推理与证明专题3――函数、数列、不等式中的应用

1、专题3：推理与证明在函数、数列、不等式中的应用例题分析：例1观察圆周上个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出个点可以连 条弦例2观察下列四个不等式：，根据这些不等式的特点，可以归纳出一个一般的不等式为 例3设，利用推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值为_例4设数列是等比数列，则有以下性质：数列 也是等比数列.（1）类比上述性质，写出等差数列的类似性质；（2）证明（1）所得的结论.例5设数列满足，（1）求，；（2）猜想数列的通项公式，并予以证明达标训练：1. 观察：； ；.对于任意正实数，试写出使成立的一个条件

2、可以是 _.2. 设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则=_；当时， 3. 在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式成立.4. 我们将具有下列性质的所有函数组成集合：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立（1）若定义在上的函数，试比较与大小.（2）设函数，求证：.5已知：等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：（1）anam(nmd.（2）若mnpq，其中，m、n、p、qN*，则amanapaq.（3）若mn2p，m，n，pN*，则aman2ap.（4）Sn，S2nSn，S3nS

3、2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质，并对结论（4）加以证明6求证：，课后作业：.考.1.在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，同时将圆分割成7部分. 那么（1）在圆内画四条线段，彼此最多分割成 条线段？同时将圆分割成 部分？（2）猜想：圆内两两相交的(2条线段，彼此最多分割成 条线段，同时将圆分割成 部分.2设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列3根据给出的

4、数塔猜测12345697（）19211129311112394111 1123495111 11A111 111 B111 111 1 C111 111 2 D111 111 34函数由下表定义：2531412345若，则 5设 ，又记 则（ ）A B C D6. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.（1）求；（2）猜想，并写出猜想过程7. 证明不等式，能力提升： 1. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式： 根据上述分解规律

5、，则 ，若的分解中最小的数是73，则的值为 .2. 等比数列的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数（且均为常数）的图象上. （1）求的值； （2）当时，记 证明：对任意的，不等式成立3. 求证：专题3：推理与证明在函数、数列、不等式中的应用例题分析：例1. 例2例3. 解析：本题是“方法类比”因等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到而当x1x21时，所以例4（1）解：数列也是等差数列（2）证明：设等差数列的公差为，则则所以数列是以为首项，为公差的等差数列例5解：（1）由，得，（2）猜想的通项公式：，以下用数学归纳法证明：当时，猜想成立假设当时，则当时，猜想

6、也成立所以，达标训练： 图B1. 2. 5；解析：由图B可得，由，可推得n每增加1，则交点增加个，3. b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*解析：从分析所提供的性质入手：由a100，可得aka20k0，因而当n19n时的情形由此可知：等差数列an之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：an1a19n2a100，类似地，在等比数列bn中，也有性质：bn1b17nb1，因而得到答案：b1b2bnb1b2b17n (n17，nN*4. 解：（1）对于，令得（2） ，所以5解：等比数列bn中，公比为q（），前n项和为Sn.（1）bnbmqnm.（2）若mnpq，其中m，n，p，qN

7、*，则bmbnbpbq.（3）若mn2p，其中，m，n，pN*，则bbmbn.（4）Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列证明：当时，则是公比为1的等比数列当时，则，即则是公比为的等比数列6证明：（1）当时，左边=右边，等式成立（2）假设当时等式成立，即则当时，等式也成立综合（1）（2），对任意的，原等式成立课后作业：1.（1）16，11 （2）2. 设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4b14q6，T8b18q127b18q28，T12b112q1211b112q66，b14q22，b14q38，即（）2T4，故T4，成等比数列3B44. 解析：，5C. ，1 卓奋.广州环境科学.广州：广州环境科学出版社，1998，13（2）2 国家环境保护总局监督管理司.中国环境影响评价培训教材7. 证明：（1）当时，左边=，右边=24 国家环境保护总局环境工程评估中心.环境影响评价技术方法2）假设当时等式成立，即当时，即当时， 不等式也成立综合（1）（2），对任意的，原不等式成立能力提升：1. ；9解析：的分解中，最小的数依次为3，7，13，由得2. 解：（1）依题意得，当时，当时，又因为对，为等比数列，所以，即（2）当时，, 则，所以下面用数学归纳法证明不等式成立.1 当时，左边=，右边=，因为，