金融数学习题(共13页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 简单市场模型考虑单时段情形。假设股票、债券在期初的价格分别为S(0)和A(0)，在期末的价格分别为S(1)和A(1)，资产组合在期初和期末的价值分别为V(0)和V(1)。1.股票在该时段的收益率为= ，债券在该时段的收益率为= ，若采用对数收益率表示，则相应的股票和债券的对数收益率分别为= 和= 。（列式即可）2. 设资产组合在该时段的股数和债券份数分别为x,y，则V(0)= ，V(1)= ，组合的收益率为= 。（列式即可）3假设A(0)=90元，A(1)=100元，S(0)=25元，且假设，式中0<p<1。资产组合有x=10股股票，y=15份债券

2、构成，计算V(0),V(1)和。4. 2009年7月19日，纽约的交易商A和伦敦的交易商B利用如下汇率交易欧元、英镑和美元： 交易商A 买入 卖出1.0000欧元 1.0202美元 1.0284美元 1.0000英镑 1.5718美元 1.5844美元 交易商B 买入 卖出1.0000欧元 0.6324英镑 0.6401英镑 1.0000美元 0.6299英镑 0.6375英镑 试给出一个没有任何初始投资的投资者获取无风险利润的机会。第二章 无风险资产2.1.某人在未来15 年中每年年初存入银行20 000 元。前 5 年的年利率为5.2%，中间5 年的年利率下调至3.3%，后 5 年由于通货

3、膨胀率的提高，年 利率上调至8.3%。则 第15 年年末时这笔存款的积累值为（ ）元。(A) 496 786 (B) 497 923 (C) 500 010 (D) 501 036 (E) 502 1092.2已知在未来三年中，银 行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第 二年按计息四次的名义年利率12%计息，第 三年的实际年利率为6.5%。某 人为了在第三年末得到一笔10 000元的款项，第 一年年初需要存入银行（ ）元。(A) 7 356 (B) 7 367 (C) 7 567 (D) 7 576 (E) 7 6572.3.将9000元存入银行账户2个月(61天)，按单利计算，期 末终

4、值9020元。计 算利率r和这个投资的收益率。2.4.如果存款按年复合计息，10年以后可以翻翻，则 利率是多少？2.5.假设存在一个承诺一年以后支付110元的凭证，现 在可以买入或卖出该凭证，也可以在本年期间任意时间以100元买卖，在按年复合之下，与 常数利率10%一致。如 果一个投资者决定买入该凭证，半年以后卖出，卖出的合理价格是多少？2.6.投资者支付95元买入面值100元、6个月到期的债券，如 果利率保持不变，问何时债券的价值达到99元？2.7.假设债券的面值F=100元，年 息票C=8元，期 限T=4年，按面值交易，计 算隐含连续复合利率。2.8.已知0时刻在基金A中投资1元到2t时的

5、积累值为(3t+1)元，在 基金B中投资1元到3t时的积累值为( )元。假 设在T时基金B的利息强度为基金A的利息强度的两倍，则 0时刻在基金B中投资1000元在5T时的积累值达到多少？第三章 风险资产1.考虑以下资产的期望收益率和标准差：市场条件收益%概率好161/4一般121/2差81/42.假设时段取值为3个月，即 收益率K(1), K(2), K(3), K(4)独立同分布。当 前3个季度的期望收益率E(K(0,3)为12%时，计 算季度期望收益率E(K(1)和年期望收益率E(K(0,4)。3假设在连续复合之下，无 风险年收益率为14%,时段 为一个月，S(0)=22元，d=-0.01

6、,如无风险单期收益率r满足d<r<u,计算S(2)的取值或取值范围。4.假设r=0.05,给定S(2)=110元，则 S(3)的风险中性条件期望是多少？5.下表是A、B两个公司7个月的实际股价和股价数据，单 位为元。证券A证券B时间价格股利价格股利1333236831.35453866590.7251.3573921）计算每个公司每月的收益率。2）计算每个公司的平均收益率。3）计算每个公司收益率的标准差。4）计算两证券之间的相关系数。第四章 离散时间市场模型4.1.考虑一种具有无风险资产和一种风险资产的市场， 无风险资产的价格为A(0)=100元，A(1)=110元，A(2)=12

7、1元,风险资产的价格有以下三种可能的状况：下述情况是否存在套利机会？(a) 不存在卖空限制；(b) 风险资产不允许卖空。4.2.假设股票和债券的价格与练习4.1相同，允许卖空，但 组合中每种资产的数量必须是整数，是否存在套利策略？4.3. 假设股票和债券的价格与练习4.1相同，允许卖空，但 在交易时交易成本是交易额的5%,是否存在套利策略？4.4 解释股票的买空卖空含义，并 简单解释其原理。4.5 证明下面结论：当 且仅当d<r<u时，二 叉树模型没有套利机会。其中d,r分别表示股票单期的涨跌幅度。R表示单期无风险收益率。第五章 资产组合管理5.1.假设给定的资产组合的收益率 和市

8、场资产组合的收益率 在不同状况下的取值如下：计算回归线(特征线)的斜率 和截距 。5.2. 证明权重为 的n个证券构成的资产组合的贝塔因子为 ，其中 为n个证券的贝塔因子。5.3. 资本市场线和证券市场线的方程分别是什么？体 在坐标平面上的意义如何？两者的区别有哪些？5.4. 证明在资本资产定价模型中，所 有证券的特征线交予一个公共点。并求出改点的坐标。5.5. 一投资者拥有资金10万元。(1) 用4万元购买A股票，5万元买B股票，其余全部购买C股票，求在切点 处的投资组合。(2) 如果该投资者抽取5万元作无风险投资，其余仍用于购买A、B、C股票，求此时购买A、B、C股票的资金。5.6. 设风

9、险证券A的期望收益为0.12，方差为10，风险证券B的期望收益为0.08，方差为4，A、B之间的协方差为2。又假设无风险利率为0.06。求切点投资组合权重。5.7.已知：(1) 市场期望收益率为6%，市 场无风险收益率为4%；(2) 某投资组合期望收益率为10%，收 益率标准差为市场收益率标准差的4倍。求该投资组合中非系统风险占总风险的比重。5.8. 甲公司持有A、B、C三种股票，在 由上述股票组成的证券投资组合中，各股票所占的比重分别为50%、30%和20%，其 系数分别为2.0、1.0、0.5。市 场收益率为15%，无 风险收益率为10%。（1）计算以下指标： 甲公司证券组合的系数；甲公司

10、证券组合的风险收益率（ RP）；甲公司证券组合的必要投资收益率（ K）；投资A股票的必要投资收益率。 （2）甲 公司仍投资A、B、C三种股票，B股票投资比例不变，如 果希望该证券组合风险收益率为8%，计算： 该证券组合的系数； 该证券组合中A、C的投资比率分别是多少？5.9.在马克维茨组合理论中，用 方差(或标准差)来度量风险，它的优点是什么？; 不足之处体现在哪里？是否组合的风险总不会超过单个风险里面的最大值？分散化投资能降低组合的风险，具体而言，是 降低哪块风险(系统风险还是非系统风险)？如何降低的？第六章 远期与期货6.1.假设S(0)元，K=18元，r=8%,卖空需交30%的保证金，保

11、证金按4%产生利息。存套利机会吗？如何套利？计算不存在套利机会的最高利率d。（按连续复合）6.2.美国的德国汽车进口商想签订半年的远期合约买入欧元，N 投资美元和欧元的利率分别为 和 ，现在汇率的价格是0.9834欧元兑换1美元。用 美元表示的欧元远期价格(即远期汇率)是多少？6.3. 2009年9月1日大豆加工商A跟农场主B签订了一份价格为3500元/吨，交易数量为100吨，2010年9月1日交割的远期合约，签 订时大豆的市场价格为3300元/吨.(1)多头、空头分别是谁？交 割价是多少？(2)若市场无风险利率为5%，按连续复合。则对多头而言，远期合约的价值为是多少？。对空头而言呢？(3)这

12、是一份公平的合约吗？如 不是，请给出合理的交割价。6.4.假设某股票在年初的价格是45元，市场无风险利率为6%，按连续复合。p 半年后，支付2美元红利。对于一年交割的合约多头，计算在9个月后股价为49元时该合约的价值。6.5.假设利率r为常数，按连续复合。给定S(0),计算一天后的股票价格S(1)，使 得3个月交割的期货在改天的盯市为0。6.6.假设某股票交易所的股票指数为13500点，在9个月后交割的期货价格是14100点，利 率是8%，计算红利收益率。6.7. 某年5月3日,A公司股票的市场价格为每股25美元。于是，该 公司决定于一周后以这一价格增发20万股股票，以筹措500万美元的资本，

13、用于扩充生产规模。然而，若一周后股市下跌，则该公司发行同样多的股票，只 能筹到较少的资本。因此，该公司决定用同年6月份到期的标准普尔500指数期货作套期保值。已知标准普尔500指数期货合约价值为标普500指数乘以500美元。5月3日，标普指数为458点，一周后，5月10日，标普指数为443，A公司股票也跌落到每股24.25美元。请问操作策略和盈亏情况。6.8.某机构投资者想持有一证券组合，L 其贝塔系数为1.2，但是现金要到一个月后才能得到。3月10日时，日经225指数为36000，该证券组合的总值为50亿日元。为避免股市上升带来的影响，该投资者决定用日经225指数期货套期保值。已知：日经22

14、5指数期货每份合约价值为日经225指数乘以1000日元，4月10日，证券组合价值上升5%，达到52.5亿日元。日经225指数38000。请问操作策略及盈亏。6.9.假设股票指数M(0)=890点，一个时段后，股票指数增加到M(1)=920点，单时段无风险利率为1%。一 投资者手中持有价值10万的股票组合，该组合的贝塔系数为1.5.该投资者打算用3个月后交割的股指期货为其股票组合套期保值，请为该投资者设计具体的套期保值策略，并计算套期保值效果。（ 设合约乘数为100元/点）第七章 期权：一般性质7.1当两个期权的施权价 和到期时间 相同时，不 支付红利的股票的欧式看涨期权（Pe）和美式看涨期权（

15、Pa）的价格关系为（ ）APa> Pe B. Pa< Pe CPa= Pe D.不能确定7.2. 某投资者对未来市场看涨，那 么对于市场指数期权，对投资人最有利的投资策略应是（ ）。(A) 买入一个欧式看涨期权，卖 出一个同期限但执行价更高的欧式看涨期权(B) 买入一个欧式看涨期权，卖 出一个同期限但执行价更低的欧式看涨期权(C) 买入一个欧式看涨期权，卖 出一个同期限同执行价的欧式看跌期权(D) 买入一个欧式看涨期权，买 入一个同期限同执行价的欧式看跌期权(E) 以上均不正确7.3.假设欧式看涨期权的施权价为90元，6个月后施权，施 权日的股票价格可能为87元、92元或者97元，

16、概率各为1/3.如果期权利用9%的连续复合贷款融资，以 8元的价格购买，计算这个看涨期权的持有者的期望收益(或损失)。7.4.假设股票不支付红利，以 每股15.6元交易，在3个月以后施权的施权价为15元的欧式看涨期权价格为2.83元。按r=6.72%利率连续复合。计算具有相同施权价和施权日的欧式看跌期权价格。7.5. 施权价为90元，6个月后施权的欧式看涨期权和看跌期权分别以5.09元和7.78元交易；标的股票价格为20.37元，连续复合利率为7.48%，计 算套利机会。7.6. 美国的德国汽车进口商想签订半年的远期合约买入欧元，: 投资美元和欧元的利率分别为 和 ，现在汇率的价格是0.9834欧元兑换1美元。计算6个月后施权的欧式看涨期权和看跌期权的施权价，使得 。第八章 期权定价8.1 假设卖出股票需要支付一定金额的交易成本，% 买入则不需要交易成本。设S(0)=100元，在二叉树模型中，u=0.1，d=-0.1，r=0.05，交 易成本c=2%，计 算买入欧式看涨期权的期权价格。8.2设S(0)=75元，u=0.1，d=-0.1，假 设借款利率是12%，存 款利率是8%，在二叉树模型中，分 别计算买入欧式看涨