2. 综上，m的取值范围为mv 2. x +2ax + at x 0 :h 若关于 的方程恰有2 个互异的实数解，则口的取值范围是 _ . 【答案】： ： 【解析】分析：由题意分类讨论 和 两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果 详解：分类讨论:当x D时，方程1(天)=该卩奸+ 2ax

6、 2a = 整理可得：X2 =a(x-2), 很明显 = 2不是方程的实数解，则3 =岂 原问题等价于函数-与函数:有两个不同的交点，求 的取值范围 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象, 同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件, 结合 “观察可得，实数、的取值范围是1 . 类型 第二招数形结合 【例2】20184 / 19 【指点迷津】 1. 由两个基本初等函数组合而得的超越函数 f(x) = g(x) h(x)的零点个数，等价于方程 g(x) h(x) = 0的 解的个数，亦即 g(x) = h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数 y = g(x)与y= h(x)的图象

7、的交点个数. 2. 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.一是转化为两个函 数-：“一.的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二 是转化为：-:的交点个数的图象的交点个数问题“交点的横坐标即零点 - 0 I 3 八 )| -张+占 有三个零点，则实数 力的取值范围为_. 【答案】 【解析】 分析：求出函数|f (X)- 3x的解析式，画出函数的图象，禾U用函数的极值，转化求解即可. 4葢一x卫x 0 解：函数f (x) 2 x0 ，若函数音(X=|f (x) I-如b有三个零点， L JLJ 就是h (x) =|f (x)

8、 I-3x与5b有3个交点 fxfx- -x x2 2.0 x .0 x 4 4 5 / 19 h h (x) =1 -3xx 46 / 19 故答案为: 类型三第三招分离参数 fW = 【例3】XX市2019届10月调研】已知函数； 是定义在：上的偶函数，且 函数. :有6个零点，则实数“的取值范围是( ) A Bl B. (_/)uN C (- D . (- 【答案】D 【解析】 函数f (x) 疋疋乂在 R上的偶函数，函数 F (x) =f (x) m有六个零点, 则当x0时，函数F (x) =f (x) m有三个零点, 令 F ( x) =f ( x) m=0, 6,当且仅当x= 1时

9、取等号，此时-b 6，可得 1 1 1 当OWXW4时，x x2w，当x=时取得最大值，满足条件的 b (-, 斗 bv 6; 0 “ 综上，范围是 兀-兀2(0 x 2) 2 x ，若 当XV 0时, 7 / 19 即 m=f (x),8 / 19 当 QSxf (2) =2=2- -4=4=- -2 2? ? 故f (x)在匕2)上的值域为(-2, / 2- x 当 x2 时，f ( x) = V 0,且当 XT+8, f (X)T0, x-3 Y “-f ( X)= , x- 3 Y 令 f ( X)= =0,解得 x=3, 当 2W xv 3 时，f ( x)V 0, f ( x)单调

10、递减， 当x3时，f( x)0, f (x)单调递增， 1 f ( x) min=f (3)=-, 1 故f ( x )在2 , +8)上的值域为-,0), 1 “- -2, 1 “当- v mv 0时，当x0时，函数F (x) =f (x) - m有二个零点, 1 故当- v mv 0时，函数F (x) =f (x)- m有六个零点， 故选D. 【指点迷津】 1.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域(最值)问题加以 解决; 2.通过将原函数中的变参量进行分离后变形成 g(x) = 1(a)，则原函数的零点问题化归为与 x轴平行的直线 y = l(a)和函数g(x)的图象的交点问题. x

11、 函数 g(x) = b f(2 x)，其中 x 2, b R，若函数y = f x -g x恰有4个零点，则b的取值范围是()【举一反三】【2015年天津卷理】已知函数 2 x, f x = 2 (x2) 9 / 19 A 7亦 4 C “ 0,7 i D 4丿 【答案】D 【解析】函y = X(x)-(x)恰有4个零点，即方程八或一匱= 即b = f(x)-hf(2-x)有斗个不 同的实数根，即直线与函数 = /(十人2-0的图像有四个不同的交点.又 X2 +x+2=x 0 2fijt2 7 “做出该函数的囲像如图所示，由團得，当訂6 0，则a的取 A. (2 ,+s ) B. (一 oo

12、 C (1 , +m) D. (一 oo 值范围为( ) 【答案】B 2) 1) 【解析】 法一单调性法：利用函数的单调性求解 由已知得,a*0, f (x) = 3ax2 6x, 2 令 f (x) = 0，得 x= 0 或 x=. a 当 a0 时，x ( g, 0) , f (x)0 ; x ( 0, 2 2 ),f (x)0.所以函数 f(x) a a 10 / 19 2 2 在(8, 0)和，+上单调递增，在(0,)上单调递减，且f(0) = 10,故f(x)有小于零的零点， a a 不符合题意. 2 2 当 a0 时，x( 8, ) , f (x)0 ; x (0 ,+), f (

13、x)o, a a 2 2 只需f ( ) 0,即a 4,解得a0时，如图 所示，不合题意； 当a0时，由图 知，可先求出函数 g(x) = ax3与h(x) = 3x2 1的图象有公切线时 a的值.由g(x)= h(x) , g(x) = h(x)，得a= 2.由图形可知当a 2时，满足题意. 3 1 3 1 易知 x丰0,令 f(x) = 0，贝U a= - 3，记 g(x)= - 3， x x x x 在(8, 1)和(1 ,+8)上单调递减，在(1,0)和(0,1)上单调递增，且 象如图所示，平移直线 y = a,结合图象，可知 a 2. 11 / 19 法五特例法：巧取特例求解 取尸孔

14、则皿二尬一加+L由于AO)=h 从而用)在(-P上存在霑点，排除A、C. 4 斗 3 取盘二亍 则妙=一 护如+L由于/(0)=1,/(-)创，从而用)在(叫Q)上存在雾点.，加跆D, 故选B. 【指点迷津】 1. 本题的实质是函数f(x)存在唯一的零点 x (0 , +R),因此可利 用其代数特征转化为方程有唯一的正根 来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的 唯一性选取特例求解. 2. 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方 程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象

15、的关系求解，这样会使得问题变得 直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用 【举一反三】【2017课标3,理11】已知函数f (x) = x2 - 2x a(ex e 1)有唯一零点，则a= 1 1 1 A. B. C. D. 1 2 3 2 【答案】C 【解析】 方法一：函数的零点满足 x2 -2x = -a exJ e 1 , 1 2(x4) 设g x弋心飞宀，则g x 乂2-./4-= , e e 当g x =0时，x =1，当x 1时，g x +1)= x2+2x. ex_ 1+ e 1 _2、.exT ex+1 =2，当且仅当 x =1 时取= 2 2 x + 2x= (x1) +1

16、乞 1，当且仅当 x =1 时取 =“ 若 a0，则 a(ex 1 + e 乂十1)_2a , 1 要使f (x)有唯一零点，则必有 2a=1，即a=. 2 若aw 0,则f(x)的零点不唯一. 1 综上所述，a=丄. 2 三“强化训练 /(x) = J 总二 x -厲 1.【2018年新课标I卷理】已知函数 卩哄 Q* 十若g( x)存在2个零点, 则a的取值范围是 A. - 1 , 0) B . 0 , +R) C . - 1, +R) D . 1 , +R) 【答案】C 【解析】 画出函数fQO的團像，y = 0在丫轴右侧的去掉， 即a= 1 -t2 e2 令 h(t) 1 -t2 d

17、e上 ,易得 h(t)为偶函数, 14 / 19 再画出直线y二一知之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数團像有两个交点 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点, 即方程fOO = -x-s有两个解, 也就是函数EU)有两个零点、 此时满足一3 1 f (尤)二X - 1 2. XX高级中学 2019届8月调研】已知函数 I,若函数J| 有两个零点, 则实数 的取值范围是( ) A. (-2 B . -1 C . (-2,0)。(0卄 D . (-l0)u(0, + oo) 答案】D 解析】 若函数*二、八-n 有两个零点， 则函数 的图象与 有且仅有两个交点，

18、 在同一坐标系内画出函数 的图象与 的图象如下：15 / 19 由團可得：当他办满足条件多 由加=-10寸，y = 2_炉与y = m (x-1)相切得: lm 0时,满足条件； 故DO E E ( ( - -1, 1, 0) 0) U U (0, (0, - -Foo)Foo), , 故冼：D. 3. 【2018年仿真模拟(十)】已知函数 -X2-2X- lrx0，若关于工的方程尸V)-#(町+口二0(归町 有8个不等的实数根，则的取值范围是( ) B J C D . 【答案】D 【解析】 fw = 旷气2 0 绘制函数 -X2-2X lfx0的图象如图所示， 令 ，由题意可知，方程 :;在

19、区间上有两个不同的实数根， 令；厂- J 由题意可知: + + + + 3 6 93 6 9 - - - 14 14 9 9- -4 4 - - - - & 5 “ -+ a0 ，据此可得: 即的取值范围是 16 / 19 本题选择D选项.17 / 19 4 4.【2019届同步单元双基双测 AB卷】函数；的定义域为实数集 fW = -1,-1 x 的 ；都有；3+门一.；：=2：|,若在区间|-.二|函数 - 恰有三个不同的零点 ,对于任意 则实数-的 取值范围是( ) (1 1 1 A. I 2对B .才引C 【答案】D 【解析】 (x+2) =f (x-2), ；.f (x) =f (x

20、-4), f x)是以4为周朗的函数, 若在区间-5, 3上函数g (x) -f (x) -mxF恰有三个不同的零鼠 则f (x)和y-m (x-1)在-厂3上有3个不同的交点， 画出函数函数f (x)在-5, 3上的图象，如图示： 18 / 19 1 1 由&（=-, KBC=-，结合图象得: ） mi , 故选： ri 1 5. XX高级中学2019届8月调研】定义在 X 1上的函数fU）,满足 1 若函数gg = fg -血在b上有零点，则实数的 a取值范围是（ 【答案】B 交占 八、 7T k0Aal),其中k0A= 由图象可得, 故选：B. /IX X E 胡,且当 7T A. 1

21、1血 叭 0 C . I n D = x (lh 7T J 所以和）在1上的图象如图，要使函数 1 - ：小在L J上有零点，只要直线 与“的图象有 71 所以使函数 上有零点，则实数 的取值范围是心） 时，；-_3 【解析】 在 19 / 19 fM = 2x + 1-fxl 6. 【皖中名校联盟 2019届10月联考】设函数， - 若互不相等的实数 “满足20 / 19 1 :-则-的取值范围是（ A. ： I B . : C . 丨 D . 【答案】B 2P+1 -1 = 一 2 肝亠 + 1 且 D m 1, 所以 P = q舎）或 2 卅丄 4 2 叶 =2 即茁+ 2 勺=1 且孑

22、r4, 故西 + 2 Q+2r - l+2rE （947）,故选 B. 目（jfc1） _ （尢 A 0） 7. XX市舒城中学 2018届仿真（三）】函数 1 ，关于方程 ：.： “汁 有三个不同实数解，则实数 的取值范围为（） A. r - B . ； -.- f】 VI C.心 D . 2 计 答案】D 【解析】 2x _ 2住 + 1) 2 _ 2 x+ 1 X + 1 X + 1 0 Z-0 时， 兀 + 1 ，即 g(x 当t = 0时 2m + 3=0,解得m = 一？ 此时方程为一= 0，解得t = 0或上=- 当t = 0时/ g(x)=哺个根盖=1 当 2 爭寸，1恥)|詔

23、，此时也只有一个根, 此时方程共有两个根，不满足条件 设冷；| + / 当有一个根为 时，：；】 +川+ +、？：】 4 1 m j = 解得 ，此时另一个根为 ，满足条件 根不是I时, .( 2m + 30 :二 即 3 4 V m.莖一= 综上所述， 41 故实数 的取值范围为 8. 【双流中学2018届一模】对于函数； 和，设汀匚川,八：；，若所有的.，都有 I 二-则称 和. 互为零点相邻函数 . 与 “互为零点相 m - 2 斗 m 22 / 19 邻函数，则实数 的取值范围是( 【解析】 fw =皆71 - s为单调递増的函数，且代-Iftffl数唯一的零点，由ftQgCO互为潯点相令I数3 贝呃的雳点在听12间 (1)当农)有唯一的零点时J A=必解得a = 2,解得蛊=1满足题旨 当g(纯62J2间有唯一霧点时g(0)g(2) 必解得a (2J 综上所述解得a 2J.K选D 龙 l 4