伴随矩阵的性质及运用11

1、伴随矩阵的性质及运用邓文斌 09数计（2）班 电话 要 伴随矩阵是矩阵的重要概念，有它可以推导出方阵的逆矩阵的计算公式从而解决方阵求逆的问题。同时伴随矩阵的性质也相当重要，本文列举了伴随矩阵的若干性质及给出了相关证明，最后给出了用性质解决问题。关键字：矩阵；伴随矩阵；性质；运用引 言因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.1. 伴随矩阵的定义a11a21设Aij是矩阵A =.an1A11A12*A=.A1nA21A22.A2n.

2、a12a22.an2.a1n.a2n中元素a的代数余子式，矩阵ij.annAn1.An2称为A的伴随矩阵。 .AnnA的伴随矩阵A*有两步骤定义：（1） 把A的每个元素都换成它的代数余子式，（代数余子式定义：在一个n级行列式D中，把元素第i行第j列元素aij（i，j = 1, 2，。n）所在的行与列划去后，剩下的(n-1)个元素按照原来的次序组成一个n-1阶行列式Mij，称为元素aij的余子式，Mij带上符号(-1)数余子式，记作Aij=(-1)i+ji+j2称为aij的代Mij。）（2） 将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵。2. 伴随矩阵的实例2.1 二阶伴随矩阵的求法a11 设A是一个二

3、阶矩阵a13a12，则有A可得Aij（i，j =1,2）为代数余子a14式A11=(-1)1+1*a22=a22A12=(-1)1+2*a21=-a21A21=(-1)1+2*a12=-a12A22=(-1)2+2*a11=a11a11 则A的伴随矩阵A*为a13a12a22=a14-a21-a12 a112.2三阶伴随矩阵的求法对于三阶矩阵a11a21a31a12a22a32a13a23 a33首先求出 各代数余子式A11 = (-1)2 * (a22 * a33 - a23 * a32) = a22 * a33 - a23 * a32 A12 = (-1)3 * (a21 * a33 -

4、a23 * a31) = -a21 * a33 + a23 * a31 A13 = (-1)4 * (a21 * a32 - a22 * a31) = a21 * a32 - a22 * a31 A21 = (-1)3 * (a12 * a33 - a13 * a32) = -a12 * a33 + a13 * a32 A33 = (-1)6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21然后伴随矩阵就是A11A21A31A12A22A32A13A23 A333.伴随矩阵的性质 3.1 AA*=A*A=AE，E为n阶单位矩阵。3.2 矩阵A式

5、可逆矩阵的充分必要条件是A非退化，而A-1=（d=A0） 1*Ad证明：当d=A0，由A-1=1*A d11A A*= A*A=E，可知，A可逆，且dd反过来，如果A可逆，那么有A-1使A-1A=E两边去行列式，得 A-1=1因而A-10，即A非退化。该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵证明有用。3.3 若A为非奇异矩阵，则(A-1)*=(A*) -1证明：因为(kA)=-1-11-11A，由A-1=A*两边取逆可得 kd-1A=(A*) A* A=(A)，故1 另一方面，由A=A*，有A-1d-1()-11-1*-1*=-1(A)=A(A) A可得(A-1*)=1A A-1 综上，(A

6、-1)*=(A*)该性质说明了A的逆你伴随矩阵和A的联系。3. 伴随矩阵的性质4.1令A,B为n阶矩阵，则（1）A对称A*对称；（2）A正交A*正交；（3）若A与B等价，则A*与B*也等价；（4）若A与B相似，则A*与B*也相似；（5）若A与B合同，则A*与B*也合同；（6）A=BA*=B*；（7）A正定A*正定；（8）A为可逆矩阵A*为可逆矩阵；（9）如果A是可逆矩阵，那么A为反对称A*为反对称. 证明：这里只证（1），（2），其余的这里就不再证明了。(1) (A*)T=(AT)*=A*,A*为对称矩阵;(2) 因为A是正交矩阵， 故AAT=E,A*(A*)T=A*(AT)*=(ATA)*=

7、E*=EA*是正交矩阵. 4.2 A*An-1，其中A是n阶方阵（n2） nnn-1证明：若A0,AA*=AE,AA*=A,AA*=A,An=A若A=0，这时秩A*1，A*=0，而也有A*=A综上得 A*An-1 n-1n,当秩A=n时4.3设A为n阶矩阵，则秩A*=1，当秩A=n-1时0，当秩A<n-1时 证明:事实上，当秩A=n，即A可逆时，由于A*A即秩A*=n n-1，故A*也是可逆的，当秩A=n-1时，有A=0，于是， AA*=AE=0，从而秩A*1；又因秩A=n-1，所以至少有一个代数余子式Aij0，从而又有秩A*1，于是秩A*=1当0秩A<n-1时，A*=0，即此时秩

8、A*=04.4 若A=A，则(ATT*)=A*-1证明：(AT)=AT(AT)=A* *4.5 设k为常数， (kA)=kn-1A*证明：(kA)=kA(kA)=knAk-1A-1=kn-1A*。 *-1*4.6 当A可逆时，(A*)=(A-1)*=-11A。 A证明：由AA*=AE，(A*)=-11A。 A(A-1)=A-1(A-1)=*-1*n-2*T-1T1AA(A)=AA(A)=(AA)=A(A)(A)(A)而(A)=A(A)=A(A)-1T*T*TT-1-1T*=A*E，故结论成立。A=1,ATA=E2()TA*=(AA-1)AA-1=AT-12(A-1)A-1T(AAT)=E-1=

9、EA*a= 4.7 (A*)=*n-21A*=AA-1a=AA * 证明：当A=0时，秩(A当A0时，*)=0， (A)=0，(A)*=An-2A (A*)(A*)=A*E -1n-1 (A*)=A*(A*)=A4.8 (AT)=(A*) *T1n-2A=AA A证明： (AT)=AT(AT)=A(A-1) *-1T而 (A*)=(AA-1)=A(A-1)，故结论成立。 TTT4.9 若A为正交矩阵，则A*也是正交矩阵。 证明：因为A为正交矩阵，则A=1,ATA=E于是 (A*)A*=(AA-T2)1TAA- 1=A2(A-1)A-1(AAT)=E-1=E T-1故 A*也是正交矩阵。4.10

10、 设为n阶可逆矩阵A的一个特征值，则证明：A为A*的特征值。 A*=AA-1，又1为A-1的特征值， 1a 即 AA-1a=故 存在非零向量a ，使A-1a=AAAa 从而A*a=4.11 a，故为A*的特征值。 若A是正定矩阵,则A*也是正定矩阵。 证明 首先正定矩阵有以下结论:A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正。 不妨设1、2可逆。因为A*=|A|A-1,所以A*的特征值为:|n为A的特征值,若A是正定矩阵,则>0,i=1,2,n,|A|>0且A12AA,n1212AA,AAA,AnA， 由以上的条件知, A*的所有特征值所以A*也是正定矩阵。 n全都为正。5 伴随矩

11、阵的应用5.1 若111A=011，求A-1。 0011111-10， A*=01-1，011解：A=A=1，由3.2性质得 0010011-10AA-1=01-1A001*。此题比较常见求A的逆矩阵问题111,(A-1)*是A-1的伴随矩阵，则求-1*022(A). 5.2 设A=003解 ： 由AA*=A*A=AE，因为A-1A*=A-1E,有（A-1)*=A-1A=161. 3102此题是求 A的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂111161=0（A-1)*=022题A=6，所以600301613A. 本A111试求伴随矩阵A*的逆矩阵. 1215.2 已知3阶矩阵A的逆矩

12、阵为A-1=113解：1A-1=11=(A*-1-1*12115-2-5*-220，又性质3.3得，-11A=，()3-101(A)*-1)，所以(A)5-2-5。 =-220-101此题把求A的伴随矩阵的逆矩阵问题转化为求A的逆矩阵的伴随矩阵问题。2001，则求A*。 0135.3 若A=202500321-1n-1解：A= 013=，又AA*=A*A=E，A*A得，42025A*=A=21。 161-1，求(2A)-3A*. 45.4已知A为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为A*，且A=解(2A)-1-3A*=1-113A-3AA-1=A-1-A-122411111=-. =-A-1= -A-

13、1= -41644A335.5、已知A和B均为n阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为A*和B*，分块矩阵AO*C= OB，求C的伴随矩阵C.解 由CC*=C*C=CE得，C=CC*-1AOAO= OBOB-1A-1=AB O-1OABA= -1B O -1ABBO321*15.6 设A为一个3阶矩阵，且已知A= 1-12，求 A.4 21-1A11*解 因为A= A12A13A21A22A23A31-135 A32= 5-5-5，A331-53351-161616-135 *2 55511*1-所以 A= A= 5-5-5=.4416161616 31-515 3- 1616165.7已知A和B都是n

14、阶方阵，A=4,B=-2,则4A*B-1=. 解 4A*B-1=4nA*B-1=4nAn-111=4n4n-1=-24n-3 B-25.8已知A为n阶可逆矩阵,且A=3，化简A-1-A*.解 因为AA*=A*A=AE，所以 A-1=()*1*A，所以 A*n-1(A-1-A*)1*= A-A A*1*1-AA= = -1 A A(A)*1-A= An-1An-2n-1(-2)A=A35.9 已知A和B为三阶可逆矩阵，且131142 *A*= 212，B*= 013，求(AB-1).112 001解 经计算可得(B*)-11-410 = 01-3，001所以 (AB-1)=(B-1)*9131-

15、4101313 *A= 01-3 212= -1-2-400 11211215.10 设A、B为三阶相似矩阵，A的特征值为1，1，3，求B*.解 因为A的特征值为1，1，3， 故A=3，1所以 A*的特征值为1A=3,1A=3,A=1， 3又因为AB，所以A*B*，所以 B*的特征值为3，3，1， 所以B*=9。5.11 设A为三阶矩阵，A的特征值为1，5，7.试求行列式A*-2E. 解 ： 因为A=157=35,由性质13知，A*的特征值分别为35,7,5.于是A*-2E的特征值为35-2=33,7-2=5,5-2=3.故A*-2E=3353=495.5.12 已知三阶矩阵A=aij()33

16、满足条件：（1）aij=Aij(i,j=1,2,3)，其中Aij是aij的代数余子式；（2）a110，求A.解 由条件（1）知A*=AT,再由性质2得，A=AT=A*=A,所以A=0或1. 又A=a11A11+a12A12+ +a1nA1n=a11+a12+ a1n0，故A=1. 三阶实可逆矩阵A的特征值为1=1,2=-4,3=-1，求：5.13 （1）2A-12222()2-6A*的特征值；（2）行列式2A*+3A2的值.分析 利用A-1,f(A),A*与A的特征值的关系.解 设为A的特征值，则质8，A1为A-1的特征值，f()为f(A)的特征值.由性为A*的特征值.（1） 设为A的特征值，

17、x是属于的特征向量，则Ax=x，由此可得2A-1x=*()222x， 26A-12* 2-x.又A=123=4， ()2A-6Ax=，则 6Ax=x 6A()设g()=22-24，则2A-1()2-6A的特征值为g(1)=-22,g(2)=*49,g(3)=26. 8（2）同（1），可求得2A*+3A2的特征值为11,46,-5, 故2A*+3A2=1146(-5)=-2530.小结 本文运用矩阵计算的有关方法和技巧，以及应用已经证明了的关于伴随矩阵的性质，进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质. 本文总结了伴随矩阵的重要性质及其部分应用，无论是对于教师还是学生来说，熟练掌握了这些性质和应用，就能够使自己对伴随矩阵的理解和认识更全面和更深刻。通过对所学知识的掌握和了解，使我们可以更加进一步了解伴随矩阵在数学中的地位和作用，在解决复杂的数学问题时，使我们能够