固体物理学讲义4.4

1、§ 4-7能态密度和费米面能态密度函数匕亘在单个原子中电子的本征态形成一系列分立的能级，可以具体标明各个能级的能量，说明它们的分布情况。而在晶体中电子能级是准连续分布的，为了概括这种情况下的能级分布，引入“能态密度”的概念。用Z表示能量在E ): E之间的状态数，则能态密度函数定义为:AZdZN （E）二 lim -也EtO也EdE在三维情况，状态在k空间分布的密度为:厶匕曰、丹3，冃匕量在二)3E-；E . E （ :-.E-； 0）之间对应的体积为4二k2dk，则:N（E）二f n；（2二）33，这里n为电子密度引入自由电子球半径rs，可得rs/ 、1/'3 I，代入上式

2、有:(4兀n丿1/（9 兀/”33 QkF =-俺1.92/S托一, a。为氢原子基态波尔半径 rS（rSa0）假定电子可以看成自由电子，从而有：4.208；10 cm / ss/a0解kF50 .1eV衣kFE F， Vf2m(rs / )2m(/a°)当金属中电子密度n:10 2210 23 cm时，rs的值在2 6之间，/ ao费米能量大约在1.515eVN个电子填充这些能级中最低的 N个，有两种可能：1、 电子恰好填满最低的一系列能带， 再高的各带全部都是空的。 最高的满带称为价带，最低的空带称为导带，价带最高能级与导 带最低能级之间的能量范围称为带隙。 这种情况对应于绝缘体

3、和 半导体。带隙宽度大的（大约 10eV ）为绝缘体，带隙宽度小的（1eV）为半导体。2、如果除完全被电子充满的一系列能带外，还存在被部分充满的能带，这个被部分充满的能带称为导带。这时最高占据能级称 为费米能级。在每个部分占据的能带中，k空间都有一个占有电子和不占有电子区域的分界面，所有这些表面的集合就是费米 面。这种情况对应金属导体。§ 4-8表面电子态I. Tamm于1932年提出晶体存在自由表面时，会在能隙中 产生表面电子态的能级，这就是通常所说的Tamm表面态。1939 年W.Shockley又提出共价晶体的表面悬挂键在能隙中产生表面电子态，这就是通常所说的Snockley表

4、面态。为了说明金属 一半导体接触势垒的高度对金属功函数的依赖关系，J. Bardee n于1947年提出在半导体表面存在密度相当大的表面态，表面态中 的电荷产生的电势差对金属 一半导体接触势垒高度有控制作用。直接测定金属或者半导体的表面电子态是70年代XPS(Xrayphotoelectron spectroscopy)和 UPS(ultraviolet photoelectron spectroscopy)等新技术发明以后。假定表面是理想的，考察晶体表面对电子本征态的影响。设晶体表面以z=0为分界面，z <0的区域为具有周期性势场V(z)的 晶体；z 0的区域是真空，电子势能V(z)二

5、V。为一常数。如下图。一维半无限晶格中电子的势能'实线】辺表直态渋亟敦(虚线)单电子的薛定谔方程为：2d 2m(E -V(z),.广(z)2(z)=0dz2在z 0的区域，当E : Vo时,方程的解为:j2m(V° _ E)J 夕卜(二 A e x p-z在z :-的区域，方程的解为：i k z_i k z屮内(z) = BUk(z)e +Cu _k(z)e由于周期性势场在表面处中断，因此在表面处附近可能出现复波矢k ik泊勺许可态：ik z k zik z k z内表面(z)=BUk(z)e eCu_k(z)ee根据波函数及其导数在边界处连续的条件以及波函数有限的要求(设k

6、：0，当z 一：时，7表面保持有限)，可以得到表面2 u_k(O)2m u_k(O)态能级:Es 二V-表面能级对应的波矢既然是复数， 这个能级就不可能在无限晶体 的许可能带中，只可能位于能隙中。其波函数在真空中指数衰减，在晶体中是衰减的振荡函数。这种形式的波函数称为迅衰波(evanescent wave。§ 4-9无序系统中的电子态在固体系统中无序是指相对于完整晶体中原子排列的高度有序状态的偏离。无序系统大致可以分为：(1 )成分无序(compositionaldisorder) ； (2) 拓扌卜无序(topological disorder)具有严格周期性的有序晶格是平移不变的

7、，单电子态可用波矢量k标记并形成能带，能带电子的状态由布洛赫函数表示 i k rk（）=Uk （r）e所有电子均在有序晶格中作共有化运动，且各格点周围振幅 uk（r）相同，这种状态在整个晶体中的扩展特征是长程有序效应 的反映，因此布洛赫态又称为扩展态（extended states。具有扩 展态是有序晶格的特征。当有序晶格中掺入少量杂质后，周期性被局部破坏，这时将 有电子或者空穴被束缚在杂质上，并在导带之下或者价带之上（能隙区中）形成施主和受主能级，这些电子（或者空穴）的波 函数是指数衰减型的定域函数：（r）exp（一 ），称为定域化长度。这时电子在杂质附近作定域化的运动，有别于扩展在整个晶体

8、中的共有化运动，称为电子的定域态（localized states）。实 验表明当杂质浓度增高时，定域态的电子能级可能密集成带，并与导带相连接，形成导带的尾部（tail）它们对电导率的贡献很 小。存在定域态是无序的标志。对于无序系统的电子态理论研究有两种处理方法；其一是对 无序系统作某种平均后近视当作有序系统处理，这种方法以相干势近似为代表。其二是从无序系统的定域态出发，设计一些无序模型，研究无序系统与有序系统电子态的差别，这种方法以安德森的工作为代表。1、安德逊（P.WAnderson ）无序模型无序系统由于不具有平移对称性，波矢k不再是描述电子状态的好量子数，必须从定域态（或者原子轨道态）

9、出发设计模型和讨论问题。安德森将紧束缚近似（TBA）方法推广用于无序系 统，用旺尼而函数作为基本函数把波函数进行二次量子化展开， 引入反映“无序程度”的变化宽度的的参量W，而格点近邻交叠积分均取相同的值 V则表示无序系统的“短程有序”特征。 因此，这个简化的模型概括了无序系统的主要特点，由此出发将便于求得定域化条件和引进迁移率边界等新概念。安德森定域化条件为（E=0态）：->e（z为每个格点的近邻数，e为自然2Z V对数的底数）。2、莫特（N.F.Mott）模型当安德森条件不满足时，三维无序系统中E=0态不满足收敛 条件，它不能形成稳定的定域态，仍然是在系统中传播的扩展态。 莫特指出：这

10、时在无序系统中既存在扩展态，也存在定域态。扩 展态分布在紧束缚近似能带的中心，定域态在带尾部分，并有一个划分扩展态与定域态的能量边界 Ec，如下图当温度趋于Ok时定域态中电子迁移率趋于零，而扩展态中迁移率仍然为有限值，因此莫特将EC称为迁移率边缘。对于任意E态，定域化条件为:W2Z V2凶!E莫特还进一步提出了安德森转变(An derso ntran sition )的概念， 如果在Si晶体中掺入施主杂质磷，由于施主杂质的分布是无规 的，就形成无序系统，无序性将导致有一个迁移率边缘，设导带 中电子的费米能位于迁移率边缘之下， 此时系统中电子态都是定域态，可以认为是一个“绝缘体”。如果继续掺杂，使费米能级 通过迁移率边缘，位于它的上面，系统将出现