《任意角的三角函数》课件

1、 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba 复习回顾复习回顾OabMPc22:,OMa MPb OPrab其中yx 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo如果改变点在终边上的位置，这如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变三个比值会改变吗？吗？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPMMOyxP(a,b)诱思探究诱思探究能否通过能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？取特殊值将

2、表达式简化呢？OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1 rOPbaab以原点为圆心以原点为圆心, ,以单位以单位长度为半径的圆叫做长度为半径的圆叫做单位圆单位圆. .2.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都是以所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量角为自变量，以以单位圆单位圆上点的上点的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值

3、为函数值的函数，为函数值的函数，我们将他们称为我们将他们称为三角函数三角函数.0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.的终边几何画板例例1：如图已知角：如图已知角的终边与单位圆的交点是的终边与单位圆的交点是 ， 求角求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。)23,21( P解：根据任意角的三角函数定义：23sin 21cos3tanOxy)23,21(P点评：若已知角点评：若已知角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。坐标，则可直接利用定义求三角函数值。实例剖析实例剖

4、析例例2 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tanxyoAB35点评：若已知角点评：若已知角的大小，可求出角的大小，可求出角终边与终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。例例3 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ,求角求角 的正弦的正弦,余弦和正切值余弦和正切值 .) 4, 3(0P5)4()3(220OP解解:由已知可得由已知可得设角

5、设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxP分别过点分别过点 、 作作 轴的垂线轴的垂线 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP , 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即

6、xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的终边上的位置无关终边上的位置无关.P定义推广：定义推广：点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数值，点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得解。可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得解。巩固提高巩固提高练习练习1 1：已知角：已知角的终边经过点的终边经过点 ，求角求角的的 正弦、余弦和正切值。正弦、余弦和正切值。)22,22(P2.利用三角函数的定义求利用三角函数的定义求 的三个三角函数值的三个三角函数值

7、67,2167sin,2367cos3367tan135122222yxr135sinry1312cosrx125tanxy于是于是，练习练习3. 已知角已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.5 ,12P解：由已知可得：解：由已知可得：（ ）（ ）（ ）xyosin（ ） （ ）（ ） （ ）xyotan（ ）（ ）（ ）（ ）xyocos探究：探究：三角函数定义域定义域值域值域sincostanRRZkk,21.三角函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域2.三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号 1,1 1,1R几何画板 例例3 求证：当且仅当

8、下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时， 角角 为第三象限角为第三象限角.反之也对。反之也对。0tan 0sin 证明：证明： 因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；0sin 又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.1

9、下列各式为正号的是（下列各式为正号的是（ ） A cos2 B cos2 sin2 C tan2 cos2 D sin2 tan2C2 若若lg(sintan )有意义，则有意义，则 是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第四象限角第四象限角 C 第一象限角或第四象限角第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或第一或第四象限角或x轴的正半轴轴的正半轴C3 已知已知 的终边过点的终边过点(3a-9,a+2),且且cos 0,则则a的取值范围是的取值范围是 。-2a31. 内容总结：内容总结： 任意角三角函数的概念任意角三角函数的概念.三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限三角函数的

10、定义域、值域及三角函数值在各象限的符号的符号.运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.化归的思想，数形结合的思想化归的思想，数形结合的思想.2 .方法总结：方法总结：3 .体现的数学思想：体现的数学思想：归纳总结归纳总结课本第20页 习题1.2 A组 3 、 4题.课后作业课后作业思考题：求终边落在直线思考题：求终边落在直线y=x上的三角函数上的三角函数练一练：练一练：(1)若角若角是第二象限角，且是第二象限角，且则则 是第是第 象限角；象限角；(2)若若是第二象限角，则函数值是第二象限角，则函数值sin(cos) cos(sin)是是号号.|cos|cos,

11、22 2如果两个角的终边相同，那么这两个角的如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求求 角的三角函数值角的三角函数值 .360020到或到 例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因为）因为 是第三象限角，所

12、以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因为）因为 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号516cos)34sin()817tan( （3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值： （1） （2）49cos)611tan( 解：（解：（1） 224cos)24cos(49cos练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值319tan)431tan( 31336tan6tan)26tan()611tan(（2）1. 内容总结：内容总结： 三角函数的概念三角函数的概念.三角