利用平方根定义及性质解题几个技巧

1、平方根概念解题的几个技巧平方根在解题中有着重要的应用同学们想必已经知到但是，今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用希望对大家的学习有所帮助 一、巧用被开方数的非负性求值 .大家知道，当aO0寸，a的平方根是土a，即a是非负数例 1、若2 - x - x - 2 - y = 6,求 yX 的立方根分析认真观察此题可以发现被开方数为非负数，即2-x> 0得xw 2 > 0得x> 2进一步可得x=2.从而可求出y= 6.2xZO 仪兰2 解 ' ：x2 £0，'x >2x2x=2; 当 x=2 时,y= 6.y =( 6) =36.所以yx的立方根为

2、3 36 .二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当时，a的平方根是± a，而( ：. a) (-. a) = 0.例2、已知：一个正数的平方根是2a 1与2 a，求a的平方的相反数的立方根.分析由正数的两平方根互为相反得：(2a 1)+(2 a)=0,从而可求出 a= 1,问题就解决了.解/ 2a 1 与 2 a 是一正数的平方根，'(2a 1)+(2 a)=0, a= 1.a的平方的相反数的立方根是3-1.三、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道-0,1卩a=0时其值最小，换句话说、a的最小值是零.例3、已知：y=心-2 ,.3(b 1),当a、b取不同的

3、值时，y也有不同的值.当y最小 时,求ba的非算术平方根.分析 y= . a-2 3(b 1),要y最小，就是要 2-2和.3(b 1)最小，而Ja -2 >0 *；3(b+1) >0 显然是 Ja-2=0 禾口 *；3(b+1)= 0,可得 a=2,b= 1.解 / . a -2 >0 J3(b +1) >0 y= Ja -2 + J3(b +1),二 Ja _ 2=0 和 J3(b +1) =0 时，y 最小.由 Ja - 2 =0 和.3（b 亠 1） =0，可得 a=2, b= 一 1.所以ba的非算术平方根是 1 = 一1.四、巧用平方根定义解方程 .我们已经

4、定义：如果x2=a （a>0那么x就叫a的平方根.若从方程的角度观察，这里的x 实际是方程x2=a （a>0的根.例4、解方程（x+1） 2=36.分析 把x+1看着是36的平方根即可.2解 （ x+1）=36 x+1 看着是 36 的平方根.x+1= ±6.二 X1=5 ,x2= 7.例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程（后来要学的方程）.你能否解27（x+1）3=64这个方程呢？不妨试一试.利用平方根的定义及性质解题如果一个数的平方等于 a （a>0,那么这个数是 a的平方根.根据这个概念，我们可以 解决一些和平方根有关的问题.例1已知一个数的平方根是2a

5、1和a11,求这个数.分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.互为相反数的两个数的和为零.解：由 2a 1+a 11=0，得 a=4，所以 2a仁2X4 1=7 .所以这个数为72=49.例2已知2a 1和a 11是一个数的平方根，求这个数.分析：根据平方根的定义，可知2a 1和a11相等或互为相反数.当2a仁a 11时，a= 10,所以2a仁一21，这时所求得数为（一21）2=441;当2a 1 + a 11=0时,a=4,所以2a仁7，这时所求得数为 72=49.综上可知所求的数为 49或441.例3已知2x 1的平方根是 戈,2x+y 1的平方根是 犬,求2x

6、3y+11的平方根分析：因为2x 1的平方根是±5,所以2x仁36,所以2x=37;因为2x+y 1的平方根是±5,所以 2x+y仁25,所以 y=26 2x= 11,所以 2x 3y+11=37 3X（ 11）+11=81,因为81的平方根为±9所以2x3y+11的平方根为±9.例4若2m 4与3m 1是同一个数的平方根，则m为（ ）（A） 3（ B）1（ C） 3 或 1（ D） 1分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m 4=3m 1，此时，m= 3;（2） 一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m 4） + （3m 1） =

7、0,解得m=1 .所以选（C）.练一练：1. 已知x的平方根是2a 13和3a 2,求x的值.2. 已知2a 13和3a 2是x的平方根，求x的值3. 已知 x+2y=10,4x+3y=15,求 x+y 的平方根.答案:1.49;2. 49 或 1225; 3. _ 5 .估计方根的取值，你会吗在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜.解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手.例1不求10的值，正确的是（)(A)3.15 v , 10 v 3.16(B)3.16v帀 v 3.17(C)3.17 v , 10 v 3.18(D)3.18v、一10 v 3.19.分析:

8、.10表示10的算术平方根，要确定在 3.15、3.16、3.17、3.18、3.19 当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间解：计算知，3.仿=9.9225 , 3.1$= 9.9856,3.172= 10.0489.所以 3.162v 10v 3.172.所以 3.16v .10 v 3.17，应选 B.例2估计68的立方根的大小在（）（A） 2与3之间（B） 3与4之间（C） 4与5之间（D） 5与6之间.分析：要估计68的立方根的大小在哪两个连续整数之间，只需看看68在哪两个连续整数的立方之间.解：计算知，23= 8,33=27,43= 64,53= 125 .

9、所以 43 v 68 v 53 .所以4< 3 68 v 5,应选B.例3下列各数与7最接近的是（）(A) 2.5(B) 2.6(C) 2.7(D) 2.8.分析：要比较2.5、2.6、2.7、2.8这四个数哪个与.7更接近，只需看看这四个数中哪个数的平方更接近7.解：计算知，2.52=6.25,2.6":=6.76,2.72 =7.29,2.82 =7.84.因为 72.5 = 0.75,7-2.6" = 0.24,2.72 一7 = 0.29,2.82 一7 = 0.84,所以 2.62 比 2.52、2.72、2.82 更接近 7,所以2.6比2.5、2.7、2

10、.8更接近、7 应选B.平方根典例分析平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.一、基本题型例1求下列各数的算术平方根215（1）64 ；（ 2）（-3）2 ；（ 3）1.49分析：根据算术平方根的定义， 求一个数a的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a的正数.解：（1）因为82 =64，所以64的算术平方根是8，即64 =8 ；（2） 因为（-3）2 =32 =9，所以（-3）2的算术平方根是3，即.（-3）2 =3 ；（3）因为115 乂

11、64，又（8）2 =里，所以115的算术平方根是-，即.115 = 8.4949749497 V 4972点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意（-3）的算术平方根是3,而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似164、11-的错误.497想一想：如果把例 1改为：求下列各数的平方根 .你会解吗？请试一试 例2求下列各式的值(1) _ .81 ; (2 - 16 ;(3)?25(4) ,口)2.分析：±.、81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；16表示16的负平方根，故其结果是负数；、9表示的算术平方根，故其结果是正数;2

12、525(-4)2 表示(一4)2的算术平方根，故其结果必为正数解：(1)因为 92 =81，所以 土81 = ±9.(2)因为 42 =16，所以. 16 二-4.(3)因为即=25，所以(4)因为 42 =(4)2，所以- 4)2 =4.点评：弄清与平方根有关的三种符号土、a、a、一、a的意义是解决这类问题的关键.± a表示非负数a的平方根.、a表示非负数a的算术平方根， a 表示非负数a的负 平方根注意,a工土 a 在具体解题时，符与一 ”的前面是什么符号， 其计算结果也就是什 么符号，既不能漏掉，也不能多添例3若数m的平方根是2a 3和a -12，求m的值分析：因负数

13、没有平方根，故 m必为非负数，故本题应分两种情况来解解：因为负数没有平方根，故 m必为非负数.(1) 当m为正数时，其平方根互为相反数， 故(2a 3) + ( a -12 )=0，解得a =3 ,故 2a +3 = 2 汇3+3 =9 , a 12 =3 12 = 9，从而 a =92 =81.(2) 当m为0时，其平方根仍是 0 ,故2a 3=0且3a -43 = 0，此时两方程联立无解.综上所述，m的值是81.想一想：如果把例3变为：若2a 3和a -12是数m的平方根，求m的值.你会解吗？ 请试一试.二、创新题型例4先阅读所给材料，再解答下列问题：若，X -1与.1 - X同时成立，则

14、X的值应是多少？有下面的解题过程:.X - 1和 J - X都是算术平方根，故两者的被开方数X -1,1 -X都是非负数，而X -1和1 -X是互为相反数.两个非负数互为相反数，只有一种情 形成立，那就是它们都等于0，即x -1=0，1 _x=0,故x =1.问题：已知y -2x .、2x-1 2,求Xy的值.解：1由阅读材料提供的信息，可得2 x 一 1 = 0,故x =.进而可得y = 2 .故2(1彳1= 丨=.2丿4点评：这是一道阅读理解题解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题例5请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第、个式子 .16=1 16=1 42 = . 1 ： -42 =1 4=4 ； .32 = . 216 = 2 42- . 2 42-2 4 = 4.2 ； 48 = J3 汉 16 = <3 汉 42= y3y/42= 辺 4 = 4寸3 .分析：要写出第、个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第、个式子的被开方