经典不等式证明的基本方法(共13页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质：、对称性： 传递性：_ 、 ，a+cb+c 、ab， ， 那么acbc； ab， ，那么acbc 、ab0， 那么，acbd 、ab0，那么anbn.（条件 ） 、 ab0 那么 （条件 ）2、基本不等式定理1 如果a, bR, 那么 a2+b22ab.当且仅当a=b时等号成立。定理2（基本不等式） 如果a，b0，那么当且仅当a=b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y

2、时，积xy有最大值小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。3、三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式 实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。定理1 如果a, b是实数，则 |a+b|a|+|b| ， 当且仅当ab0时，等号成立。（绝对值三角不等式）如果a, b是实数，那么 |a|-|b|ab|a|+|b|定理2 如果a, b, c是实数，那么 |a-c|a-b|+|b-

3、c| ， 当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立。2、绝对值不等式的解法（1）|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式的解法：换元法：令t=ax+b, 转化为|t|c和|t|c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。分段讨论法： 用绝对值不等式的几何意义 零点分区间法 构造函数法典型例题例1 解不等式例2 解不等式|x+3|-|x-3|3。例3 解不等式|x2-3|x|-3|1。例4 求使不等式|x-4|+|x-3|b,bcac，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。规律方法指导1、不等式证明的常用方法： 比较法，综合法，分析法，反证

4、法，放缩法，换元法等。2、反证法的证明步骤： 否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立；推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾；否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立；肯定结论：原命题正确。3、放缩法的常用技巧： 在恒等式中舍掉或者加进一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；例如：应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；例如：f(x)为增函数，则f(x-1)f(x)0, b0, ab, a+b0, (a-b)20, ， .总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。举一反三：【变式1】证明下列不等式：(1)a

5、2+b2+22(a+b)(2)a2+b2+c2+32(a+b+c)(3)a2+b2ab+a+b-1【变式2】已知a，b，x，y，且a+b=1，求证：ax2+by2(ax+by)22、用作商比较法证明下列不等式： （1） (a，b均为正实数，且ab)（2）（a，b，c，且a，b，c互不相等）证明：（1）a3+b30, a2b+ab20. ， a, b为不等正数， （2）证明： 不妨设abc，则 所以，总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。举一反三：【变式1】已知a2，b2

6、，求证：a+b6abc证明：法一：由b2+c22bc, a0,得a(b2+c2)2abc，同理b(c2+a2)2abc，c(a2+b2)2abca,b,c不全相等，上述三个等号不同时成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.法二：a，b，c是不全相等的正数，a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数，由三个数的平均不等式得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)不等式成立.总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。举一反三：【变式1】a , b, mR+，且ab0，求证：.

7、思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.证明：， ab0, a-b0, b0, , ,（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）举一反三：【变式】x, y,zR+, 求证：类型三：分析法证明不等式5、已知a,b0，且2ca+b，求证：证明：要证，只需证：即证：，a2-2ac+c2c2-ab，即证a2+ab0，只需证a+ba2b+ab2(a，b均为正数，且ab)【变式2】a , b, mR+，且a0，y0，xy，求证：类型四：反证法证明不等式6、已知a,b,c(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c

8、,(1-c)a，至少有一个不大于。思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。证明：假设原结论不成立，即，则三式相乘有：又0a,b,c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0类型五：放缩法证明不等式7、若a,b,c,dR+，求证：思路点拨：记中间4个分式之和的值为m，显然，通过通分求出m的值再与1、2比大小是困难的，可考虑运用放缩法把异分母化成同分母。证明：记a,b,c,dR+，1m2，即原式成立。总结升华：证后半部分，还可用“糖水公式”，即进行放缩。常用的放缩技巧主要有： f(x)为增函数，则f(x-1)f(x)2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)2，b2，求证：a+bab证明：令y=f(a)=a+b-ab=(1-b)a+b，1-b2时，f(a)f(2)=2-b0 a+b0，b0，求证：思路点拨：由于a0，b0，所以求证的不等式两边的值都大于零，本题用作差法，作商法和综合法，分析法给出证明。证明：证法一：作差法a,b0，a+b0,ab0，得证。证法二：作商法a0,b0,a+b0，得证。证法三：分