自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及问题详解

1、word1、f(x)的定义域为R,且对任意实数x, y满足f(xy) f(x) f(y),求 证：f(x)是偶函数。2、f(x)是定义在(-°0,+oo)上的不包为零的函数，且对定义域内的任意x,y,f(x) 都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求 f(1),f(-1) 的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.3、函数 f(x)对任意 x?y C R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y), 且当 x>0 时，(1)判断并证明f(x)在区间(-oo,+oo)上的另调性；求f(x)在-3,3上的最大值和最小值.4、函数f(x)在(一1, 1)上有定义，f(1)

2、= 1，当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对2任意x、y (-1,1)都有f(x)+f(y尸f(土上)，试证明限1 xy(1)f(x)为奇函数；(2) f(x)在(一1, 1)上单调递减.5、f(x)是定义在R上的不包为零的函数，且对于任意的a,b R,都满足：f(a?b) af (b) bf (a).(1)求 f(0), f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；6、定义在R上的函数y=f(x) , f(0) w0,当x>0时，f(x)>1 ,且对任意的a、b C R,有 f(a+b)=f(a)f(b),(1) 求证：f(0)=1 ；(2) 求

3、证：对任意的xC R,包有f(x)>0 ;3证明：f(x)是R上的增函数；4假如 f(x) - f(2x-x 2)>1 ,求 x 的取值 X围。7、函数f(x)的定义域为 R,对任意实数m,n都有f (m n) f (m) f(n)二且 21 一 1 一.f (-) 0,当 x - 时，f (x)>0.2 2(1)求 f(1);(2)判断函数f (x)的单调性，并证明.8、函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件：对任意x R,有f(x)>0;对任1息 x, y R ,有 f (xy) f (x); f (一)1.3(1)求f(0)的宜(2)求证：f(x)在R上是单调减

4、函数；9、函数f(x)的定义域为R,对任意实数 m,n都有f(m n) f(m)?f(n),且当x 0 时，0 f(x) 1.(1)证明：f(0) 1,且x 0时,f(x)>1 ;(2)证明：f(x)在R上单调递减；10、 函数 f(x)对于 x>0 有意义，且满足条件f(2) 1,f(xy) f(x) f(y), f(x)是减函数。1证明：f(1) 0 ;2假如f(x) f (x 3) 2成立，求x的取值X围。11、 定义在R上的函数y=f(x) , f(0)金0,当x>0时，f(x)>1 ,且对任意的a、 b C R,有 f(a+b尸f(a)f(b),(3) 求证：

5、f(0)=1 ;(4) 求证：对任意的xC R,包有f(x)>0 ;3证明：f(x)是R上的增函数；4假如 f(x) - f(2x-x 2)>1 ,求 x 的取值 X围。12、 函数f(x) , g(x)在 R上有定义，对任意的x,y R有f(x y) f (x)g(y) g(x)f (y)且 f(1) 01求证：f (x)为奇函数2假如 f(1) f (2),求 g(1) g( 1)的值13、 函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x y) f(x) f (y)且当x > 0 ,f (x) 0.又f(1)2.判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)在区间3,3上的最大值； 解关

6、于x的不等式f (ax2) 2f(x) f (ax) 4.14、定义在R上的函数fx对任意实数a、b都有fa+b+ f a-b =2 fa fb成立，且 f (0) 0o1求f0的值；2试判断fx的奇偶性；15、定义在R上的函数f x满足:1值域为 1,1 ,且当x 0时,1 f x 0;2对于定义域内任意的实数x,y,均满足：f m n试回答如下问题：I试求f 0的值;II判断并证明函数f x的单调性；16、定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x, y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x>0时f(x) <0何成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论

7、；(2)证明f(x)为减函数；假如函数f(x)在-3 ,3上总有f(x) &6成立，试确定f(1) 应满足的条件；1 O1(3)解关于x的不等式f (ax ) f (x) -f (a x) f (a),(n是一个给je的自然数，a 0) nn参考答案f (y)中，令x f( 1) f( 1) f( 1) f (x)y -1)f(1) f(i) f 0f( 1) 0于是f(x)1、分析：在 f (xy) f (x)令 x y 1 ,得 f (1) f( x) f ( 1 x)故f (x)是偶函数2、解析:(1) vf(x)对任意x,y都有 f(xy尸yf(x)+xf(y),令 x=y=1

8、,有 f(1 X1)=1 f(1)+1 - f(1). -f(1)=0,令 x=y=-1,有f(-1) X(-1)=(-1)- f(-1)+(-1)- f(-1), f(-1)=0.(2) . f(x)对任意 x,y 都有 f(xy)=yf(x)+xf(y), 令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1).将 f(-1)=0 代入，得 f(-x尸-f(x).函数f(x)是(-°°,+ oo)上的奇函数.3、解析:(1)令 x=y=0,f(0)=0, 令 x=-y,可得 f(-x)=-f(x),设 x1?x2 C (- oo,+ oo)且 x1>x2, 如止匕

9、 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). x1>x2, , x1-x2>0. 又. x>0 时,f(x)<0.f(x1-x2)<0. 即 f(x1)-f(x2)<0.由定义可%口 f(x)在区间(-°°,+ oo)上为单调递减函数.(2) ,. f(x)在区间(-°0,+ oo)上是减函数，- f(x)在-3,3上也是减函数.fg)最大,f(3)最小.f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在-3,3上最大值为2,最小值为-2.4、思路分析：对于(1),获得f(0)的值进而取x=- y是解题关键；对于

10、(2),判定其上的X围是焦点. 1 x1x2证明：(1)由 f (x)+f (y)=f ( -一y )可令 x=y=0,得 f (0)=0, 1 xy令 y= x,得 f (x)+f ( x)=f( )=f(0)=0i.f (x)= f( -x)1 x- f (x)为奇函数(2)先证f(x)在(0, 1)上单调递减.令 0<Xi<X2<1,如止匕 f (x2) -f (x1)=f (x2)+f ( -x1)=f ( -x2x1)1 x1x2,/ 0<X1<X2<1, X2-X1>0,1 -X1X2>0,-xx>0,1 X2X1又(X2 Xi

11、) (1 X2Xi)=( X2 1)( Xi + 1)<0) . . X2 Xi<1 X2X1,.0<x2 x11 x2x1即 f(x2)<f(x1)<1,由题意知 f ( x2 x1 )<0 ,1 x1x2.(乂)在(0, 1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 ；f(x)在(一1, 1)上为减函数5、 1解：令a b 0 ,如止匕f (0) 02证明：令a b 1 ,如止匕f (1)2f ( 1), - f(1) 0令 a x,b 1 ,如此 f( x) xf (1) f(x)f(x)令a b 1 ,如止匕 f(1) 2f(1) f(1) 01

12、0 / 10 f (x)是奇函数。6、解:1令 a=b=0,如此 f(0)=f(0)2 f(0) w02令 a=x, b=-x 如止匕 f(0)=f(x)f(-x) f ( x),f(0)=11砌由 x>0 时，f(x)>1>0 ,当 x<0 时，-x>0f(x)0 又 x=0 时，f(0)=1>0f ( x)对任意 xC R, f(x)>0(3)任取 X2>Xi,如止匕 f(x 2)>0, f(x i)>0f (x2) f(x2) f( x1) f (x2 x1) 1f(X1)- f(x 2)>f(x 1) ；f(x)在R上是

13、增函数f(-x)>0x2-x 1>04f(x) - f(2x-x f(x)在R上递增.由 f(3x-x 2)>f(0)2)=fx+(2x-x 2)=f(-x2_+3x)又 1=f(0)7、1解：令 m3x-x 2>0 a 0<x<3.,.1111如此 f(1 -) 2f(1) 1f(1)2 2222任取 x1, x2R,且 x1x2 ,如此f(x2) f(x1)f(x2 x) x f(x) f(x2 x1) f(x1)11二 f (Xi)f (X2 Xi) -22一1、cf (x2 x1)02 f(x1)f(x2)函数f(x)是R上的单调增函数.8、解：二.

14、对任意 x R,有 f(x)>0, .令 x 0,y 2得，f(0) f(0)2f(0) 111一(2)任取任取x1, x2R,且x1x2,如此令x1-p1,x2-p2，故 p1p233二.函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件：对任意x R,有f(x)>0;对1任意 x,y R,有 f(xy) f (x)y; f (鼻)1111 p.1p_ f(x1) f(x2)f(-p1) f(-P2) f(-)P1 f(-)p2 03333 f(K) f(x2)函数f (x)是R上的单调减函数.9、解：(1)证明：令m 0,n 1,如此 f(0 1) f (0)? f (1) 当 x 0时

15、，0f(x) 1 ,故 f(1) 0, . f(0) 1 , 当 x 0 时，0f (x) 1. .当 x 0 时，x 0,如此 f( x x) f( x)?f(x) f(x) f(0)1 1f( x) f( x)证明：任取x1, x2 R,且x1 x2,如此f(x2)f(x。f(x2Xi)Xif(x。f(x2Xi)?”Xi)f(x1)f(x2 Xi) 1f (Xi)X2 Xi 0,0<0 f(x2 Xi) 1,故 f(x2 Xi) 1<0,又f(K) 0, f(X2 X1) 1f(X1) 0,故 f(X1) f(X2)函数f (x)是R上的单调减函数.10、(1)证明：令 x y

16、 1 ,如此 f(1 1) f (1) f(1),故 f (1) 02f(2) 1,令 x y 2,如此 f(2 2) f (2) f(2) 2,f (4) 2 f (x) f(x 3) 222fx(x 3) f(4) f(x2 3x) f(4) x2 3x 41x4f(x) f (x 3) 2成立的x的取值X围是1 x 311、解 1令 a=b=0,如止匕 f(0)=f(0)2-f(0) w0f(0)=12令 a=x, b=-x 如止匕 f(0)=f(x)f(-x). f( x)f(x)由 x>0 时，f(x)>1>0 ,当 x<0 时，-x>0 , f(-x)

17、>0 . f(x) 号)。又 x=0 时，f(0)=1>0对任意 xC R, f(x)>0(3)任取 x2>x1,如止匕 f(x 2)>0 , f(x 1)>0 , x2-x 1>0f (x2) f(x2) f ( xl f(x2 xj 1f(x1).f(x 2)>f(x 1) .-.f(x)在 R上是增函数4f(x) - f(2x-x 2)=fx+(2x-x 2)=f(-x 2+3x)又 1=f(0),f(x)在R上递增.由 f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 a 0<x<312、解：(1) 对x R ,令

18、x=u-v如此有(2) f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v尸-f(u)g(v)-g(u)f(v)=-f(x)2f(2)=f1-(-1)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)g(-1)+g(1). K2)=f(1)w0g(-1)+g(1)=113、解1取 x y 0,如此 f(0 0) 2f (0) f (0) 0取 y x,则 f(x x) f (x) f ( x)f( x) f(x)对任意x R包成立 f(x)为奇函数.2任取 x1,x2(,)且“x2,如此 x2 x10f(x2)f( Xi)f(x2Xi

19、) 0f (x2)f ( Xi),又 f(x)为奇函数 f (Xi)f (X2)f(x)在一oo, +00上是减函数.对任意x 3,3,恒有f (x) f ( 3)而 f(3)f(2 1) f (2) f (1) 3f (1)2 36f( 3)f(3) 6 f(x)在3, 3上的最大值为 63; f(x)为奇函数，.整理原式得f(ax2)f ( 2x) f (ax) f ( 2)进一步可得 f(ax2 2x) f (ax 2)而f(x)在一oo, +00上是减函数，ax2 2x ax 2(ax 2)( x 1) 0.当 a 0 时，x (,1)当 a 2 时，x x|x 1 且x R2当 a

20、0时，x x | - x 1 a2当 0 a 2 时，x x | x 或x 1 a当 a>2 时，x x | x 2 或x 1 a14、解：1令 a=b=0如此 f0+ f0=2 f0 f0所以 2 f0 f0-1=0又因为f (0) 0,所以f0=12令 a=0,b=x,如此 fx+ f 一x=2f0f x0二1 可得 f x= fx所以fx是R上的偶函数15、f m f n 中，由于函数f x的值域为1.1所以,0,所以f0.II函数fx的单调性必然涉与到于是,f m n 1 f m f n我们可以联想到:是否有这个问题实际上是：fn是否成立?为此,我们首先考虑函数的奇偶性，也即 f的关系.由于f m 0 .所以，函数为奇函数.故*式成立.所以,f X2f X1f m f n .任取 x1, x2R ,且 X2 ,如此故 f X2 Xi0 且1 f X2 , f Xi1.所以f X2 X1 1f X2 fxi0 ,所以，函数f X在R上单调递减.16、解：1由对于任意 xCR, yCR, fX+y=fX+ f y恒成立令X=y=