高中数学(人教A版)选修2-1之2.1.1椭圆及其标准方程课件

1、 本章知识结构本章知识结构椭圆双曲线抛物线圆锥曲线的实际背景标准方程标准方程简单的几何性质简单的几何性质简单应用简单应用坐标系坐标系圆的定义：圆的定义：平面内与定点距离等于平面内与定点距离等于定长的定长的动点动点的集合的集合( (轨迹轨迹) )类比类比圆的定义及其标准方程圆的定义及其标准方程rM C圆的标准方程圆的标准方程: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2和谐和谐,简洁简洁对称对称P=M| |MC|=r又是什么图形呢？与两定点的距离之和为一定长的点的集合观察做图过程观察做图过程: (1)绳长应当绳长应当大于大于F1、F2之间的距离之间的距离(2)由于绳长固定，所以由于绳长固定，所

2、以 M 到两个定点的距离和也固定到两个定点的距离和也固定数数 学学 实实 验验 (1)取一条细绳，取一条细绳， (2)把它的两端固定在板上把它的两端固定在板上的两点的两点F1、F2 (3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细绳）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看拉紧，在板上慢慢移动看看画出的看画出的 图形图形（一）椭圆的定义（一）椭圆的定义n平面内到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。n定点F1、F2叫做椭圆的焦点。n两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：aMFMF221(2a2c)1F2FM椭

3、圆能否这样定义椭圆能否这样定义? 与两定点与两定点F1、F2的距离的和等于常的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆数的点的轨迹叫做椭圆.?结论结论:若若 ,则点则点M的轨迹为的轨迹为椭圆椭圆.|21|2|1|FFMFMF若若 ,则点则点M的轨迹为的轨迹为线段线段.|2121FFMFMF若若 ,则点则点M的轨迹的轨迹不存在不存在.|2121FFMFMF画椭圆画椭圆完善定义完善定义（二）椭圆方程的推导（二）椭圆方程的推导222222222201()()AxByCxyxyrrrxaybr或建系建系列等式列等式设点坐标设点坐标化简方程化简方程检验检验1. 1. 怎样建立适当的直角坐标系？怎样建立适当的直

4、角坐标系？原则：原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单尽可能使方程的形式简单、运算简单 ( (利用对称轴或已有垂线作为坐标轴利用对称轴或已有垂线作为坐标轴) )yxoF1F2Paycxycx2)()(2222 yxoF1F2P设设P(x,y)P(x,y)为椭圆上的任意一点为椭圆上的任意一点，令|F1F2|=2c(c0)则：则：F F1 1(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0)(c,0)以直线以直线F F1 1F F2 2为为x x轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的垂直平的垂直平分线为分线为y y轴，轴，建立建立如图如图坐标系坐标系。|PF1|+ |PF2|=2a2.方程的推导

5、 aMFMFMP221 M椭圆上点椭圆上点的集合为的集合为aycxycx2)()(2222 移项平方，得移项平方，得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 整理得整理得222)(ycxacxa 上式两边再平方，得上式两边再平方，得2222222222422yacacxaxaxccxaa 整理得整理得)()(22222222caayaxca 22222222caayaxca 222222bayaxb 222cab 令令，得得 12222 byax22ba两边同时除以两边同时除以，得，得 0 ba椭圆的标椭圆的标准方程准方程3.3.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：不推导不推导,你能写

6、出另一种椭圆的标准方程吗你能写出另一种椭圆的标准方程吗? 对于给定条件对于给定条件,是否只有一种建系方法是否只有一种建系方法?oyx 1F 2F),(yxM 焦点在焦点在X X轴上轴上y yF1F2M (x,y)xO.焦点在焦点在Y Y轴上轴上 012222 babyax1(,0)Fc2( ,0)Fc焦点焦点 222210yxabab 1(0,)Fc2(0, )Fc焦点焦点c2= a2 - b2OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay4.4.注意注意: :（1）椭圆标准方程：左边是分式平方和，）椭圆标

7、准方程：左边是分式平方和，右边是右边是1（3）参数）参数a,b,c满足满足a2=b2+c2知二求一知二求一（2）焦点在）焦点在x2与与y2的分母大的轴上的分母大的轴上例例1、填空：、填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;例题分析1162522yx543(3,0)、(-3,0)6 焦点在分母大焦点在分母大的那个轴上的那个轴上若改为若改为 呢？呢？1251622 yx则则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：，焦点坐标为：_焦距等于焦距等于_;543(0,3)、(0,3)6练习练习221254xy (1)椭圆

8、椭圆 上的一点上的一点P到一个焦点的距离到一个焦点的距离 是是5,则它到另一个焦点的距离是则它到另一个焦点的距离是_221425xy (2)椭圆椭圆 的焦点坐标是的焦点坐标是_1(0,21)F2(0, 21)F5aMFMF221(2a2c)04，04，例例2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程 两个焦点的坐标分别是两个焦点的坐标分别是、椭圆上一点到两焦点距离的和等于椭圆上一点到两焦点距离的和等于102a=101.焦点在焦点在X轴轴2.已知已知 C=4 例题讲解例题讲解4 c9222 cab192522 yx102 a5 a 由题意可知由题意可知 ，所以所求椭圆的标准

9、方程为所以所求椭圆的标准方程为: 因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为轴上，所以设它的标准方程为22221(0)xyabab+=解解:例例2. 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0) 椭圆上一点到两焦点距离的和等于椭圆上一点到两焦点距离的和等于10例题讲解例题讲解3 5(, )2 2分析分析（2） 1 1）已知焦点为（）已知焦点为（0，-2），（），（0，2）。可）。可知焦点在知焦点在y y轴上，并且轴上，并且2C=42C=4，可以设所求椭圆，可以设所求椭圆由点（由点（-3/2，5/2）到两个焦点的距离之和求到两个焦点的

10、距离之和求2a,再求再求b.可得方程。可得方程。2）或：设方程为方程为,142222axay,12222bxay椭圆方程为：椭圆方程为：将点将点（-3/2，5/2）代入可求方程（待定系数法）代入可求方程（待定系数法）（解见课本）（解见课本）变式练习：求适合条件的椭圆标准方程变式练习：求适合条件的椭圆标准方程 a=4，b=1, 焦点在x轴上 ，焦点在y轴上 a+b=10， 154,4ae离心率52c22(1)116xy22(2)116yx2222(3)1136163616xyyx或变式练习变式练习11.用定义判断下列动点用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。的轨迹是否为椭圆。(1)到到F1(-2

11、,0)、F2(2,0)的距离之和为的距离之和为6的点的轨迹。的点的轨迹。(2)到到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为的距离之和为4的点的轨迹。的点的轨迹。(3)到到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为的距离之和为3的点的轨迹。的点的轨迹。解解 (1)因因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹为椭圆。的轨迹为椭圆。(2)因因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹不是椭的轨迹不是椭圆圆(是线段是线段F1F2)。，故故点点MM的的轨轨迹迹为为椭椭圆圆2 22 2| |F FF F| |3 3| |MMF F| | |MMF F| |

12、因因2 21 12 21 1 (3)116914422yx2、判定下列椭圆的焦点在、判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，哪个轴上，并指明并指明a2、b2，写出焦点坐标。，写出焦点坐标。1162522yx答：在答：在 X 轴。（轴。（-3，0）和（）和（3，0）答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和（）和（0，5）112222mymx答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。变式练习变式练习2223153xykkk )若方程表示椭圆，求 的取值范围。22

13、22xy1)1xa3a( )xy2)1yb9b( )方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。a30b93k 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系根据所学知识完成下表根据所学知识完成下表xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2POa2-c2=b22.待定系数法求椭圆的标准方程：待定系数法求椭圆的标准方程：定定焦点位置设设椭圆方程求求a、b的值222cab( )小结小结1.椭圆的定义及标准方程的推导椭圆的定义及标准方程的推导1 椭圆的标准方程有几个？椭圆的标准方程有几个？答：两个。焦点分别在答：两个。焦点分别在 x 轴、轴、y 轴轴。2给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上给出椭圆标准