2015年考研数学真题(数三)

1、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设XJ是数列，下列命题中不正确的是（）(A)若 lim Xkka,贝U lim X2kkkm X2k 1(B)若!im X2kkkimX2k 1a ，则冲Xk(C)若 lim Xkk则 lim xk3kkim X2k 1(D)若 kim X3kkimX3ka,则冲Xk2 .设函数f （X）在（贝u曲线y f（x）的拐点个数为（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)33 .设(A)4d02cos0 f(r 8s(

2、B)04d2sin0 f(r cos）连续，其二阶导函数f （X）的图形如右图所示,22(X,y) x y贝 Uf(X,y)dXdy=()D,r sin,r sin)rdr)rdr2sino f (r cos , r sin )rdr2coso f (r cos , r sin )rdr1(C)2 0dX1X1 1Ff(X，y)dy- 2x x(D)2 odXx f(X,y)dy 0 X4.下列级数中发散的是（）/八、 n1 -1、( 1)1n!(A)-n(B)-=ln(1 -)(C)(D)n 1 3n 1 n nn 2 In nn 1 n1115.设矩阵A12a,b14a2必要条件为()1d

3、 ，若集合d2(1,2),则线性方程组 Axb有无穷多解的充分(A)a ,d (B)a ,d (C)a,d (D)a ,d一 2y3 ,其中p(5©),226 .设二次型f(x,X2,X3)在正交变换x py下的标准形为2yy?若Q (e, e3,e2),则(x1，X2,X3)在正交变换x Qy下的标准形为()222222222222(A) 2y1y2y3(B) 29y2y(C)2y1y2、3(D) 2y1y7 .设A,B为任意两个随机事件，则()(A) P(AB) P(A)P(B) (B) P(AB) P(A)P(B)(C) P(AB) PA(D) P(AB) PA8 .设总体X

4、: B(m, ), x1，x2K ,2为来自该总体的简单随机样本，X为样本均值，则nE (x X)2()1 1(A) (m 1)n (1)(B) m(n 1) (1)(C) (m 1)(n 1) (1)(D) mn (1)二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸,指定位置上 ln(cosx)9 lim2-=x x X210 设函数 f(x)连续，(x)°xf ，若(1) 1,(1) 5,则 f(1)x 2y+3z11若函数z= z(x, y)由方程exyz 1确定，贝U dz(0,0) =12设函数y y(x)是微分方程yy 2y 0的解，且在x=0处y(x)

5、取得极值3,则y(x) =13设3阶矩阵A的特征值为2, -2,1, BA2A E淇中E为3阶单位矩阵，则行列式|B = 14设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(1,0;1,1;0),则P(XY Y<0) =三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答牌纸,指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)设函数 f (x) x ln(1 x) bx sinx, g(x) kx3,若 f(x)与 g(x)在 x 0 时是等价无穷小，求 a,b,k的值。16、(本题满分10分)计算二重积分 x( x y) dxdy, 其中 D (x,y)x2 y2

6、2,y x2DQ为该商品的需求量，p为价格,17、(本题满分10分)为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设MC为边际成本，刀为需求弹性(r> 0)(i)证明定价模型为pMC(ii)若该商品的成本函数为 C(Q) 1600 Q2,需求函数为 Q 40 p ,试由(1)中的定价模型确定此商品的价格。18、(本题满分10分)设函数f (x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0 I ,曲线y f (x)在点x0, f(x0)处的切线与直线x Xo及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0) 2,求f(x)的表达式。19、(本题满分10分)I 、一一.、， 、 ， 、 . 一 一

7、一一 、.、 、.、 一一 ' '(i)设函数 u(x) , v(x)可导，利用导致7E乂证明u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x)(ii)设函数 u1(x),u2(x), K,u*(x)可导,f (x) u1(x)u2(x)Ku*(x),写出 f(x)的求导公式。20 (本题满分11分)a 10设矩阵A1 a 1 ,且 A3 0.0 1a(i)求a的值;(ii)若矩阵X满足X XA2 AX AXA2E淇中E为3阶单位矩阵，求X .21 (本题满分11分)023设矩阵A133 ,相似于矩阵B12 a(i)求a,b的值(ii)求可逆矩阵P,使P 1AP为对角矩阵。22 (本题满分11分)设随机变量X的概率密度为f(x)2 xln2,x>0, 0,x 02个大于3的观测值出现时停止，记 Y为观测次数。对X进行独立重复的观测，直到第(1) 求Y的概率