《平面向量》单元教学设计

1、平面向量单元教学设计武都区两水中学 王斌向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一， 有深刻的几何背景， 是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景， 理解平面向量及其运算的意义， 能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。一、单元教学目标本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及

2、坐标表示、 平面向量的数量积、 平面向量应用五部分内容。通过本章学习，应引导学生：1通过力和力的分析等实例，知道向量的实际背景，会运用平面向量和向量相等的含义，会向量的几何表示。2通过实例，会算向量加、减法的运算，并会求其几何意义。3通过实例，熟练运用向量数乘的运算，并解释其几何意义，以及两个向量共线的含义。4能说出向量的线性运算性质及其几何意义。5知道平面向量的基本定理及其意义。6掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。7会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。8解释用坐标表示的平面向量共线的条件。9通过物理中“功”等实例，说明平面向量数量积的含义及其物理意义。10体会平面向量的数量积与向量投影

3、的关系。11 识记数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。12能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。13 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题与其他一些实际问题的过程， 体会向量是一种处理几何问题、 物理问题等的工具， 发展运算能力和解决实际问题的能 力。二、学习者特征分析向量是近代数学中重要的和基本的概念之一， 它是沟通代数几何与三角的一种工具。 向量对学生来说是比较新的内容， 学生对它的学习可以说是充满了探求的欲望， 应当说能够使大部分学生在此章节的学习中体会到学习的成功乐趣。 学生在学习本单元内容之前， 已熟知了实数的运算体系，具备

4、了物理知识 . 这都为学习向量准备好各方面条件.三、单元教材分析本章共安排了 5 个小节及 2 个选学内容，大约需要12 个课时，具体分配如下2 1 平面向量的实际背景及基本概念2 课时2 2 向量的线性运算2 课时2. 3平面向量的基本定理及坐标表示2课时2. 4平面向量的数量积2课时2. 5平面向量应用举例2 课时小结2课时本章知识结构如下：1 .第一节包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。教科书首先从位移、力等物理量出发，抽象出既有大小、又有方向的量一一向量，并 说明向量与数量的区别。然后介绍了向量的几何表示、有向线向量的长度（模）、零向量、 单位向量、平行向量、

5、相等向量、共线向量等基本概念。2 .第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算 及其几何意义等内容。教科书先讲了向量的加法、加法的几何意义、加法运算律；再用相反向量与向量的加法定义向量的减法， 把向量的减法与加法统一起来， 并给出向量减法的几何意义； 然后通过 向量的加法引入了实数与向量的积的定义， 给出了实数与向量的积的运算律； 最后介绍了两 个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则。3 .第三节包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标 运算、平面向量共线的坐标表示。平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础。教科书首先通过一个

6、具体 的例子给出平面向量基本定理， 同时介绍了基底、 夹角、 两个向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基础上， 给出了平面向量的正交分解及坐标表示， 向量加、 减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念， 最后给出平面向量共线的坐标表示。 坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。4 第四节包括平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。教科书从学生熟知的功的概念出发， 引出了平面向量数量积的概念及其几何意义， 接着介绍了向量数量积的性质、 运算律及坐标表示。 向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为

7、解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。5第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例。由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用。本节通过几个具体的例子说明了它的应用。6为了拓展学生的知识面，使学生了解向量及向量符号的由来，向量的运算（运算律）与几何图形形式的关系，本章安排了两个“阅读与思考”：向量几向量符号的由来，向量的运算（运算律）与图形性质。四、教学中要注意的几个问题1 突出向量的物理背景与几何背景教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引入向量概念。在引言中通过日常生活中确定 “位置” 中的位移概念， 说明学

8、习向量知识的意义； 在节， 通过物理学中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材，说明它们都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念； 引出向量概念后， 教科书又利用有向线段给出了向量的几何背景， 并定义了向量的模、 单位向量等概念。这样的安排，可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用，使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。教科书借助几何直观，并通过与数的运算的类比引入向量运算，以加强向量的几何背景。2强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用。为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常见现象的有力的数学工具作用，本章特别注意联系实际。 特别是在概念

9、引入中加强与实际的联系。 另外， 向量也是解决数学问题的好工具，例如，和（差）角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、 平移公式及正弦定理、 余弦定理等都可以用向量为工具进行推导； 向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥梁，是一个很好的数形结合工具，教科书通过 “平面几何中的向量方法” 进行了介绍， 并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。 这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。3强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位。向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决。

10、另外，向量及其运算（运算律）与几何图形的性质紧密相联， 向量的运算 （包括运算律）可以用图形直观表示， 图形的一些性质也可以用向量的运算（运算律）来表示。这样，建立了向量运算（包括运算律）与几何图形之间的关系后， 可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算（运算律）把向量与几何、代数有机地联系在一起。几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论， 然后把这些计算结果翻译成关于点、 线、 面的相应结果。如果把解析几何的方法简单地表述为 形到数 数

11、的运算 数到形 ，则向量方法可简单地表述为 形到向量 向量的运算 向量和数到形 。教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”。 为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳， 同时还明确使用了 “因为有了运算， 向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语。4通过与数及其运算的类比，向量法与坐标法的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。向量及其运算与数及其运算既有区别又有联系， 在研究的思想方法上可以进行类比。这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路，同时还能使向量的学习找到合适的

12、思维固着点。 为此， 教科书在向量概念的引入， 向量的线性运算， 向量的数量积运算等内容的展开上，都注意与数及其运算（加、减、乘）进行类比。5引导学生用数学模型的观点看待向量内容在向量概念的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成与分解，物体受力做功等，通过这些实例是学生了解向量的物理背景、 几何背景， 引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。 同时还要通过解决一些实际问题或几何问题， 使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。6加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路向量既是代数的对象，又是几何的

13、对象。作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（例如直线的垂直、平行等），另外，利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。教学中，教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识。五、教学评价对本单元的教学我主要通过以下几种方式进行：1、通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活

14、动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。3、通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。4、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。平面向"基本定理教学设计一、内容和内容解析内容：平面向量基本定理。内容解析：向量不仅是沟通代数与几何的桥梁， 还是解决许多实际问题的重 要工具。从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案 或结果，是利用向量解决问题的基本特征。（平面向量的概念、向量的运算、平 面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。 ）平面向量基本 定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减

15、法，向量的数乘、 向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础， 同时，它还是用基本要素 （基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型 范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重 要作用。二、目标和目标解析1 .理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地 将平面上的向量用基底表示出来。2 .通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定 理。3 .通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体 会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。4 .平面向量基本定理建立了平面上的向

16、量集合与二元有序数组的集合之间 的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射） 通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算， 由此达到简化向量 的运算，这是数学的一种基本方法。5 .体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此 达到将对事物的研究转化为对基本要素 （元）的研究，通过对基本要素的内在联 系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。三、教学问题诊断分析1 .如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是教学平面 向量基本定理时的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”， 体会高维空间 向低维空间转化的重要机会与途径。

17、 因此，教学时应该从共线向量定理的意义与 作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）统一表示的方法。2 .利用向量加法的平行四边形法则，将平面上任一向量用两个不平行的确 定向量（即基底）表示出来是教学中应该关注的另一个关键问题。教学时，让学 生听教师讲解是一种处理方法，如果能结合力的分解，启发学生联想到用平行四 边形的加法法则进行向量分解，可能会有更大的收获。当然，在进行这个关键问 题的教学时，可能会涉及平行投影等知识与方法，可根据不同的学生对象进行取 舍。四、学生学习行为分析1 .学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量 的运算与数的运算混淆。2 .对于向量的加法、数乘等

18、运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运 算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为 形式上的变换。3 .如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些 角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵， 也难以认识这个定理在今后用向量方 法解决问题中的重要作用。五、教学支持条件分析1 .学生的认知基础：对平面向量与数量的“同异点及联系”有一个基本认 识，会用有向线段表示向量，掌握了向量的加法运算与数乘运算。2 .教学设备：能反映向量加法与数乘运算的计算机软件或图形计算器，尽 可能准备实物投影设备。六、教学过程设计问题1:任意找一首用简谱谱写的歌曲，你能找到用阿

19、拉伯数字“8”表示的音符吗？为什么？意图：关注依附于平面向量基本定理上的重要数学思想， 让学生明白任何一 首曲子都可以用17这七个阿拉伯数字作为音符来谱写，为用基底表示向量作铺 垫，并由此感受用“元”表达事物的思想。 提出这个与数学知识联系不紧密的问 题让学生思考的另一个目的，是将将要学习的知识与思想寓于学生感兴趣的问题 中，从而激发他们的学习欲望与热情。师生活动：教师给出一些用简谱谱写的歌曲， 提出问题让学生思考，归纳总 结出如下结论：任何一首用简谱谱写的曲子都找不出用阿拉伯数字“ 8”表示的 音符，但都可以用17这七个阿拉伯数字作为音符谱写出来。问题2:两个三角形的三条边对应相等，那么这两

20、个三角形之间有什么关系？你是 如何得出这个关系的？你能从这个问题中得到一个怎样的结论？意图：由此，使学生形成三角形的三条边是三角形这个数学对象的三个类似 于向量的“基底”的元认知，明确有关三角形（忽略了位置）的问题均可以转化 为关于三角形的三条边的问题。希望能将问题 1中“事物元分解”的观点迁移到 数学对象的认识中来，并由此引出向量的分解与基底表示的探讨。师生活动：让学生思考讨论，教师帮助学生总结出结论：“如果只考虑形状 大小，任何三角形都可由它的边来确定，因此我们可以说边是构成三角形的要素 （元），而三角形是三元对象”。任何数学对象都有确定它的基本要素（元），可 以通过探究如何用这些要素表示

21、数学对象，达到理解并把握这些数学对象的目 的。问题3:取一个与数轴方向相同的向量记为 a,那么与数轴平行的所有向量与向量 a 有什么关系？意图：回顾共线向量定理，体会共线向量的“基底”及用基底表示共线向量 的方法，明确平行向量形成“一维空间”， 形成对“一元数学对象”的认识， 并 为探究平面向量基本定理作铺垫。师生活动：引导学生回顾共线向量定理，教师重新解析共线向量定理的意义 与作用。问题4:取一个与数轴不平行的向量记为 b,那么向量b可以表示怎样的向量？意图：明确任意一个方向上的全体向量均构成“一维向量空间”， 为探究选 取两个不同方向的向量作平面向量的基底作准备。师生活动：学生思考问题4与

22、问题3的同异点与联系，教师解析这个问题的意 义与作用。问题5:对平滑的斜坡上受重力下滑的物体，你能将引起下滑的重力分解成哪几个力？意图：由重力可以分解为下滑方向的力与垂直斜坡向里的力的和，体会向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）过渡。问题6:取一个与向量a和b都不平行的向量c,那么向量c可以用向量a和b表示 出来吗？意图：得出平面向量基本定理的内容。师生活动：教师引导，学生独立探究，教师在学生的探究所获得的结论的基 础上，总结出平面向量基本定理。问题7:利用平面向量基本定理，你能解决下面问题吗?P S' - 1 耳广*D ff 1 J? F）如图在 "D中，-3,松

23、与皿相交于F ,求证：-41LLliui*ULMALj_U«LU«- LU4M- UKJLB-解析：设E二4RC;必，则3尸=2如=氏一卷，同时，由月且阳W三个 向量的终点共线，故有r r xa + (1 - x)bUllf ULtlLm日5=荒朋+口 ©££ =工口+ （1一 工）5 -Ab所以， m，从而1 n 兄二一BF 二-BD 所以， 4。意图：这个问题是一个相当简单的问题，用相似三角形之间的比例关系就可 以解决。这里的目的，是以这个熟悉而且简单的问题， 让学生感受平面向量基本 定理的重要作用，体会向量的应用，加深对平面向量基本定理的认识。师生活动：教师启发引导学生思