江苏南京四区县2013高三上学期12月联考--数学

1、江苏南京四区县 2013 高三上学期 12 月联考数学试题注意事项：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答卷纸参考公式：1样本数据x1，x2，xn的方差s2(xi)2，其中是1n x x这组数据的平均数2柱体、锥体的体积公式：V柱体Sh，V锥体Sh，其中S是柱13（锥）体的底面面积，h是高一填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在

2、答题纸相应位置上）1已知集合M1，2，3，4，5，N2，4，6，8，10，则MN 2若(1 2 )( ,i iabi a bR,i为虚数单位), 则ab= 3. 函数)2lg()(xxf的定义域为 .4. 程序框图（即算法流程图）如图（右）所示，其输出结果开始3a13 aa100?a 输出a结束是否是_.5. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） ，先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为6的概率是 6. 在ABC 中，sin:sin:sin2:3:4ABC ，则cosC= 7. 在等比数列na中，nS为其前n项和，已知5423aS，6523aS，则

3、此数列的公比q为 8. 已知向量),cos6, 9(),3, 5(ba 是第二象限角，)2/(baa，则tan= 9. 设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题： 若m，则m；若m/，m，则；若，则；若m，n，m/n，则/上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）10. 函数xxxxycossin2sincos22, 2, 0 x的最大值为 11.设椭圆C：)0( 12222babyax的左、右焦点分别为12,F F，上顶点为A，过点A与2AF垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且02221QFFF则椭圆C的离心率为 12. 过圆x2y21 上一点P作圆的切线与x轴和y轴分

4、别交于A，B两点，O是坐标原点，则|2|OBOA的最小值是 13.已知ABC的三边长a，b，c成等差数列，且22284abc，则实数b的取值范围是 14. 设函数( )f x的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意()xM MD，有xlD ，且()( )f xlf x，则称( )f x为M上的l高调函数如果定义域为R的函数( )f x是奇函数，当0 x时，22( ) |f xxaa，且( )f x为R上的 4 高调函数，那么实数a的取值范围是 二解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15 （本小题满分 14 分）在三角形

5、ABC中，已知2AB ACABAC ，设CAB，（1）求角的值；（2）若4 3cos( - )=7 ，其中5(,)36，求cos的值.16(本小题满分 14 分)如图的几何体中，AB 平面ACD，DE 平面ACD，ACD为等边三角形，ABDEAD2，F为CD的中点（1）求证：/AF平面BCE；（2）求证：平面BCE 平面CDE.BAEDCF17. （本小题满分 14 分） 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2( )1(0)f xaxa 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N

6、，交曲线于点P，设( ,( )P t f t（1）将OMN（O 为坐标原点）的面积S表示成t的函数( )S t；（2）若在12t 处，( )S t取得最小值，求此时a的值及( )S t的最小值.18. （本小题满分 16 分）如图：已知,A B是圆224xy与x轴的交点，P为直线:4l x 上的动点，,PA PB与圆224xy的另一个交点分别为,M N.（1）若P点坐标为(4,6)，求直线MN的方程；OxyMNPBNMPAO（2）求证:直线MN过定点.19 （本题满分 16 分）已知函数f(x)axx2xlna(a0，a1)（1）当a1 时，求证：函数f(x)在(0，)上单调递增；（2）若函数

7、y|f(x)t|1 有三个零点，求t的值；（3）若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1，试求a的取值范围20 （本题满分 16 分）设等差数列na的公差0d，数列nb为等比数列，若aba11，33ba ，57ba （1）求数列nb的公比q；（2）若*,Nmnbamn，求n与m之间的关系；（3）将数列na，nb中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列nc，是否存在正整数rqp,)(rqp使得rqp,和rcqcpcrqp,均成等差数列？说明理由。【数学附加题】21 选做题在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分，请在答题纸指定区域内作答

8、，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A选修 41：（几何证明选讲）如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A B, ，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O CP D、 、 、 四点共圆B选修 42：(矩阵与变换)已知二阶矩阵M有特征值3 及对应的一个特征向量111e ，并且矩阵M对应的变换将点（1，2）变换成（9，15） ，求矩阵MMPABOCD（第 21A 题）C选修 44:（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2 2sin()4，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为415315xtyt （t为参数）

9、 ，求直线l被曲线C所截得的弦长. D选修 45（不等式选讲）已知实数, ,x y z满足2xyz，求22223xyz的最小值；必做题第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22袋中装着标有数字 1，2，3，4 的卡片各 1 张，甲从袋中任取 2张卡片(每张卡片被取出的可能性都相等)，并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E(X)的概率23 （本小题满分 10 分）对一个边长互不相等的凸(3)n

10、 n 边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色所有不同的染色方法记为( )P n（1）求(3), (4), (5)PPP； （2）求( )P n参考答案一填空题 12，4 2. 2 3. 1 , 4. 283 5. 536 6. 14 7. 38. 34 9. 10. 2 11. 21 e 12. 3 13. (2 6,2 714. 1, 1；解析：由( )f x为奇函数及0 x时的解析式知( )f x的图象如下图右所示，222(3)()faafa，由2222(4)()(3)fafaafa，故2243aa+ ，从而21a ，又21a 时，恒有(4)(

11、 )f xf x，故21a 即可a3an-1ana2a1-a2a2-a2a2Oyx1O-1yx二解答题15解：（1）由2AB ACABAC ，得2cosABACABAC 所以1cos2，又因为0 为三角形ABC的内角，所以3，6 分（2）由（1）知：3sin2，且(0,)2，所以1sin()78 分故coscos()cos()cossin()sin4 31133 3727214. 14 分16 （1）证明：取CE的中点G，连结FGBG、F为CD的中点，/GFDE且12GFDEAB 平面ACD，DE 平面ACD， /ABDE，/GFAB 又12ABDE，GFAB 四边形GFAB为平行四边形，则/

12、AFBG AF 平面BCE，BG 平面BCE， /AF平面BCE7分（2）证明：ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD DE 平面ACD，AFACD 平面，DEAF /BGAF，,BGDE BGCD又CDDED， BG 平面CDEBAEDCFGBG 平面BCE， 平面BCE 平面CDE14 分17解：（1）2yax ，切线的斜率为2at，1 分切线l的方程为2(1)2()yatat xt 令0,y 得22221121222atatatatxtatatat 21(,0)2atMat,3 分令0t ,得2222121,(0,1)yatatatNat 5 分MON的面积22221 1(1)(

13、)(1)224atatS tatatat 6 分(2) 2 422222321(1)(31)( )44a tatatatS tatat 0,0at,由( )0S t,得21310,3atta 得8 分当21310,3atta 即时, ( )0S t当21310,03atta 即时, ( )0S t1, ( )3tS ta当时有最小值已知在12t 处, ( )S t 取得最小值,故有114,233aa12 分故当41,32at时,2min4 1(1)123 4( )( )4 12343 2S tS 14 分18解（1）直线PA方程为2yx , 由2224yxxy解得(0,2)M,2 分直线PB的

14、方程36yx ,由22364yxxy解得86( ,)55N,4 分所以MN的方程22yx 6 分(2)法一：设(4, )pt,则直线PA的方程为(2)6tyx,直线 PB 的方程为(2)2tyx224(2)6xytyx得22272224(,)3636ttMtt，同理222288(,)44ttNtt10 分直线MN的斜率222222224883647222812364tttttkttttt12 分直线MN的方程为22228288()1244tttyxttt,化简得：22881212ttyxtt14 分所以直线MN过定点(1,0)16 分注：其他解法酌情对应给出相应的分数.法二：设01122(4,

15、),( ,),(,)PyM x yN xy，003326BPAPyykk ，即1212322yyxx,两边平方得：221222129(4)4(2)(2)xxxx，整理得12129(2)222xxxx即121225()80 x xxx（1）,设MN的方程为()yk xm，代入2240 xy中得22222(1)240kxk mxk m，得22212122224,11k mk mxxx xkk代入(1)式得222228108011k mk mkk，即22(54)0kmm.当0k ，1m ，或4m （舍）当0k 时，直线MN即为直线 AB，所以直线MN过定点(1,0).19解：（1）( )ln2ln2

16、(1)lnxxfxaaxaxaa3 分由于1a ，故当(0,)x时，ln0,10 xaa ，所以( )0fx，故函数( )f x在(0,)上单调递增5 分（2）当0,1aa时，因为(0)0f ，且( )fx在 R 上单调递增，故( )0fx有唯一解0 x 7 分所以,( ),( )x fxf x的变化情况如下表所示：x(,0)0(0,)( )fx0( )f x递减极小值递增又函数|( )| 1yf xt有三个零点，所以方程( )1f xt 有三个根，而11tt ，所以min1( ( )(0)1tf xf ，解得2t 10分（3）因为存在12, 1,1x x ，使得12|()()|1f xf x

17、e，所以当 1,1x 时，maxminmaxmin|( ( )( ( )| ( ( )( ( )1f xf xf xf xe11分由（2）知，( )f x在 1,0上递减，在0,1上递增，所以当 1,1x 时，minmax( ( )(0)1,( ( )max( 1),(1)f xff xff12分而11(1)( 1)(1 ln )(1 ln )2lnffaaaaaaa ，记1( )2ln (0)g ttt tt ，因为22121( )1(1)0g tttt （当1t 时取等号） ，所以1( )2lng tttt 在(0,)t上单调递增而(1)0g，故当1t 时，( )0g t ；当01t 时，

18、( )0g t 即当1a 时，(1)( 1)ff；当01a时，(1)( 1)ff14 分当1a 时，由(1)(0)1ln1ffeaaeae ；当01a时，由11( 1)(0)1ln10ffeaeaae 综上可知，所求a的取值范围为10,aee16 分20、解：（1）设nb的公比为q，由题意daaqdaaq6242 即daaqdaaq62422 分1q不合题意，故311142qq，解得22q 2q4分（2）由mnba 得1) 1(maqdna，又aaaqd22 2ad 6 分1)2(211mn即2112) 1(1mmn8 分*1Nn 0)(1m 1221mnm为奇数，且10分（3）若na与nb有

19、公共项，不妨设mnba 由（2）知：1221mnm为奇数，且令)( 12*Nkkm，则11122)2(kkmaabacnn12 12 分若存在正整数)(rqprqp、满足题意，则)2()2()2(22111rapaqarpqrpq11222rpq，又)(222222211时取当且仅当rprprPrp又rp ，211222rprp 14 分又xy2在 R 上增，2rpq。与题设2rpq矛盾，若不存在rqp、满足题意。16 分【数学附加题】21A选修 41：（几何证明选讲）证明：因为PA，PB为圆O的两条切线，所以OP垂直平分弦AB， 在Rt OAP中，2OM MPAM，4 分在圆O中，AM BM

20、CM DM，所以OM MPCM DM， 8 分又弦CD不过圆心O，所以O C P D, , , 四点共圆10 分B选修 42：(矩阵与变换)MPABOCD（第 21A 题）设abcdM，则1133113abcd ，故3,3abcd+ 4 分19215abcd，故29,215abcd+7 分联立以上两方程组解得1,4,3,6abcd ，故M=1436 10 分C选修 44:（坐标系与参数方程）解：将方程2 2sin()4，415315xtyt 分别化为普通方程：22220 xyxy，3410 xy (6 分)由曲线C的圆心为( 1,1)C ，半径为2，所以圆心C到直线l的距离为25，故所求弦长为222 462 2( )55(10 分)D选修