弹性力学简明习题提示和参考答案

1、题提示和答案 弹性力学简明教程 习题提示和参考答案 第二章 习题的提示与答案 2- 1 是 2 2 是 2- 3 按习题 2-1 分析。 2 4 按习题 2-2 分析。 2- 5 在工 I 的条件中，将出现 2、3 阶微量。当略去 3 阶微量后，得出的切 应力互等定理完全相同。 2- 6 同上题。在平面问题中，考虑到 3 阶微量的精度时，所得出的平衡微分方 程都相同。其区别只是在 3 阶微量(即更高阶微量)上，可以略去不计。 2- 7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程一连续性和小变形，物理 方程一理想弹性体。 2- 8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界(即次要边界)

2、上，按照圣维南原理可列出 3 个积分的近似边界条件来代替。 2- 9 在小边界 0A 边上，对于图 2- 15 (a)、(b)问题的三个积分边界条件相 同，因此，这两个问题为静力等效。 2 10 参见本章小结。 2 11 参见本章小结。 2 12 参见本章小结。 2- 13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量 -必须满足 (1) 平衡微分方程， (2) 相容方程， (3) 应力边界条件(假设 S。 2- 14 见教科书。 2- 15 见教科书。 2- 16 见教科书。 2- 17 取 是该问题的正确解答。 2- 18 见教科书。 2- 19 提示：求出任一点的位移分量匸和：，及转动量总，再令

3、 xp = 0 ,便可得 出。 第三章习题的提示与答案 3- 1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解: (1) 校核相容条件是否满足， (2) 求应力， (3)推求出每一边上的面力 ：从而得出这个应力函数所能解决的问题 3- 2 用逆解法求解。由于本题中 lh, x=O,l 属于次要边界(小边界)， 可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。 3- 3 见 3-1 例题。 3- 4 本题也属于逆解法的问题。首先校核 (是否满足相容方程。再由求出 应力后，并求对应的面力。 本题的应力解答如习题 3-10 所示。 应力对应的面力是: 主要边界： (碍)円茂二0. 所以在边界上无剪

4、切面力作用。下边界无法向面力; 丁宀八上边 界有向下的法向面力 q。 次要边界： x=o 面上无剪切面力作用；巧耶一計但其主矢量和主矩在 x=0 面上均为零。 因此，本题可解决如习题 3-10 所示的问题。 3- 5 按半逆解法步骤求解。 (1) 可假设 - (2) 可推出氏；尸二丄 (3) 代入相容方程可解出 f、得到厂匚丘 宀， （4）由”求应力。 一77_洛 a 它们均满足平衡微分方程，相容方程及 V =丈一 x=0 和 _的应力边界条件，因此，它们 （5）主要边界 x=O,b 上的条件为 ；亠 F -I -.-】 次要边界 y=0 上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为 （5 ）何如

5、0,（碍）冋加厂0（弓J冋必=S 读者也可以按二或的假设进行计算。 3- 6 本题已给出了应力函数 F，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应 力，并考察边界条件。在；-+：/各有两个应精确满足的边界条件，即 （久）宀/2屯 4）册 P 而在次要边界 y=0 上,宀厂 已满足，而 （g）珅 的条件不可能精确满足（否 rbp. 则只有 A=B=O 使本题无解），可用积分条件代替：如%）冋 3- 7 见例题 2。 3- 8 同样，在 严宦的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件（2-15）。 3- 9 本题也应先考虑对称性条件进行简化。 3- 10 应力函数中的多项式超过四次幕时，为满足相容方程，系

6、数之间必 须满足一定的条件。 3- 11 见例题 3。 3- 12 见圣维南原理。 3- 13 m 个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式 （2-15）所示。 n 个次要边界上，每边可以用三个积分的条件代替。 3- 14 见教科书。 3- 15 严格地说，不成立。 第四章习题的提示和答案 4 - 1 参见 4-1， 4-2。 4- 2 参见图 4-3。 4- 3 采用按位移求解的方法，可设 代入几何方程得形变分 量，然后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。将此应力公式代入平衡微分 方程，其中第二式自然满足，而由第一式得出求 的基本方 程。 4- 4 按应力求解的方法，是取应力为基

7、本未知函数。在轴对称情况下， J 只有 为基本未知函数，且它们仅为 戸的函数。求解应力的基本方程 是：（1）平衡微分方程（其中第二式自然满足），（2）相容方程。相容方程可以这样导 出：从几何方程中消去位移，得 “卩 P 再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相容方程。 4 -5 参见 4-3。 4 -6 参见 4-3。 4 -7 参见 4-7。 4- 8 见例题 1。 4- 9 见例题 2。 4- 10 见答案。 4- 11 由应力求出位移，再考虑边界上的约束条件。 4 12 见提示。 4- 13 内外半径的改变分别为m 两者之差为圆筒厚度的改变。 4- 14 - 为位移边界条件。

8、4- 15 求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的解答。 4- 16 求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。 4- 17 求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。 4- 18 见例题 3。 4- 19 见例题 4。 第五章习题提示和答案 5- 1 参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。 5- 2 参见书中的方程。 5- 3 注意对称性的利用，取基点 A 如图。答案见书中。 5- 4 注意对称性的利用，并相应选取基点 A。答案见书中。 5- 5 注意对称性的利用，本题有一个对称轴。 5- 6 注意对称性的利用，本题有二个对称轴。 5- 7 按位移求微分方

9、程的解法中，位移应满足：（1）上的位移边界条件， （2） |上的应力边界条件，（3）区域 A 中的平衡微分方程。用瑞利-里茨变分法求解 时，设定的位移试函数应预先满足（1）上的位移边界条件，而（2）和（3）的静力条件由 瑞利-里茨变分法来代替。 27二丄cr F dxdj 5- 8 在拉伸和弯曲情况下，引用 的表达式，再代入书中的 公式。在 卩二一抵人 扭转和弯曲情况下，引用 的表达式，再代入书中的公式。 5 9 对于书中图 5-15 的问题，可假设 u = 小 . , JU； ：. - 丨对于书中图 5-16 的问题中，y 轴是其对称 轴，x 轴是其反对称轴，在设定 u v 试函数时，为满足

10、全部约束边界条件，应包含 公共因子 ；/ 0此外，其余的乘积项中，应考虑：u 应为 x 和 y 的奇函 数，v 应为 x 和 y 的偶函数。 5 10答案见书中。 5 11在u, v中各取一项，并设|时,用瑞利-里茨法得 =0, =ff 出求解的方程是入. r L 代入后,上两式方程是 解出 2x533 E 533 E 位移分量的解答为 175沁一樂耳 a a a a 533 S a a 应力分量为 450 . 金上） 533v * 6- 2 余见书 6- 3 t z 芒 为对围绕 i 结点的单兀求和。 6- 4 求支座反力的方法同上题。 6- 5 单元的劲度矩阵 k,可采用书中 P.124

11、式（g）的结果，并应用公式 Kj 二 ? ；求 出整体劲度矩阵的子矩阵。 6- 6 求劲度矩阵元素同上题。应力转换矩阵可采用书中 P.127 的结果。 6- 7 求劲度矩阵元素可参见 P.124 式（g）的结果，再求出整体劲度矩阵元素 K 疔刀环 6- 9 能满足收敛性条件，即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变, 还在u - - 2x533 E 225 175 第六早 习题的提示和答案 提示：分别代入-J：- 的公式进行运算。 （3）中的位移，一为刚体平移，另一为刚体转动，均不会产生应力。其 中答案。 求 i 结点的连杆反力时，可应用公式 E 答案见书中。 6-8 当单元的形状和局部编

12、号与书中图 6- 10 相同时，可采用 P.124 式（g） 的单元劲度矩阵。 答案：中心线上的上结点位移 6F AF ? Vj 。 下结点位移:上 单元的边界上，保持了相邻单元的位移连续性。 第七章习题的提示和答案 7 2 提示： 原（x,y,z）的点移动到（x+u,y+v,z+w）位置，将新位置位置代入有关平面、直线、 平行六面体和椭球面方程。 7 3 见本书的叙述。 7 4 空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考 虑它们在导出方程时的贡献。 7 5 对于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在， 且它们均为 的函数。在列方程时应考虑它们的贡献 第八

13、章习题的提示和答案 8 1 提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设=）。 柱体的侧面，在（x,y ）平面上应考虑为任意形状的边界（n=O,l,m 为任意的），并 应用一般的应力边界条件。 8 2 提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设 S = 若为多连体，还应满足位移单值条件。 由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（ 7-5）:法线的方向余 弦为l,m,n，边界面为任意斜面，受到法向压力 q 作用。为了考虑多连体中的位移 单值条件，应由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。 8 3 见 8-2 的讨论。 8 4 从书中式（8

14、-2 ）和（8-12 ）可以导出。由结论可以看出位移分量和应力 分量等的特性。 8 5 为了求 o 点以下 h 处的位移，取出书中式（8-6 ）的上，并作如下代换 然后从 o a 对积分。 71 答案: 8 6 引用布西内斯克解答，在 z=0 的表面上的沉陷是 （1）求矩形中心点的沉陷，采用图 8-9 （ a）的坐标系, -川工-：代入并积分， 4 也鬥1肚 兀E 口厲 再应用部分积分得到， 2(1-九.L a . L b. 卯= - ()arsinh 一 + ti ar sinh ) b (2)求矩形角点处的沉陷，采用图 8-9(b)的坐标系, 0 h Jo 77 , a 一、b、 = -

15、(b ar smh + a ar sinh 一) TVE b a 8 7 题中已满足边界条件 再由 0。二-2GK茨2 dxdy=M, 便可求出切应力及扭角等。 8-8 题中能满足两个圆弧处的边界条件亠：然后，相似于上题进行 求式解 L 为匚的两倍。 开屮 2 +宀屈? 7VE 8 9 分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答，和从矩形截面杆导出正方形截 面杆的解答；并由二尸，得出 二代入后进行比较即可得出。 8- 10 参见 8-8 的讨论。 第九章习题提示和答案 9- 1 挠度 w应满足弹性曲面的微分方程，x=0 的简支边条件，以及椭圆边界 4 月 上的固定边条件， 。校核椭圆边界的固定边条件时

16、，可参见例题 4。 求挠度及弯矩等的最大值时，应考虑函数的极值点(其导数为 0)和边界点，从中找 出其最大值。 .7FX . w=強 sin 9 2 在重三角级数中只取一项 .： 1 可以满足 .TTX . Try q 二 sin sin a b 的弹性曲面微分方程，并可以求出系数 m 而四个 简支边的条件已经满足。 关于角点反力的方向、符号的规定，可参见 9 4 中的图 9 5。 9 3 本题中无横向荷载，q= 0,只有在角点 B 有集中力 F 的作用。注意 w=mxy 应满足：弹性曲面的微分方程，x =0 和 y =0 的简支边条件,x =a 和 y =b 的自由边 条件，以及角点的条件丄

17、-(见图 9 5 中关于角点反力的符号规定)。 在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时，这个解答可以用来处理有两个 自由边相交的问题，以满足角点的条件。因此，常应用这个解答于上述这类问题， 作为其解答的一部分。读者可参考 9 6 中图 9-9 的例题。 9 4 本题中也无横向荷载，q= 0，但在边界上均有弯矩作用。x= 0,a 是广义 的简支边，其边界条件是 x = Ofa, yv=Or MX = M. 而 y= 0,b 为广义的自由边，其边界条件是 尸 0山 = M = 0 将 w=f(x)代入弹性曲面微分方程，求出 f(x)。再校核上述边界条件并求出其中的待 定系数。 9 5 参见 9 7 及例题 1，2。 9 6 应用纳维解法，取 w为重三角级数，可以满足四边简支的条件。在求重 三角级数的系数几中，其中对荷载的积分 * mm nTTy . o qsin - sin - n 只有在-2 一的区域有均布荷载作用，应进行积分；而其余区域 ； 1，积分必然为零。 9-7 对于无孔圆板，由“的挠度和内力的有限值条件，得出书中 9