专题6 解析几何——曲线与方程的双向研究及探索与证明

1、专题6 解析几何曲线与方程的双向研究及探索与证明一. 本周教学内容： 专题6 解析几何曲线与方程的双向研究及探索与证明 二. 考点提要： 1. 求曲线方程主要有两种类型：一是曲线形状已知，求曲线方程；二是曲线形状未知，求曲线（轨迹）方程。 2. 在解析几何综合问题中，主要有位置问题（涉及到交点判断、弦长、面积、对称共线等）；范围问题（运用到函数的值域、最值、二次方程实根的分布）；最值问题（设变量，建立目标函数，求最值）。 三. 知识串讲： 1. 求曲线方程将曲线看成适合某几何条件的点的集合动点轨迹。（1）直接法：步骤建立适当的直角坐标系，设动点M（x，y）化简方程证明（略）

2、，注意对特殊情况的讨论。（2）转移法（相关点法）（3）参数法  2. 由方程画曲线（1）讨论范围（2）讨论对称性（3）分别令x0，y0得纵、横截距（4）列表、描点、连线  3. 求曲线的交点两条曲线有交点的充要条件是它们的方程组成的方程组有实数解。方程组有几个实数解，两条曲线就有几个交点。  4. 直线与圆锥曲线（1）弦长公式：（2）中点弦：设弦AB中点M（x0，y0），则当M（x0，y0）在曲线C内部时，可由“代点法”表达直线的斜率k与中点M的坐标的关系。 （3）对称点 设二次曲线C上总有关于直线l的对称点A、B （4）点与圆锥曲线   5. 圆锥曲线

3、（1）知识结构  （2）圆锥曲线的统一定义圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线可以看作用平面以不同方法截圆锥面所得到的截线，它们的统一定义：平面内到定点F和定直线l距离之比等于常数e（离心率）的轨迹。（F为焦点，l为准线） 在直角坐标系中，圆锥曲线的方程都是关于x、y的二元二次方程，所以也称它们为二次曲线。 【典型例题】（一）求定性曲线的标准方程 例1. 点F1，A、B分别是椭圆长，短轴的长短轴的端点，ABOM，设Q是椭圆上一点，椭圆的方程。解：说明：运用方程思想求圆锥曲线的基本量是解析几何中最基本也是最重要的思想方法，务必熟练掌握。  例2. 解：&#

4、160;（二）求动点的轨迹方程 例3. 原点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，则P点轨迹为_。解析：又AB中点与PO中点重合 当k不存在时也成立。  例4. 设点A、B为抛物线y24x上除原点以外的两个动点，OAOB，OMAB，M为垂足，求点M的轨迹。解：而当k±1时，点M的坐标为（4，0），也满足方程<3>。点评：本题运用“参数法”求动点轨迹方程，值得注意的是，在得到动点的横纵坐标与参数满足的两个等式后，并不需要解出动点轨迹的参数方程，而是根据具体情况直接由两个方程消去参数。（本题采用了将两个方程相乘消参数的方法）得到动点轨迹的普通方程。 

5、例5. 过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程；（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数。解：将以两个方程两端相减，得：标满足方程<2> 因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线上，所以曲线<1>在椭圆内当ab0时，点P（a，b）为原点，此时（a，0），（0，b）与（0，0）重合，曲线<1>与x轴只有一个交点（0，0）。此时点（a，0）与（0，0）重合，曲线<1>与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）；同理，当b0且0|a|1，即点P（a，b）在椭圆内的x轴上且去掉原点，此时曲线与坐标轴有两个交点（a，0），（

6、0，0）上时，曲线<1>与坐标轴有三个交点（a，0），（b，0）与（0，0）。 （三）解析几何中的探索与证明 例6. 线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点。（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（2）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上，并说明理由。解：代入椭圆方程，整理得：假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，M为圆心。点M到直线AB的距离为：于是由<4>、<6>、<7>和勾股定理可得：  例7. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交（

7、1）求椭圆的离心率；解： 说明：解析几何中含有向量条件是近年高考出现的新题型，解这类问题主要有两个思路：一是运用向量的性质及其运算将向量消去，转化为常规的解析几何问题加以解决；二是直接以向量为工具，通过向量运算求解。 【模拟试题】 1. 如图，圆和圆的半径都等于1，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N为切点），使得，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程。 2. 一个椭圆中心在原点，焦点在x轴上，是椭圆上一点，且成等差数列，求椭圆的方程。 3. 点A位于双曲线上，是它的左焦点，求线段的中点P的轨迹方程。 4. 为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于P、Q两点，求椭圆的离心率。

8、 5. 设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线，当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。 6. 如图，点A、B分别是椭圆的长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上点到点M的距离d的最小值。 7. 设双曲线与直线相交于两个不同点A、B。求双曲线C的离心率e的取值范围。 8. 给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。设，若，求l在y轴上的截距的变化范围。 【试题答案】 1. 解：以的中点为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标

9、系则由已知，得因为两圆的半径均为1设，则即所以所求轨迹为 2. 解：设椭圆方程为，不妨设则成等差数列，即又由<1><2>得：故所求椭圆方程为 3. 解：设线段中点，点又焦点，则 即因为点A位于双曲线上即 4. 解：设，则又又在中 5. 解：设l在y轴上的截距为b，则l方程为l是AB中垂线，则l的方程可设为代入得：则即设，则设AB中点，则又N点在l上，代入（*）式即得直线l在y轴上的截距的取值范围是 6. （1）解：由已知得点设，则APFP，解得：或又，只能，于是点P的坐标为（2）解：直线AP的方程为即设点点M到直线AP的距离由题意又M（2，0）设椭圆上点N（x，y），则

10、由，当时，d最小值为 7. 解：由方程组消去y，得：即由题意解得且而又且且即离心率e的取值范围为 8. 解：抛物线焦点为F（1，0），设则由题设得：即由<2>得：由<1><3>解得：依题意又F（1，0）得直线l的方程为：或当时，l在y轴上的截距为或由可知在4，9上是减函数直线l在y轴上截距的变化范围是 【励志故事】现在我是墙华裔网球名将张德培在事业巅峰的时间曾说：小时候，我用球打击墙，它立即反击我，让我知道它是无法穿越的；现在，我是墙。我是张德培，这是我的世界。墙无法穿越，你打击，疼痛的是手，流血的是心；手里拿物体打击墙，力道越足，墙反弹的力度越强，受的伤就越重，但墙仍然无法穿越，顶多是留下一个凹陷的痕迹。把墙撞塌了，被压垮的还是你自己。我们都有碰壁的时候，迁怒于墙，结果被愤怒烧伤自己的脉管；狠狠拍击墙，折断的可能是你的胳膊。并不是所有的墙都可以攀越或随意移