四川大学常微分方程(张伟年著)高等教育出版社课后答案

1、12.11. 在方程(2.1.1)中如果没冇假设g(y)MO讨论怎样用分离变呈法來求解微分方程.解：我们分F面两种悄形来讨论方程(2.1.1)的解.如果g(yo) = 0.则弓=迥显然是方程(2.1.1) 的解如果g(3/o) M()设9 =卩(=)在区间(a,b)上是满足初始条件卩(=0)= yo的方程(2.1.1)的解 则心)=h(x)g(x), Va < x < 6 dx山解的唯性可知'在区间(«,6)上均有g(ar)丰0.事实匕 假设有丘0 (a,6)>使得g(卩(丘0)= 0,則y =呎x)= 朋o)(常函数)是方程(2.1.1)的解.从而，函数?

2、 0都是过点(x0>卩o)的方程 (2.1.1)的解由解的唯一性,卩三妙三卩(io).故g(s/o) = g(卩(=o) = g(*o)=()这与假设g(3/0)M0矛盾. 由g(a)丰0可得.如(巧 _ h(.g(=)故当xe(a.b)时.令r =卩，则故y = <p(=)是满足的隐函数解.反之，若y = 如是由上式所确定的隐函数,则y = <r(x)是过(列皿)的方程(2丄1)的解.事 实上，由上式知.当a <x<h时，dr1Mh(t)dt.两边关丁工求导，得到所以y = 0(a)是方程(2.1.1)的解.同理町证山等式所确泄的换数y = v(x.C)都是方程

3、(2.1.1)的解，其中C是任意常数.因此,在实际求解中除了求出使g(y) = 0的y值以外,只要用gy)除方程(2.1.1)的两边.然后求不定积分/ 矫/"g即可.2. 试用分离变垠法求卜列一阶微分方程的解.#(3) 罂=2xy.(4) xy(l + x2)dy = (1 + y2)d®.殊污(尝=矜.解：(1) 分离变显后得ydy = -工血两边枳分，得x2 + y2 = C、因而原方程的通解为其中C = 2C为任意非负常数.(3) 当时分离变虽后得dy = 2xdx yIn y = / + 5两端枳分得此外显然!/ = 0也足力程的解.从而力程的通解为3梵中C为任总帘

4、数.(4) 分离变虽后得ydy _ dx1 + y2 z(l + x2)?两端积分得£ 111(1 + /) = hl x 一 i ln(l + X2) + Cl, 即ln(l + x2)(l + y2) = lnx2 + 26,(1 + X2)(l + y2) = C异,从而方程的通解为 其中C = /6为任总正常数.(9)当时，分离变虽后得两端积分得arcsin y = arcsin x + C.梵中c为任总正常数.从而方程的通解为y = sin(arcsin x + C),其中C为任总常数此外显然y = 1和9 = 一1也是方程的解. (12)分离变显后得(3y + ev)dy

5、 = cos rc/x,两端枳分得方程的隐式通解J + e" = sin h + C,英中c为任总帘数.12.13. 将下列方程化为可分离变嵐方程，并求解.樂=三忍(14)诸=sin(x + y + 1).解:(2) 令x = C+l1t/ = r/ + 2)可将衍方程变为Z = £_r?令u=l则冇用分离变嵐法求得苴通解为“2 +2“ 一 1 = C-2,英中6为任意常数.再由代入上式并化简得KI方程的通解为J + 2xy x2 Gy 2x = C,其中C为任总當数.(8)将脈方程改巧为dy _ H 丄！/ dx y x'令“ =¥,则有du1x dxu

6、用分离变厳法求得梵通解为u2 = mF+C,将u换成M得原方程的通解为/ = x2(Iiix2+ck 梵中C为任总常数.(14)令 u = H + y+l,则有空=1+血“, djc用分离变昴:法求得苴通解为tz u-secu=r + C,将“换成x + y+l得脈方程的通解为tan(x + y + 1) sec(z + j/+1) = h + C,其中C为任意常数.4. 解下列线性微分方程.裳-磊= (+)(6) -2xy = x.解：这里。(巧=缶，/(") = 9+1)，从而可求出脈方程的通解为y = cxp(J -L-(h：)(C +/(工+ l)exp(y=C(h+1)2

7、+ #(h+1)；,即y = C(x + l)2 + |(x + 1)5,其中C为任总常数.(6)这里a(x) = 2x, f(x) = x.从而可求出原方程的通解为xdx)(C +xcxp(2xdx)(lx)即y = - |+Cex其中C为任盘常数.6. 求下列初值何题的解.(2) y(l + x2)dy = x(l + y2)dx, y(0) = 1.(5) ey - x-x3 = 0, y=1.解：(2) 这是变虽分离的方程分离变虽后得 du =</x,1 + 沪"1+工2'两端枳分得其通解为1 + / = C( *2),其中(为任盘帘数代入初值条件得0 = 2.

8、故所给 初值问题的解为y =匚2以(5) 令u = J,原方程变为du3石"+ * '容易求得戏通解为“ =+ 1X4 + 6从而廉方程的通解为+ A + C,4英中C为任总常数代入初值条件得亡=¥十6从而C =亡一£故所给初值问遥的解为7. 求解F列Bernoulli方程务=6舟一珂2(3) 工尝一的=如2闪(工* 0,y > 0).解：(1) 当y * 0时，令：=y脈方程变为dz 6石=一才+“'这是-阶线性微分方程，其通解为"占(C +討),3从而凍方程的通解为/工8-=C.y 8其中c为任总常数此外.显然J/ = O也是方

9、程的解.(3)令二=E脈方程变为dz 2=-z + x dx x这是一阶线性微分方程，英通解为z = x2(ln |x|+C),从而原方程的通解为t/ = x4(ln|z| + C)21 英中C为任总常数.11.设 yi(x), y2(x)是方程兽 + p(H)y = g(=),的两个任异解.求证对该方程的任一解t/(x),成立恒等式讥巧一如(工)1/2 (工)一 31(=)其中C是某常数.证明:令0(x) = y(x) - yi(x),讽工)=的(可一 3h(a),容易检证兽 + p(x)(x) = 0,因此存在常数川，的黑0使得讽工)=ki exp(- / p(t)dt),Jxo0(h)

10、= k2 exp(- / p(t)dt).其中x0 G K.从而y(“)-里(*) 少2(®) 一如(r厂这里。=总为一常数.12.21. 验证下列方程是恰*方程，并求出方程的解：(2) (cc»x+ 訓工 + (p - r)dy = 0.(3) (5x4 + 3xy2 yi)dx + (3x2y 3xy2 + y2)dy = 0.(5)菇-鶴§(9) 3y + (3x + cos y)尝=0.解：(2)这里 A/(x,y) = cost + 寺,N(x, y) = £ _ 总，由于 OAf _ _ I _ dN所以这足一个恰当力程.取工o = u.如=

11、1,町计算出t/(x, t/) = / (cosx + )dx + / -dy JoV Ji y=sin x + + In |y|y故该方程的通解为sin x+J + ln y = C其中C为任盘常数.(3) 这里 A/(x, y) = 5x4 + 3xy2 活 N(x.y) = 3x2y 3xy2 + /由 J-c)MdN=莎所以这是一个恰当方程.取珂=0,如=0,可计算出故该力楼的通解为X6 +証切2 一刊3 +竽=C,其屮c为任武帛数.(5)将原方程改写为(6x + y + 2)dx + (瓷 + 8y - 3)dy = 0,这里 A/(x, y) = (St + y + 2, 7V(x

12、, y) = a + 8y 3由 PdM . dNdyOx所以这是一个恰当方程.取工0 = 0,如=0,可计算出t/(®, y) = (6x + y + 2)dx + / (8y - 3)dyJoJo=3x2 + xy + 2m + 43y.故该方程的通解为3工2 +珂+ 2工+切2 一 3y = C其中C为任意常数.(9)将原方程改写为(3y + ez)dx + (3x + cos y)dy = 0,这里 Af(z,y) = 3y + e1, N(®, y) = 3® + cosy, ill T*dM . ONdy氏所以这是一个恰半方程.取x0 = 0,如=0,

13、可计算出"(眄!/) = / (3j/ + ex)dx + / cos ydy丿()Jo=ex + 3xy + sin J/故该方程的通解为ez + 3xy + «in y = C,英中C为任童常数.3.试用枳分冈子法解F列方程：解：ydx + (y x)dy = 0.(x2 + y)dx xdy = 0.这里 Af(x,y) = y, N(ar,y) = y x,由于_ dAl _&N所以它不是恰为方附山一召=£ Ur无关.因此该h用仃異依赖J- y的积分I人I r“(工)= efldv =-越2xy In ydx + (x2 + y2 / +=u.冈此

14、方程n xt£r + dy = 0 y 为恰当方程，取工0 =().如=1,可计算出rx 1 rv ixU(x, y) = / -dx + / -dy = In y +Jo yyy故该方程的通解为lnM +专=C,其中C为任意常数 此外.詁然y = 0也是方程的解. 这里 y) = x2 + y2 + y. Ng y) = 一®.山 T*厂 0M ON “ ，八"苑一莎"(y+1),所以它不足恰出方程.通过观察易知(x2 + y2 + y)dx _ xdy=宀皿+忙学)=(x2 + y2)(dx + t/(arclaii( )y=(x2 + y2)d(x

15、 + arctan( )y因此该方程有积分因子亠r.且其通解为2Tx + arctan( ) = C.y其中C为任总常数.3这里 M(x. y) = 2xy In y, Nx.y) = x2 + y2/l + y2,山 fE咼卞"2所以它不是恰当方程.山丁一务=一专与工无关，因此该方程有只依赖丁y的枳分因子“(!/) = 冈此方程工22x In ydx + (- + y/1 + y)dy = 0y为恰当方程.取zo = O, yo = l,可计算出U(x,y) = J 2x In ydx 4- J y/1 4- y'2dy=x2 In y + (1 + J/?)孑-1/2.故

16、该方程的通解为F ln j/ + |(1+ /)* = C,其中C为任意常数.5. 试求Bernoulli方程的积分因C解：把Bernoulli方程写成对称形式(a(a)y + f(x)ya)dx - dy = 0f引入新的未知函数二=/°,得(1 ot)a(x)z + (1 ci)f(x)dx dz = 0. 这是一个关丁：的一阶线性方程，山例1.2知它冇枳分因子p0(x) = e<1_Q)/fl(I)，ix.叩方程“0(0)(1 一 a)a(x)z + (1 - a)f(x)dx 一 po(x)ds = 0为恰当方程，rh T- dz = (1 - a)y-Qdy.这等价丁

17、方程P0(x)yaa(x)y + f(x)yadx - fi(x)yady = 0 为恰肖方程，这样我们求出了 Bernoulli方稈的一个枳分因子“ =yf皿.&已知微分方程 (x2 + y)dx + f(x)dy = 0有枳分冈子p=x,试求所有可能的函数/仗).解:令M(x, I/) = x2 4- y, Nx, y) = /(x). Fl所给方程有积分因子ft = x知 0(如)_如N)dy _ dx '即r = r/(x) + /(x).因此两数/(r)满足一阶线性方程畑一孕+ 1,求出其通解即得使所给方程自枳分冈子“=工的曲数/(x)为C X/(x) = - +x

18、Z其中C为任意常数.1习 题 2.41. 求下列方程的通解.(2)汁(篡)2-罐 + #.必1 一裳) = (2-船2(4) (务)'一 4刊樂+8=0.解：(2) 令p=尝,则Ki方程变为：2丄/y = p 一砰+迈对上述方程两边关丁工求导，得c(lp"pP"卩灵-卩-工不+工,即(2卩一工)兽=(2p - x),若2p-x 0?则务=1,从而p = h + C，其中C为任意常数.因而原方程的通解为 y =学+ Cr + C2 .若2p-x = 0,容易求出廉方程的另一解y=斗.(3) 令樂=p, 2 - p =必由方程可得2 1卩=1 一(， 3=(+7 当卩黑

19、0时，得：则匚=一/和=*+c.因此，原方程的参数形式的解为梵中C为任总常数.消去参数后得：1cy = ” +- C.X C此外.当p = 0时，易知y = ±2也是方程的解.(4) 令卩=執则对匕述方程两边关丁工求导，得山此得即 y = C(H-C)2,其中 C=¥.Ill p3 -=()得p =(切2)士山此得方程的另一个解327x =寸即y =討2. 解下列方程：并求奇解(如果存任的话).(1)(H7)2 + !/2-l=0.巩尝)2-y第+ 1=0.(6) 务=_工 + /工2 + 2y.解：(1) 令兽=卩,由方程可得P = cost, 1/ = S 当卩定0时，

20、得：dx = = dtP则x = f - C. W此，脈方程的参数形式的解为y = sin t、兀中C为任总常数.消左参数后得y = sin(x + C).此外，当"=0时，易知y = 土1也是方程 的解.积分曲线族!/ = sin(x + C)的C 判别曲线满足方程：y 一 sin(x + C) = U, cos(x + C) = 0.从中消云C得j/ = ±l,易证它是族方程的奇解.(2)令p =啓，由方程知p / 0. W此可解出y = xp + 对匕述方程两边关丁求导，得3S-右)兽"若龙一 p2 M 0,则第=°：从而p = 6其中C为任总常数

21、.因而廉方程的通解为y = Car + » 若h pi = °,容坊求出廉方程的另解=心积分曲线族1/ = Cz +右的C判别曲线满足方程：y Cx 右=0,x + 吕=0.从中消公C得=4工，易证它是脈方程的奇解.(6)令z=x2 + 2场则由方程得気=2x + 2兽=2庐当二盘0时，用分离变虽的方法得z = (x + C)< 111此得原方程的通解为y = Car +竽，其中C 为任意常数.若二=0,容易求出脱方程的另一解y =-害.积分曲线族y = 6+竽的C-判别曲线満足方程：y 一 Cx %- = o,x C = 0.从中消去C得y =嘖 易证它是脈方程的奇

22、解.3. 求下列高阶方程的解.(i d% 1 叫 _ n乔_丘市_u(10)解：S _ d2ydr4 dx4 -令p=為，则廉方程变为dp _ P 石一匸使用分离变虽的方法，可得p = Alx,其中41为任盘常数.故(10)解得 y = C1X5 + C2x3 + C3X2 + Cur + C6? K中 Ci =令，C2, 6、6、Cb 为任意常数. 令"=第，则凍方程变为d2p以pdx集上式两端得2d(/)2 =冋人故4(/)2 = p2 +仏其中41为任意常数.从而2字=iv/p2 + Al.(IX使用分离变呈的方法，町得p + / p2 + .41 = A2e7.其中A2为任意

23、常数11J此可得p + /护 + 內=yl2e7 T因此即经过两次积分后得原方程的通解y = 6 显 + 6 厂乡 + C3x + 6, 其中Cl = 242, 6 = 一势，6、6为任意常数.山方程畔=7沪+弘 可得原方程郴同形式的通解.7.试证若y = <p（x）是方程搭=p（x）siny的满足初始条件£（0） = 0的解.则卩仗）=0.其中px）在- oo<x<oo上连续.证明：用反证法.若如丰0,则冇xo使得讽工0）丰0,不妨设xo > 0.令XO = supx e R|<（x） = 0 H x < xq则显然有卩So） = 0且当x （如

24、工o时,卩（Z）丰0.在区间x G （Tool上由于卩仗）丰0,因此由分 离变虽法可知存在非零常数K使得K exp(/ p(s)ds).在上式两端令x->x0,则左端趋于0,而右端趋于非零常数K,这就导致矛盾.故必有卩9）三012.设3.141试计算并比较其导数的行列式和英行列式的导数.解：易知dA 页=(it2 2t1 8£因此其导数的行列式为48<3 - 21另一方而，可求出det .4 = 8t5 + 4t2故其行列式的导数为40严一 312 + 8£3.设r(<)是区间a<t<,3上的连续函数，IL当a < t < 时,k(

25、OI <L + M / |x(T)|dr,英中厶M是非负常数.试用逐步逼近法证明:|x(t)| < 2" Va<r< ,3.证明：不失-般性，可设x(t) > 0.山假设可知存在区何a<t </?上的连续函数r(f) > 0使得z(t) = r(t) + L + M / x(r)dr.构造旳数序列xK.(0如下:瓷0(£) = r(0, xk(t) = r(t) + 厶 + M 上 xfc-i(r)dr,其中k = 1,2，.容易归纳地证明,对任意白然数k,函数列在区间a,冈上有定义并且连续. 山数学归纳法可证明用比率判别法知

26、级数在区间a < t < /?上是- 致收敛的因此级数8工0 + £(巧(£) 一 巧一 1(f), a S f S 0 j=l在区间a <t<(i上是一致收敛的，从而换数序列巩在区间«<<</?上是一致收敛的，并H 容易看出序列班 一致收敛J-x(t).另一方面，对任盘自然数71,由上面的估计，我们有n+10 < xn+i(t) - r(t) = J2(Xfc(t) - Xfc-i(O) fc=ln+1V)Ng)_台仗-1)!从而x+i(t) < £eM(t-Q)+ r(t) < LeMta)

27、.由此知 Vq <t x(t) < LeA/<e-a).习 题 3.23.如果下列两个向量函数sin厂 costcost 一 siiU «11(C «12(0为齐次微分方程组Jx dt =X«21(<)。22(0)的基木解组，试求w(f), ij = L2.解:易知d sin t cos tan(t) ai2(0"cos t sin t d21 (f) d22(£).sin t cos t cos f sin t因此«n(0 Q12(C) cos t sin t9sin t cos t.Q21(f)。22().

28、sin t cos t cos t sin t 由此可求出 «n(0 = a22(£) = 0, ai2(f) = 1)<121(0 = 14.利用解的存在惟-性(定理1.1 )证明定理2.2的第一部分.证明：充分性设方程组/ = -4(f)x的解组xl:人 = 12小的Wronskv彳j列式detX(t)在 某点f =G a制 处取值不为零，则xa«o):斤=12"线性无关，由定理2.1的证明可知解 组xfc(t) : k = 1,2?.,n线性无关.必要性用反证法.设方程组 务=Al)x的解组心:k = 12小线性无关但在 区间t G 制 上它

29、的Wronsky行列式detX(f) = 0.在区间t 口同上取定S 口即 则 xA(t0):斤=1,2,“线性相关，即存在不全为零的常数Cn使得ClXi(S) + C2X2(<0)+ + CnXn(£o)=。显然C1X1(O + C2X2+ CnXn(0和工=0郁是方程组务=A(1)X的满足初值条件 XM = 0的解.因此由解的存在惟一性定理知必有 + C2X2 + + Cnxn(l) = 0.故解组xA.(0 :人=h小线性相关，但这与假设矛肝.12考虑方程组其中A(t) =解:试验证是对应的齐次方程组的呈解矩阵.试求(1)的满足初值条件的解.易见习 题 3.3cos2 t

30、 I sin 2t 1.7 sin 2f + 1 sin2 te coste sin tx(0)=costsin tsin tcos t做)dTe( (cos t sin f)cost=力帕)ee(sin< +cost)sin t故<!>(«)是对应的齐次方程组的解矩阵.又由det <!>(/) = /黑0知<!>(£)是对应的齐次方程组的 基解矩阵.容易求出馳冲-")玲)=ea)L(o)x(o)=ef cos t sin te1 sin I cos t COS T cos tf T=esill 7sin ter cost

31、 eT siri re cosfsin t1 0fe cost 2sinte sin tcost0 12e' sin t + 2cos/ sin rcos r#(J 1) cos I 一 2 sin t(ef 1) sin t + 2 cos t山常数变易公式得脈芈齐次方程组的解为x(£) = d(f)4>" (0)x(0)+ 4>“(丁)fb)£ =Jo设n x n矩阵函数A(t)在a"上连续，n维向量函数F仏x)在区域a < t < f3, |x| < oo上连续.证明初值问JBdx页=A(t)x + f 仏 x

32、), x(to) = xo等价求解枳分方程x(t) = XX(2o)xo +xa)x"(r)f(r,x(r)血,其中t.to g g,0, x(t)是相应齐次线性方程组的基解矩阵.证明：设x(£)为所给枳分方秤的解，则窖=:x"(s)xo + xa)x-i(f)fa,xa)+fpx"(T)f(m)=AX厂i(£o)xo + f仏 x(£) + 4X0)X"(T)fH力J to=j4(t)x(t) + f (t, x(t),故x(f)也为所给繳分方程的解.同时易见X(to) = X0,故X为所给初值问题的解.反之，设X&quo

33、t;)为所给初值问题的解，则有f/x防=4 X + g(<)>x(«o) = xo,其中g(O = f仏X)为已知函数.由常数变易公式得X(O = X(OX-l(to)xo+XXjCgb)亦Jlo=x X "(£o)xo+ /X X*)f("(C)你丿怙故K也为所给枳分方程的解.2. 设血是线性微分方程兽+ 5(f)务+ “2工=0 的非零解,试证当x(to) = 0时,xto)丰0.证明:用反证法.若工他°) = 0,则x(e)是初值问题+ a2(t)x = 0. x(Zq) = 0, xz(Zq) = 0d2x的解显然这个初值问

34、题有零解£(t) = 0,冈此由解的存在惟一性定理知必有x(f) = 0,这与x(£)是 非零解矛盾.故当x(fo) = 0时,xtQ)丰0.</2x2 dx顾+ 7页+ ” = °3. 验证=畔是方程 的解，井求该方程的通解.解：ill x = 7 sin t 知dj 2dx c 2 . , 2 , 1 .,丽 + 7不 + 工=Ffsl,u -卍c08' 一 781,1 z2 1 1 1+ 7( & sinf + 7 coat) + - sin I = 03冈此工=屮是加方程的解.宙例4.2的结果知其通解为工=平 Cl -C2 I _厂2

35、门7水说=y(Cj sin t + C2 cost),其中Cl, c2为任意常数.5.设巧,©是二阶线性微分方程+ ai石 + <12(。工=/，(2)对应的齐次方程的两个线性无关的特解，其中ai(t)和a2(0是区间a<t< 3上的连续怖数，则方程(2) 在区间a<t<fi上的通解为x(t) = cixi(Z) + C2x2(t) +叭(丁)©(/) 叭(£)工2(丁)仁 V,Xl(T(T)-xl(T)X2(T)nT；#其中6,2为任总常数.证环解组xi(O, X2(O是对应的齐次方程的圣木解组，n Wronsky行列式为xi(t)

36、 X2(O*W=det= xi(f)X2(0 一.xi(t) X2(0a又Wt)中第2行第1列和第2列元索的代数余子式昭，昭分别为Hzi(t)= 一如几W2= Xi(t).故山常数变易公式知所给二阶线性微分方程冇特解儿、l(r)x2(t) - xi(t)x2(r)Z) = /0 琢因此所给通解公式成立.6求方程。(fix.+ 4工=f sin 21的通解.(2知其炖应的齐次线性方程仃基本解组cos2Z, sin2L解：容易求出其对应的齐次线性方的基本解组cos2£, sin 2f的Wronskv行列式W(t) = 2, (t)中 第2行第1列及第2列元索的代数余子式Hzi(O, W2

37、(t)分别为叫=-sin2L W2t) = cos2L因 此山常数变易公式知廉方程右特解(sin 2t cos 2r cos 21 sin 2r)r sin 2rdrt2cos 2t +8故廉方程的通解为x = C cos 2t + C2 sin 2t Lcos2t + ±sin2#其中CbC2为任意常数.1第四章习题与思考解：1.求齐次线性方程的实通解： 豁-需+ 2务-2x0. 需-2帑+2务" =（）该方程的特征多项式为入3 -入2 + 2入- 2 =（入- 1）（A2 + 2）,因此特征根为1, ±V2i故原方程右实基本解组eco，x/2Lsin y/2t

38、由此得实通解x(t) = Ce + C2 cos y/2t + C3 sin /2t,英中C1,C2,C；J为任总常数.该方程的特征多项式为A4 - 2A3 + 2A - 1 = （A - 1）3（入 + 1）,英中Cl, Cb C3, 6为任盘常数.2*.分析振动方程I人I此特征根为1 （三東根），-1.故原方程方实基本解组於，e-4. Ill此得实通解 x（0 = ef（Cj + C2t + C3t2） +drx2丽+ 2%+ = 0 的特征根并给出通解.这里6 2 0, 3 > 0.解：从该振动方程的特征方程A* + 26入 + a? = o求得特征根为入l,2 = -6 土 J矗

39、J. 根据沪一 u?的符号可分为如下三种情况：(0当da时.冇二个相异实特征根-<5 ± 7住一出方程的实通解为）其中6, 6为任意常数.当6 = 3时，有i个实二巫特征根一&方程的实通解为x(O = Cie*4r(Ci+C20,(Hi)其中6, C2为任盘常数.当d V 3时，有一对共純奴特征根-6 土皿匸仇方程的实通解为x(t) = e"(Ci cos y/涉62t + 6 sin J/ _ 負),英中Cl, C2为任总常数.3.求非齐次线性方程的实通解：（1）語+瓮=】+汽（3）需+ 4ar = fsin2f I drx q dx 丽一 4而r +饬=解

40、:(1)该方程对应的齐次线性方程的转征多项式为入2 +入.因此特征根为().-1故原方程对应的齐次 线性方程冇实基木解组1, £_又原方程冇特解”=7FTD，(1 + '2)=77Tri，(1 + <2)二召"+护)=(1-D + D2- D3)(t + i?)3t3 2=-r 4- 3f - 3.3由此得原方程的实通解<32x(t) = C + Cqe + t + 3£。其中C1.C2为任意常数.(3)该方程对应的齐次线性方程的待征藝项式为入2+ 4,因此特征根为±2i故脈方程对应的齐次线 性方程仃实基本解ill cos2L sin

41、 21. 乂原方程仃特解=£)2 + 5 2" 考虑辅助方程(D2 + 4" = te2i它冇特解二=，怙77工心壬舟(士5取虚部得到原方程的特解x(0 = -lf2cos2t+ltsin2L由此得原方程的实通解工=6 cos2Z + Sin22 -討5 + 首皿,其中Cl, C2为任意常数.该方程对应的齐次线性方程的特征多项式为A3 - 4A2 + 3A.因此特征根为0, h 3.故原方程对 应的齐次线性方程有实基木解组1, /評 又脈方程冇特解x(t !.厂!L. r"-D3 _ iD2 + 3Dl_3-Dl-DDC=j4(1 + Q + D2 +

42、£>3)(3)=扣 + 扣 + 討 + ±)(? + 3? +61 + 6)1 3 4 2 2674=-r + -V + £ + .992781山此得原方程的实通解工(2) = Ci + C2e + C3e3< + 护 + *2 4-务, 其中C1,C2,Cj为任总常数.1第四章习题与思考6. 求解方程组:J/1z<X Tz TZF X Tz TxFZrr dps dr577dn77=-3x + 48y - 28=, =+ 57 y 31c.=y, 第=一匚=-5x 一 10j/ - 20® =2= + 4y + 9二.黑=一血 + 4

43、0y - 22®路=5ar + 5y + 10c,3" - S 塔=-4工 一 y, 4z 8" 2c.11解：(1)该方程组的系数矩阵为 一3 48 -28 .4 = 一4 4() 一22一6 57 -31 它有3个彼此q异的特征根k = I,入2 = Z入3 =爲英对应的特征向虽分别为C, = (323)6 c2 = (433)T, c3 = (2,2,3)t山此得原方程组的通解为x = 3Cie# + 4C2e2f + 2CAe3t y = 2Ciel + C2e2r + 2C3e3t z = 3C J + C2e2t + 3C3e3t,英中C2,6为任总帘

44、数.(2)该方程组的系数矩阵为 .0 A =-1 0 易见：.屮=T、人3 = .4,-4 = /, ,因此脈方程组有基本解矩阵cxp(.A<)_£ + £ +1_普+普+-i + g_备 + i_£ + W +cos t sin tsint cost山此得原方稈纽的通解为x = C cos t + C2 sin t y = Ci sin t + C2 cos t,其中6、6为任总常数.(3)该方程组的系数矩阵为-5 -10 -20A = 5 5 102 49 它有3个彼此互界的特征根Ai = 5, Ao = 2 + i, A3 = 2 - t,其对应的待征

45、向虽分别为 O = (-2,0,1)T, <：2 = (3 + h2-b-2)T, c3 = (3-i,2 + £t -2)T冈此原方程组有复基木解 矩阵 -2e6t (3 + t)e(2+<)l (3 - i)e(2_i>t'X=0(2 -讥(2+讥(2 + 0c<2",)e.e5t -2e(2+i)t- 2沪-讥 占虑X(t)的实部得原方程组的通解为(X = 一26/f + C2(3cos< 一 sin/)e2<+C3(cosf + 3sin t)e2ry = C2(2cos I + sin t)e2t + Q( cos t

46、+ 2 sin t)e2tz = CieM 一 2C2e2f cos ( 一 2C3e2f sin i,其中6, 6、C3为任意常数.(4) 该方程组的系数矩阵为*3-10"-4 = 一4 一1 04 8 2 它有单特征根山=-2和二重特征根A2 = 1.对Ai = -2,其对应的特征向量为ci =(0,0,l)T. 对入2 = 1求(-4 - A2/)2c = 0的非平凡解，即求解线性方程组 0 0 ()'0 0 0 c = 0.28 44 9 得到两个线性无关的解C20 = (1. 1,-8)t和C30 = (5,-4,4)t.山此递推得C21 =(A - Ao/)C20

47、 =(3 -6- 20)丁， csi = (A A2/)C3O = (6? 12,40)=最后得到妹木解矩阵X(t) = (cieA1<,e2e(C20 + YiC2i),eA2<(C30 + 77C31) 0(l+3t)(5+6£)J =0(1 -6t)ef (-4 - 12f)ef .e"2r (-8 + 204)6* (4 + 40t)e* .山此得廉方程组的通解为(x = C2(l + 3()+ 6(5 + 6f)d I y = C2(1 - dt)el + C3(-4 - 12f) z = Cie2t + 6(-8 + 2Uf )J + C3(4 +

48、4O0e其中C 1,C2, c3为任意常数.7.给定齐次方程组x = .Ax, K中A为常数值矩阵.证明(1)若.4的所冇特征根实部都V 0,则所冇解当t t +oo时趋丁 0.(2)若.4的所有特征根实部都< 0 U零实部的特征根都是简单根，则一切解对Vi >0郁右界.(3) 若A冇一个特征桓实部> 0,则冇解当t t +00时趋向无穷.证明：设矩阵A冇互不郴同的特征根入i,，儿，乘数分别为，m fl m +心+ m =叫 则齐次方程组x = Ax的任一解x(t)均冇形式：x(° = fe"2，其中Pj(o为多项式且degPj(t) < Hj 一

49、1.3 若-4的所右特征根实部都< 0,则对任一s),反复运用洛必达法则得lim ePAt) = - lim 空？,=0.亡一+oo八t-t+OO入北一入戏因此当t T +OO时x趋丁 0.即方程组x = .lx的所冇解当t 一 +0O时趋丁 0.若-4的所有特征根实部都< 0 II零实部的特征根都是简单根.不妨设入“，九的实部为零, 九+X，兀的实部为负.则由假设i =nk = 1，从而P&),，P&)均为常数，设 为6、6、因此对任一 j (1 < j <|0Pj| S |0'| |Pj(£)| = |引,从而eAllPi(f),

50、,eA*tP*r(0对VO均有界.另一方面,由可得liin.= Mm eXatPdt) = 0.»+oot»+oo故/w'Pgi，09$对v« > 0也均有界因此X对Vi > o W界.即方程组 x = Ax的所有解对V< >0都有界.Vi A有一个特征根实部> 0,不妨设人=a +泊的实部a>0.役是相应丁Ax的特征向 虽，则方程组x = 4x有解x(t)=丿显然有lim |x(f)| = lim |丿Jll = lim eQ<|r/| = +oo.t*+00t4-oot+oo因此方程组X = Ax有解当t T

51、+oo时趋向无穷.15.11.设塞=卩是初值问题 绘=f(M z(s) = x0 在区间s -/I,<0 + h上的连续解,英中/(t,x)在矩形区域R = (/，工) R2 : k - tol S a, |z x0| < bI：连续，在"上关 J X 足 Lipschitz 条件，Lipschitz 常数为 L, It = inina. Al = inax|/(/,x)| : 仏x) R.设处是Piwrd迭代序列中第ri次迭代得到的丙数，证明有血下的误邈佔计： 阮"(毗船厂1证明:不妨设t poJo + h,对<eto- /Mo的证明完全类似.卩在区间如

52、切+ h上满足积分方 程卩= xo+ /(T；y>(r)dT,由2n(f)的构造，显然有“0一卩 I < |/(T； V>(T)|dT < Mt 一 S).J 5由此及Lipschitz条件.得11(0 一 卩I < /|/(r;y>o(r) 一 /(T；v?(T)|dr£ 订 I卩o(丁)-卩(丁)1 亦 < Lhl / (r - to)dr%九=弓纟a _如尸.一般地，假设当A: = m + 1时，1夕皿(£)许")1 三(也 + I” " 一 fo)01*'.则当 k = m + llbh"

53、;m + O 卩|S J |/(T；(m(T) - /(T；(T)|dr L f I畑(丁)- r)dT <jr-lQ)m+idr(m + 2)!(t - <o)m+2.#因此宙数学归纳法知，对任总幣数比祁冇勺 |f0J0 +川时IVn(t) - 卩 | <(n + 1)!A/Ln(ZT)!#即所给误怎估计成立.3.求方程务=F过点(0.1)的第二次近似解.解：所给初值问腔的Picard代序列如卜：內=1、由此得第三次近似解为卩3=1 + /屍(丁)力 Ji)5.利用Picurcl存在惟一性定理求定义在矩形区域H = 仏巧G R2 : t < l,|x| < 1上

54、的方程过点(0.0)的解的存任区间，并求在此区间上打JX1E的解的谋疋不超过0.05的近似解.解：这里S = O,xo = 0,a = 1,6 = 1, M = max|x2 + t : (t,x) R = 2,/(itx) = x2 + t, h = mina,=苏 由Picard存在唯一性定理.所给初值问题在区间£ - J上存在唯 不难求得Lipschitz?数L = niax| :仏)6 H = 2。山i夬Z?(占计(24)町得在解的存在区 间£ $寺上右:英中卩为所给初值问题的真正解，处为所给初值问题的第"次近似解显然 = 3时，血为 所给初值问世在区间c e -1，訂上与真止的解的误垦不超过005的近似解，因为这时仆13(0 -必)| < < 0.05.所给初值问题的Picard代序列前四项为:卩0(£)=(人故所求近似解为小 r r r r1卩3()=豆+莎+而+ moo8. 试求初值问题_=P(t)x + Q(0, x(to) = xo 3的Picard迭代序列，并通过求迭