江苏2012高考数学二轮专题复习：第2讲　函数、图象及性质

1、函数、图象及性质1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一2. 重点：函数的奇偶性、单调性和周期性；函数与不等式结合；函数与方程的综合；函数与数列的综合；函数与向量的综合；利用导数来刻画函数3. 难点：新定义的函数问题；代数推理问题，常作为高考压轴题1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，则f(x)_.2.函数f(x)的定义域为_3.函数f(x)的定义域是R，其图象关于直线x1和点(2 , 0)都对称，f2，则ff_.4.函数f(x)x22x，g(

2、x)mx2，对x11,2，x01,2，使g(x1)f(x0)，则实数m的取值范围是_【例1】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)2，求函数f(x)的最小值. 【例4】(2011苏锡常镇模拟)已知函数f(x)a|x|，a为实数(1) 当a1，x1,1时，求函数f(x)的值域；(2) 设m、n是两个实数，满足mn，若函数f(x)的单调减区间为(m，n)，且nm，求a的取值范围1. (2011辽宁)若函数f(x)为奇函数，则a_.2.(2011湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)_.3.(2011上海)设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f

3、(x)xg(x)在0,1上的值域为2,5，则f(x)在区间0,3上的值域为_4.(2011北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为_5.(2011上海) 已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0.(1) 若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若abf(x)时x的取值范围6.(2011湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆

4、/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1) 当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时) (2011镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1) 如果x1,4，求函数h(x)(f(x)1)g(x)的值域；(2) 求函数M(x)的最大值；(3) 如果对不等式f(x2)f()kg(x)中的任意x1,4，不等式恒成立，求实数k的取值范围解：令tlog2

5、x，(1分)(1) h(x)(42log2x)log2x2(t1)22，(2分) x1,4， t0,2，(3分) h(x)的值域为0,2(4分)(2) f(x)g(x)3(1log2x)，当0x2时，f(x)g(x)；当x2时，f(x)g(x)，(5分) M(x)M(x)(6分)当0x2时，M(x)最大值为1；(7分)当x2时，M(x)1.(8分)综上：当x2时，M(x)取到最大值为1.(9分)(3) 由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)klog2x， x1,4， t0,2， (34t)(3t)kt对一切t0,2恒成立，(10分)当t0时，kR；(11分)t(0,

6、2时，k恒成立，即k4t15，(12分) 4t12，当且仅当4t，即t时取等号(13分) 4t15的最小值为3.综上：k3.(14分)第2讲函数、图象及性质1. 已知a，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为_【答案】mn解析： 考查指数函数的单调性a(0,1)，函数f(x)ax在R上递减由f(m)f(n)得：mn.2. 设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|. (1) 若f(0)1，求a的取值范围； (2) 求f(x)的最小值； (3) 设函数h(x)f(x)，x(a，)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集点拨： 本小题主要考查函数的

7、概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力解：(1) 若f(0)1，则a|a|1a1. a的取值范围是(，1(2) 当xa时，f(x)3x22axa2，f(x)min当xa时，f(x)x22axa2，f(x)min综上f(x)min(3) x(a，)时，h(x)1得3x22axa210，4a212(a21)128a2.当a或a时，0，x(a，)；当a时，0，得：讨论得：当a时，解集为(a，)；当a时，解集为当a时，解集为.综上，当a时，解集为(a，)，当a时，解集为，当a时，解集为.基础训练1. x2x2. (，1)

8、(1,0)解析：x0，x1.3. 4解析：函数图象关于直线x1对称，则f(x)f(2x)，函数图象关于点(2 , 0)对称，则f(x)f(4x)， f(x2)f(x)， f(x4)f(x)， fff，又fff，ff2f2f4.4. 解析：x1,2时，f(x)1,3m0，x1,2时，g(x)2m,22m；m0，x1,2时，g(x)22m,2mm0，2m，22m1,3；m0，22m,2m1,3得0m或1m0，故实数m的取值范围是.例题选讲例1解： (1) f(x)是二次函数，且f(x)0的解集是(0,5), 可设f(x)ax(x5)(a0) f(x)在区间1,4上的最大值是f(1)6a.由已知得6

9、a12, a2, f(x)2x(x5)2x210x(xR)(2) 方程f(x)0等价于方程2x310x2370.设h(x)2x310x237，则h(x)6x220x2x(3x10)当x时，h(x)0，h(x)是减函数；当x时，h(x)0，h(x)是增函数 h(3)10，h0，h(4)50， 方程h(x)0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m3，使得方程f(x)0在区间(m，m1)内有且只有两个不同的实数根变式训练已知函数yf (x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)的图象关于原点对称又知yf(x)在0,1上是一次函

10、数，在1,4上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.(1) 证明：f(1)f(4)0；(2)求yf(x)，x1,4的解析式；(3)求yf(x)在4,9上的解析式(1)证明： f (x)是以5为周期的周期函数， f(4)f(45)f(1)，又 yf(x)(1x1)关于原点对称， f(1)f(1)f(4), f(1)f(4)0.(2)解： 当x1,4时，由题意可设f(x)a(x2)25(a0)，由f(1)f(4)0得a(12)25a(42)250， a2， f(x)2(x2)25(1x4)(3)解： yf(x)(1x1)是奇函数， f(0)0，又知yf(x)在0,1上是一次函数， 可设f(x)k

11、x(0x1)，而f(1)2(12)253， k3， 当0x1时，f(x)3x，从而当1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x， 当4x6时，有1x51， f(x)f(x5)3(x5)3x15，当6x9时，1x54， f(x)f(x5)2(x5)2252(x7)25， f(x)点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值例2解： (1) 当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x), f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2(a0，x0)，取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0， f(1)f(1)，f(1)f(

12、1)， 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2) (解法1)设2x1x2，f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，要使函数f(x)在x2，)上为增函数，必须f(x1)f(x2)0恒成立 x1x20，x1x24，即ax1x2(x1x2)恒成立又 x1x24, x1x2(x1x2)16. a的取值范围是(，16(解法2)当a0时，f(x)x2，显然在2，)为增函数当a0时，反比例函数在2，)为增函数， f(x)x2在2，)为增函数当a0时，同解法1. (解法3)f(x)2x0，对x2，)恒成立 a2x3而y2x3.在2，)上单调增，最小值为16， a16.点评：本题主要考查函数奇偶性、

13、单调性及分类讨论处理含参数问题例3解：(1) 由已知f(x)f(x)，即|2xa|2xa|，解得a0.(2) f(x)当xa时，f(x)x22xa(x1)2(a1)，由a2，xa，得x1，从而x1，又f(x)2(x1)，故f(x)在xa时单调递增，f(x)的最小值为f；当xa时，f(x)x22xa(x1)2(a1)，故当1x时，f(x)单调递增，当x1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)a1；由(a1)0，知f(x)的最小值为a1.点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法变式训练已知函数f(x)x|x2|.设a0，求f(x)在0，a上的最大值解： f(x)x|x2| f(x)的

14、单调递增区间是(，1和2，); 单调递减区间是1,2 当0a1时，f(x)是0，a上的增函数，此时f(x)在0，a上的最大值是f(a)a(2a)； 当1a2时，f(x)在0,1上是增函数，在1，a上是减函数，此时f(x)在0，a上的最大值是f(1)1； 当a2时，令f(a)f(1)a(a2)1a22a10, 解得a1.若2a1，则f(a)f(1)，f(x)在0，a上的最大值是f(1)1；若a1，则f(a)f(1)，f(x)在0，a上的最大值是f(a)a(a2)综上，当0a1时，f(x)在0，a上的最大值是a(2a)；当1a1时，f(x)在0，a上的最大值是1；当a1时，f(x)在0，a上的最大

15、值是a(a2)例4解： 设yf(x)，(1) a1时，f(x)|x|，当x(0,1时，f(x)x为增函数，y的取值范围为(1,1当x1,0时，f(x)x，令t，0t1，则xt21，y2，0t1，y的取值范围为. 1，x1,1时，函数f(x)的值域为1,1(2) 令t，则xt2a，t0，yg(t)ta|t2a|. a0时，f(x)无单调减区间； a0时，yg(t)at2ta2，在上g(t)是减函数，则在上f(x)是减函数a0不成立 a0时，yg(t)仅当，即a时，在t时，g(t)是减函数，即x时，f(x)是减函数nma，即(a2)(16a2a2)0. a2.故a的取值范围是.高考回顾1. 解析：

16、f(x)f(x)恒成立或从定义域可直接得到2. g(x)解析： 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)g(x)f(x)g(x)ex.又因为f(x)g(x)ex，所以g(x).3. 2,7解析：设x10,1，则f(x1)x1g(x1)2,5， g(x)是定义域为R周期为1的函数， 当x21,2时，f(x2)x11g(x11)1x1g(x1)1f(x1)1,6，当x22,3时，f(x2)x12g(x12)2x1g(x1)2f(x1)0,7， f(x)在区间0,3上的值域为2,74. 4解析：AB2，直线AB的方程为xy2，在yx2上取点C(x，y)，点C(x，y)到直线AB的距离为，|xx22|2，此方程有四个解5. 解：(1) 当a0，b0时，任意x1，x2R，x1x2，则f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)， 2x12x2，a0a(2x12x2)0,3x13x2，b0b(3x13x2)0， f(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数当a0，b0时，同理函数f(x)在R上是减函数(2) f(x1)f(x)a2x2b3x0，当a0，b0时，x，则xlog1.5；当a0，b0时，x，则xlog1.5.6. 解：(1) 由题意：当0x20时，v(x)60