New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计课件

1、New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念数字滤波器数字滤波器:输入输出均为数字信号，经过一定运算关系改变输入信号所含频率输入输出均为数字信号，经过一定运算关系改变输入信号

2、所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。优点（与模拟滤波器比）：精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要求阻抗匹配，能实现模精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要求阻抗匹配，能实现模拟滤波器拟滤波器(AF)(AF)无法实现的特殊滤波功能。无法实现的特殊滤波功能。1. 数字滤波器的分类2. 数字滤波器的技术要求3. 数字滤波器设计方法概述New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计1. 1. 数字滤波器的分类数字滤波器的分类）经典滤波器：经典滤波器：输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同

3、的频带，通过选频滤波器达到目的各占有不同的频带，通过选频滤波器达到目的现代滤波器现代滤波器：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号）提取信号）New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计数字滤波器的频响函数都以为周期：滤波器的低数字滤波器的频响函数都以为周期：滤波器的低通频带处于整数倍处，高频频带处于的奇数倍通频带处于整数倍处，高频频带处于的奇数倍附近。附近。22）从功能上分类：低通、高通、带通、带阻滤波器）从功能上分类：低通、高通、带通

4、、带阻滤波器（1）低低通通数数字字滤滤波波器器 ccjj eHeH 0)()( |H(ej)|c-c-22New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计|H(ej)|2-2 2-2-2221-1（2）高高通通数数字字滤滤波波器器 ccjj eHeH 0)()( （3）带带通通数数字字滤滤波波器器 0|,0)()(212 eHeH1jj |H(ej)|c-c-2-222New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计（4）带带阻阻数数字字滤滤波波器器 22100|,)()( 1jj eHeH 其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。1|H(ej)|2-2 2-2-222-1

5、New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计）数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类）数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类无限脉冲响应无限脉冲响应(IIR)滤波器滤波器有限脉冲响应有限脉冲响应(FIR)滤波器滤波器New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计()()()jjjH eH ee 2 2数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。(1)数字滤波器的传输函数数字滤波器的传输函数H(e j) 其中：幅频特性幅频特性：信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况相频特性：相频特

6、性：各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况) H(e j)(New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计低通滤波器的技术要求选频滤波器选频滤波器：一般要求幅频特性，相频特性一般不要求一般要求幅频特性，相频特性一般不要求（但若对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，如语音合成，波形传输）若对输出波形有严格要求，则需设计线性相位数字滤波器若对输出波形有严格要求，则需设计线性相位数字滤波器。实用滤波器实用滤波器：通带：不一定完全水平通带：不一定完全水平阻带：不一定绝对衰减到零阻带：不一定绝对衰减到零过渡带：通带、阻带之间过渡带：通带、阻带之间设置一定宽度

7、的设置一定宽度的过渡带过渡带New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计(2)(2)数字滤波器的幅频特性数字滤波器的幅频特性| H(ej)|的指标的指标过渡带低通数字滤波器的幅频特性技术指标|H(ej)|通带阻带21-1p0.70701CSp p：通带截止频率，通带频率范围：通带截止频率，通带频率范围：00 p p ；S S ：阻带截止频率，：阻带截止频率，阻带频率范围：阻带频率范围：s s ； C C ：3dB3dB截止频率；截止频率； P P：通带最大衰减；通带最大衰减； S S：阻带最小衰减阻带最小衰减 1 1：通带内幅度响应误差范围；通带内幅度响应误差范围； 2 2：阻带内幅度响应误差范围

8、；：阻带内幅度响应误差范围；New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计通带内和阻带内允许的衰减一般用通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，数表示，p和和s分别定义分别定义为：为：如将如将|H(e|H(ej0j0)|)|归一化为归一化为1 1，上两式则表示成，上两式则表示成当幅度衰减到当幅度衰减到 2/22/2倍时，所对应频率倍时，所对应频率 c c，此时此时 P P 3dB3dB，称称c c为为3dB3dB截止频率。截止频率。00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e

9、20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计1）：通带边界频率2）：阻带截止频率 ） 过渡带：（，）一般单调下降）通带内允许的最大衰减）阻带内允许的最小衰减） 3dB通带截止频率（=3dB时的）边界频率，pspsdBeHeHpjjp0lg20dBeHeHsjjs0lg20pcp，c，s例：低通滤波器的技术要求New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 ） IIR滤波器设计方法借助模拟滤波器设计方法：直接设计法：直接在频域或时域设计（需计算机辅助设计）FIR滤波器设计方法窗函数法频率采样

10、法等波纹逼近法需计算机辅助设计 ）线性相位滤波器设计方法FIR滤波器：常用（相位特性严格线性，这是AF无法达到的）IIR滤波器：必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相位校正)()(zHsHa频率变换 3. 数字滤波器设计方法概述New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计3. 数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法 IIRIIR滤波器设计方法滤波器设计方法： (1)(1)先设计模拟滤波器先设计模拟滤波器(AF)(AF)的传输函数的传输函数Ha(s)Ha(s)；然后按某种变；然后按某种变换，将换，将Ha(s)Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数转换成数字滤波器的系统函数H(z)H(z)。 (2) (

11、2) 借助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计；借助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计； FIRFIR滤波器设计方法滤波器设计方法 (1)(1)经常采用的是经常采用的是窗函数设计法窗函数设计法和和频率采样法频率采样法， (2)(2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器可以选择。波器可以选择。如：如：巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)(Butterworth)滤波器

12、滤波器、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)滤波器滤波器、椭圆椭圆(Kllipse)(Kllipse)滤波器滤波器、贝塞尔贝塞尔(Bessel)(Bessel)滤波器滤波器等等这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(ja

13、H)(jaH)(jaH000c各种理想模拟滤波器的幅度特性各种理想模拟滤波器的幅度特性New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计1. 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法(1)(1)模拟低通滤波器的设计指标有：模拟低通滤波器的设计指标有：p p、s s、p p、s s其中其中：p p和和s s分别称为分别称为通带截止频率通带截止频率和和阻带截止频率阻带截止频率; ; p p是通带是通带(=0(=0p p) )中的中的最大衰减系数最大衰减系数， s s是阻带是阻带s s的的最小衰减系数最小衰减系数，|Ha(j)|0.707ps通带阻带过渡带10Cps通带过渡带阻

14、带(dB) 衰减pS0New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计p p和和s s一般用一般用dBdB数数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|Ha(j0)|22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|Ha(j0)|22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2210lg()10lg()papsasHjHj2210lg()10lg()papsasH j

15、H j如果=0处幅度已归一化到1，即:|Ha(j0)|=1c称为3dB截止频率，因 ()1/2, 20lg()3acacHjHjdB()1/ 2, 20lg()3acacHjHjdBNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计(2) (2) 用模拟滤波器逼近方法设计数字用模拟滤波器逼近方法设计数字IIRIIR滤波器步骤：滤波器步骤：给出模拟滤波器的技术指标给出模拟滤波器的技术指标 ；设计设计传输函数传输函数 H Ha a(s)(s)：使其：使其幅度平方函数幅度平方函数满足给定指标满足给定指标p p和和s s ，|H|Ha a( (j j )|)|2 2 = H= Ha a( (j j ) ) H

16、Ha a* *( (j j ) = H) = Ha a( (s s) ) H Ha a(- (-s s) )| |S=jS=j 确定确定H Ha a(s)(s)：系统系统H Ha a(s)(s)应是应是稳定稳定的的系统系统，因此，因此，极点极点应位于应位于New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计模拟滤波器若干典型滤波器模拟滤波器若干典型滤波器巴特沃斯(Butterworth)滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器椭圆(Cauer)滤波器贝塞尔(Bessel)滤波器等模拟滤波器的分类（按幅频特性）模拟滤波器的分类（按幅频特性）低通、高通、带通、带阻Ne

17、w第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000cNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计1） p ：通带截止频率2） s ：阻带截止频率 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标：模拟低通滤波器的设计指标：低通滤波器的幅度特性低通滤波器的幅度特性New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计3）通带(=0p)内允许的最大衰减p 4）阻带s内允许的最小衰减s5） 3dB通带截止频率（ p =3dB时的c ）6）归一化的p和s如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1 2210lg

18、()10lg()papsasHjHj 2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj对于单调下降的幅度特性New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此传输函数设计方法：传输函数设计方法：注意：注意：Ha(s)必须是稳定的，因此其极点落在s平面的左半平面New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 1. 1.从模拟滤波器到数字滤波器的设计过程从模拟滤波器到数字滤波器

19、的设计过程按照设计要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通按照设计要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数滤波器的传输函数H Ha a(s)(s)，再按一定的转换关系将，再按一定的转换关系将H Ha a(s)(s)转换成数字低通滤波器的系统函数转换成数字低通滤波器的系统函数H(Z)H(Z)。关键问题：关键问题：将将s平面上的平面上的Ha(s)转换成转换成Z平面上的平面上的H(Z)。New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计为了保证转换后的为了保证转换后的H(z)H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：提出两点要求：因果稳定的模拟滤波器转换

20、成数字滤波器，仍是因果因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果 稳定的。即稳定的。即S S平面的左半平面平面的左半平面ReRes s00必须映射到必须映射到Z Z 平面单位圆的内部平面单位圆的内部|z|1|z|1。 (2)(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s s平面平面的虚轴映射的虚轴映射z z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 通过对连续函数通过对连续函数 等间隔采样得到离散序列等间隔采样得到离散序列 使使 ，T为采样间隔。它是一种时域上的转为采样间

21、隔。它是一种时域上的转换方法。换方法。)(tha)(nTha)()(nThnha)()()()()(zHnhnThthsHZaaa 变换等间隔采样拉氏逆变换2. 2.脉冲响应不变法的转换原理脉冲响应不变法的转换原理核心原理：转换步骤：New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计( )( )aaHsLT h t设模拟滤波器设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6.3.1) 将将Ha(s)进行逆拉氏变换得到进行逆拉氏变换得到ha(t)

22、：(6.3.2) si为Ha(s)的单阶极点u(t)是单位阶跃函数设模拟滤波器的传输函数为设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是相应的单位冲激响应是ha(t) New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT(6.3.3)对上式进行对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 11( )1iNis TiAH zez (6.3.4)11zeAssATsiiii对对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：，得到：New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计设ha(

23、t)的采样信号用 表示，( )( ) ()aanhth ttnT)(tha(1) 拉氏变换与拉氏变换与Z变换的映射关系变换的映射关系New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计( )aht( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) 对对 进行拉氏变换，得到进行拉氏变换，得到: ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)因此得到: 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的变换之间的映射关系可用下式表示：映射关系可用下式表示：s

24、Tze(6.3.6) 标准映射关系New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计jsjzre 按照按照(6.3.6)式，得到式，得到:jTj Treee因此得到因此得到:TreT (6.3.10) 设设（2）s平面与平面与Z平面的映射平面的映射那么那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，注意到另外，注意到z=esT是一是一个周期函数，可写成个周期函数，可写成2(),jM TsTTj TTTeeeeeM为任意整数图6.3.1 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计( )aht()aHj模拟信号模拟信号ha(t)的傅里叶变换的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号和

25、其采样信号 的傅里叶变换的傅里叶变换 之间的关系满足之间的关系满足(6.3.7) 将s=j代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.8) (6.3.9) 表明将模拟信号表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在的拉氏变换在s平面上沿虚轴平面上沿虚轴按照周期按照周期s=2/T延拓后，再按照延拓后，再按照(6.3.6)式映射关式映射关系，映射到系，映射到z平面上，就得到平面上，就得到H(z)。New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象（3）混叠失真New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 假设 没有频率混叠现象，即满足 按照(6.3.9)式，

26、并将关系式s=j代入，=T，代入得到： 令()aHj()0,/aHjT 1()(),jaH eHjTT)(jeH)( jHa(4) 与 的关系那么此时New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计1112211()sjs 极点为 (6.3.11) 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为 1111121211cos12cosTTTz eTz eTz e (6.3.12) 3.二阶基本节一般一般Ha(s)的极点的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在在(6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶式中将一对复数共轭极点放在一起

27、，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eTz eTz e 极点为 (6.3.13)(6.3.14) 则对应的数字滤波器的二阶基本阶的形式为New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计6. 6.总结总结脉冲响应不变法的优点：脉冲响应不变法的优点：1.频率坐标变换是线性的，即频率坐标变换是线性的，即=T，如果不考虑频率混叠，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤现象，用

28、这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率特性。波器的频率特性。2.数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。激响应，时域特性逼近好。脉冲响应不变法的缺点：会产生混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高会产生混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。通、带阻滤波器的设计。New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 5. 5. 例例6.3.1 6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数已知模拟滤波器的传输函数H Ha a(s)(s)为为用脉冲响应不变法将用脉冲响应不变法将H Ha

29、 a(s)(s)转换成数字滤波器的系统函数转换成数字滤波器的系统函数H(z)H(z)。20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj极点为12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj 那么H(z)的极点为 解： 首先将Ha(s)写成部分分式：1212,s Ts TzezeNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz 转换时，也可以直接按照(6.3

30、.13),(6.3.14)式进行转换。首先将Ha(s)写成(6.3.13)式的形式，如极点s1,s2=1j1,则按照(6.3.4)式，并经过整理，得到设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则26449. 03224. 0113224. 0)772. 0cos(21)7772. 0sin(3224. 02)(zeTezzTezHTT112222111110.5012( )0.6449()()aHsss再按照(6.3.14)式，H(z)为111112121sin( )0.644912cosTTTz eTH zz eTz eNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计图6.3.3

31、 例6.3.1的幅度特性New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计复习：数字滤波器的幅频响应函数复习：数字滤波器的幅频响应函数 滤波器的指标常常在频域给出。滤波器的指标常常在频域给出。 数字滤波器的频响特性函数字滤波器的频响特性函数数H(ej)一般为复函数，一般为复函数， 所以通常表示为所以通常表示为H(ej)=|H(ej)|ej()其中，其中， |H(ej)|称为幅频特性函数，称为幅频特性函数， ()称为相频特性函数。称为相频特性函数。 常用的典型滤波器常用的典型滤波器|H(ej)|是归一化的，是归一化的， 即即|H(ej)|max=1， 对对IIR数字滤波器，数字滤波器， 通常用幅频响应函数

32、通常用幅频响应函数|H(ej)|来描述设来描述设计指标。计指标。 注意：注意： H(ej)是以是以2为周期的，为周期的， 这是数字滤波器与模拟这是数字滤波器与模拟滤波器的最大区别。滤波器的最大区别。 只给出主值区只给出主值区, 区间上的设计指区间上的设计指标描述即可。标描述即可。 New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计1和和2分别称为通带波纹幅度和阻带波纹幅度，分别称为通带波纹幅度和阻带波纹幅度， p为为通带边界频率，通带边界频率， p为通带最大衰减为通带最大衰减(dB)， s为阻带边界频为阻带边界频率，率， s为阻带最小衰减为阻带最小衰减(dB)。一般要求：当一般要求：当0|p时，时， 2

33、0lg|(Hej)|p 当当s|时，时， s20 lg|H(ej)|当当p=3 dB时，时， 记记p为为c， 称称c为为3 dB截止频率。截止频率。New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计脉冲响应不变法的缺点：脉冲响应不变法的缺点： 频谱混叠，使频谱混叠，使DF的频响偏离的频响偏离AF的频响特性的频响特性原因：原因： 模拟低通滤波器不是带限于模拟低通滤波器不是带限于/T，在数字化后，在数字化后 产生产生 频谱混叠，再通过标准映射关系，使数字频谱混叠，再通过标准映射关系，使数字滤波器在滤波器在附近形成频谱混叠。附近形成频谱混叠。解决办法：解决办法： 采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴压缩采用非

34、线性频率压缩方法，将整个频率轴压缩 到到/T, /T 再利用再利用z=esT转换到转换到Z平面上。平面上。New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计脉冲响应不变法的特点脉冲响应不变法的特点1、优点、优点:（1）数字滤波器在时域上能模数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能仿模拟滤波器的功能（2）频率坐标的变换是线性的）频率坐标的变换是线性的（3）如果如果H (s)是稳定的，映射是稳定的，映射后得到的后得到的H(Z)也是稳定的也是稳定的2、缺点：、缺点： 有频谱周期延拓效应有频谱周期延拓效应只能用于只能用于带限带限的频响特性的频响特性高频衰减越大，频响的混淆效应越小高频衰减越大，频响的混淆效应越小

35、New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计3、解决的办法？、解决的办法？（1）增加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率的频带）增加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率的频带 会增加设计的复杂性和滤波器阶数会增加设计的复杂性和滤波器阶数（2）克服标准映射关系的多值对应关系）克服标准映射关系的多值对应关系 设想变换分为两步：设想变换分为两步： 第一步：将整个第一步：将整个S平面压缩到平面压缩到S1平面的一条横带里；平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去平面上去 由此建立由此建立S平面与平面与Z平面一一对应的单值关系，平面一一对应的单值关

36、系，消除多值性，也消除多值性，也就消除了混叠现象。就消除了混叠现象。New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字数字低通滤波器低通滤波器1.双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理)2(tg1TcS平面的整个平面的整个j轴被压缩到轴被压缩到S1平面的平面的2/T 一段。一段。Tsez1:0 1:/0/TTNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计11sino222c sTTT112 11s Ts TeeT11112zszT 22sTTzs122TtgT 11112222222TTjjTTjjeejeTe111122222TTjjTTjjees

37、jeeT 111122222s Ts Ts Ts TTeeee1112 1Tzz1s Tzesj 11sj 12s TeNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计(6.4.3) (6.4.4) 图6.4.1 双线性变换法的映射关系New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计211jjejTe2. 2.模拟频率模拟频率和数字频率和数字频率之间的关系之间的关系令令s=j,z=e js平面上平面上与与z平面上平面上的的 成非线性关系成非线性关系21tan2T 在零频率附近，在零频率附近，接近于线性关接近于线性关系；系； 进一步增加时，进一步增加时，增长变得缓慢，增长变得缓慢，(终止于折叠频率处终止于折叠频

38、率处) 所以双线性变换所以双线性变换不会出现由于高频部不会出现由于高频部 分超过折叠频率分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。而混淆到低频部分去的现象。New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计3.双线性变换法的缺点双线性变换法的缺点 与与成非线性关系，导致：成非线性关系，导致：（1）数字滤波器的频响曲线不能保真地模仿模拟滤波器的数字滤波器的频响曲线不能保真地模仿模拟滤波器的曲线形状曲线形状(发生畸变发生畸变) 例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器变换后，就不可能得到数字微分器bk

39、tgjHeHbkjHtgj2)()()(2New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计（2） 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。滤波器为非线性相位。 （3）要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故）要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。频滤波器。目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。原因：大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，它们在通原因：大多数滤波器都具有分

40、段常数的频响特性，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为近一个衰减为的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。分段常数的特性。 New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计4.预畸变校正预畸变校正 模拟滤波器模拟滤波器H (s)，双线性变换后，得到的，双线性变换后，得到的H(z)在通带与在通带与阻带内都仍保持与原模拟滤波器相同的起伏特性，只是截阻带内都仍保持与原

41、模拟滤波器相同的起伏特性，只是截止频率，以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了止频率，以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸变非线性变化，即畸变。 校正方法：校正方法： 将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通 过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。 利用关系式：利用关系式： 将所要设计的数字滤波器临界频率点变换成对应的模拟将所要设计的数字滤波器临界频率点变换成对应的模拟域频率临界频率点，设计模拟滤波器，再通过双线性变域频率临界频率点，设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数

42、字滤波器换，即可得到所需的数字滤波器22iitgTNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计5. 计算计算H(z) 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于于s与与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa置换过程置换过程:频响：频响：22)()(22tgTjHjHeHatgTajNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计例

43、例6.4.16.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图示的试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图示的RCRC低通滤波器转换成数字滤波器。低通滤波器转换成数字滤波器。1( ),aHssRC利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为为 11( )1TH zez解：首先写出该滤波器的传输函数首先写出该滤波器的传输函数Ha(s)为为New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为为 111121212112(1)( )( )12,22azsTzz

44、HzHsa zTTTTH1(z)和和H2(z)的网络结构分别如图的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。所示。图6.4.5 例6.4.1图H1(z)和H2(z)的网络结构 (a)H1(z); (b)H2(z) New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计数字滤波器数字滤波器H1(z)和和H2(z)的幅频特性的幅频特性 New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计21tan()2TT 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为6. 6.利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIRIIR数字低通滤波器的步骤数字低通滤波器的步骤(1)确定数字低通滤波器的技术指

45、标：通带截止频率确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减通带衰减p、阻带截止频率、阻带截止频率s、阻带衰减、阻带衰减s。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。技术指标。(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 (4)将模拟滤波器将模拟滤波器Ha(s)，从，从s平面转换到平面转换到z平面，得到数字低通平面，得到数字低通滤波器系统函数滤波器系统函数H(z)。如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为New

46、第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计7.T7.T的选择的选择脉冲响应不变法：脉冲响应不变法：如采用脉冲响应不变法，为避免产生频率混叠现象，要求所如采用脉冲响应不变法，为避免产生频率混叠现象，要求所设计的模拟低通滤波器带限于设计的模拟低通滤波器带限于 之间，由于实际滤波器之间，由于实际滤波器都有一定宽度过渡带，可选择都有一定宽度过渡带，可选择T满足公式满足公式 。若先给定数字低通的技术指标时，由于数字滤波器传输函数以若先给定数字低通的技术指标时，由于数字滤波器传输函数以2为周期，最高频率在为周期，最高频率在=处，因此处，因此 ，按照线性，按照线性关系关系 ，那么一定满足，那么一定满足 ，这样，这样

47、T可以任选。可以任选。T/Ts/sTss/双线性变换法：双线性变换法：不存在频率混叠现象，尤其对于设计片断常数滤波器，不存在频率混叠现象，尤其对于设计片断常数滤波器，T可可任选任选Ts/New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计(1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB例例6.4.2 6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.20.2radrad时，容许

48、幅度误差在时，容许幅度误差在1dB1dB以内；在频率以内；在频率0.30.3到到之间的阻之间的阻带衰减大于带衰减大于15dB15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。 解：New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。 0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 取N=6为求3dB截止频率c,将p和p代入 得到c=0.703

49、2rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。10.12(101)paNcp New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计234561( )13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s), 62652433425665432( )3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHsssssssssssss根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化传输

50、函数为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：1112121120.28710.44662.14281.1454( )10.12970.69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH zzzzzzzzNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计图6.4.7 例6.4.2图用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计(2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器。 数字低通技术指标仍为 p=

51、0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568spspssppspkNkN 取N=6。为求c,将s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 根据N=6，查表6.2.1

52、得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的Ha(s)， 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss111 61212121120.0007378(1)( )( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzzNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计图6.4.8 例6.4.2图用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性New第6章无

53、限脉冲响应数字滤波器的设计(2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计21tan2T 具体设计步骤如下：(1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节)。(4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 例6.5.1 设计一个数字高通滤波器，要求通带

54、截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。 解: (1)数字高通的技术指标为 p=0.8rad,p=3dB; s=0.44rad,s=15dB(2) 模拟高通的技术指标计算如下： 令T=1，则有12tan6.155/ ,3212tan1.655/ ,32pppsssrad sdBrad sdB New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 1,3.71spsp(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：10.163/ ,36.15510.604/ ,151.655ppssrad sdBrad sdB 将p和s对3d

55、B截止频率c归一化，这里c=p, (4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：0.10.1lglg1010.18031013.711.31,2psspspspssppkNkNN New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计22221( )21( )2cccG pppG sss 为去归一化，将p=s/c代入上式得到：(5) 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)： 22221( )( )21caccsHsGsss 查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为(6)用双线性变换法将模拟高通H (s)转换成数字高通H(z)1

56、1121( )( )azszH zHsNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即1111211 21 21212( )( )0.106(1)0.0653(1)( )1.6241.9470.5661 1.1990.349zszH zG szzH zzzzzNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 例6.5.2设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3rad到0.4rad，通带内最大衰减为3dB，0.2rad以下和0.5rad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。 解 (1)数字带通滤波器技术指标为 通带上截止频率 u=0.4rad

57、 通带下截止频率 l=0.3radNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 阻带上截止频率 s2=0.5rad 阻带下截止频率 s1=0.2rad 通带内最大衰减p=3dB，阻带内最小衰减s=18dB。 New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 (2) 模拟带通滤波器技术指标如下： 设T=1，则有2211012tan1.453/212tan1.019/212tan2/212tan0.650/21.217/0.434/uullssssululrad srad srad srad srad sBrad s (通带中心频率) (带宽) New第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 将以上边界频率对带宽B

58、归一化，得到 u=3.348,l=2.348; s2=4.608,s1=1.498; 0=2.804 (3) 模拟归一化低通滤波器技术指标： 归一化阻带截止频率222022.902sss归一化通带截止频率p=1p=3dB,s=18dBNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 (4) 设计模拟低通滤波器：0.10.11010.1271012.902lg0.1271.940,2lg2.902psspssppkNN 查表6.2.1，得到归一化低通传输函数G(p),21( )21G pppNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 (5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通： (6)通过双线性变换法将Ha(

59、s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：220()( )( )ulaspsHsG p 11121zszNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 将上式代入(5)中的转换公式，得11221 221 20021211212224(1)(1)()2(1)()5.484.57.4816.3135.18806190.868(1)1zsululzszzpszzzzzzz 将上面的p等式代入G(p)中，得 2412340.021(12)( )1 1.4912.8481.681.273zzHzzzzzNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 例6.5.3设计一个数字带阻滤波器，

60、通带下限频率l=0.19,阻带下截止频率s1=0.198，阻带上截止频率s2=0.202，通带上限频率u=0.21，阻带最小衰减s=13dB，l和u处衰减p=3dB。采用巴特沃斯型。 解 (1) 数字带阻滤波器技术指标： l=0.19rad,u=0.21rad,p=3dB; s1=0.198rad,s2=0.202rad,s=13dBNew第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 (2) 模拟带阻滤波器的技术指标： 设T=1，则有1122112tan0.615/ ,2tan0.685/22112tan0.615/ ,2tan0.685/22lluussssrad srad srad srad s 阻