实数大小比较的常用方法

1、实数的大小比较的常用方法一、法则法比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。例1比较F与- 5的大小。析解：由于丨-二上二,丨-5，且5，所以5。说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。二、平方法2 2用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：a b- a b。例2比较3 7与7-3的大小。析解：由于（3、7）2 =：63（7、.3）2 H47，而 63 47，所以 3： 7：: 7、. 3。说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的

2、无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据是： 在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表 示的数大。例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、一 a、b、一 b、c、一 c的大小。b0c图1析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数 a、一 a、b、一 b、c、一 c表示的点画 出来，容易得到结论： Y “ b心：-b ： c.1U,11LUl-cb -a0a-bc图2四、作差法：差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a b 0时，得到a b。当a b 0时，得到a bo当 a

3、 b = 0,得到 a=bo笛-1 1例1:( 1)比较 3 与5的大小。(2)比较1与1T的大小。笛1 的-2笛1 1解 5 5=5 v 0 , 5 0 ,1 1 3。例2、比较_1 1 - 的大小。解析：因为U -U -屈=靠-应n 0，所以 -遁八-翻。五、作商法aaa1：= a b; 1= a 二b;1= a ： b.比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：bbb来比较a与b的大小。笛-1 1例1：比较 5 与5的大小。笛-1 15-1 1解：5 十 5 = V 1 15 52008111 1 2008222 1222333例2比较20081与20081的大小。2008222 12

4、008333 12008111 1m =222析解：设 20081a=2008111，则 a2 =2008222,a3 =2008333.a 1a21a31m a 1 a3 1 a4a3 a 1=.=2242na1 a1a 2a1a3 a -2a2 =a(a -1)20,.a3 a 2a2,.a4a3a 1a42a八1,m a4 a3 a 1n _ a4 2a211，2008111 12008222 1即 2008222 12008333 1例3比较益与籍的大小解:警宁込型9 x竺?=4036081 120102009201020084036080所以 2009 h 时，av b。来比较a与b

5、的大小。例1 ：比较.咖与沁的大小。1 1解-血丽=履丽+厕S，厲-極丽=履亦+履丽又顾 + Y硕 v ；蚯 + -.MM丽硕 .蚯. MM例2、已知a 1,b 2,试比较一与的大小2a 13a 2解：2a 12a 11= + =2+因为a 1，所以2+丄 2,所以2 3+- 31 一bbbbb因为2a 1bab2a 1 3a 2例3、设-:，则a、b、c的大小关系是（）A、abc B、acb C、cba D、bca解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法首先,11_ I _2+占 _ 抠亠？ 1_ 1 _虧+2_亠?1 1-1因为-：? / 所以1“厂则bc

6、。又因为 1 ，所以I ，贝U ab。由此可得：abc。故选A。七、平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a0, b0时，可由/ 尸得到a b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例5：比较6与的大小解：（丿 I * 6） - 8 2,12 ,（月: A =8+2 15。又/ 8+2 1? v8+2,2 +6 v 八,5 0八、估算法估算法的基本是思路是设a, b为任意两个正实数，先估算出a, b两数或两数中某部分的取值 范围，再进行比较。価-?1例4:比较 X与的大小価-31解： 30，b0,若要比较形如a心二Ed的大小，可先把根号外的因数a与c 平方后移入根号内

7、，再根据被开方数的大小进行比较。例6:比较2 J与3门的大小解: 2万八而=血,3倉邱而八历。又 2827,. 2J 3 门。十、特殊值法比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。1例1：当0vxv 1时，分，工，的大小顺序是。1 1 1解：（特殊值法）取丄=2，则：J/，丄=2o1 1 1v ! v 2 v2, . f v I v 丄。例2、已知xvy0,设-，则M N、P、Q的大小关系是（）。A MvQvPvN、MvPvQvN C QNPM、NQP 1,b 2,贝U 2a +1V或=)分析：为填空题，可用赋值法。取 a=2, b=3代入，-5 2所以填入“？”。11例 4 设 a= 20,

8、 b= ( 3)2, c =nV, d= d,则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（）A.c v av dv b B.b v dv av c C.a v cv dv b D.b v cv av d分析 可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.解 因为 a = 2 = 1, b= （ 3）2= 9, c = =一 術,d= J丿=2,而一的 v 1 v2v9,所 以cv av dv b.故应选A.除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比 较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。 能快速地取得令人满意的结 果。十一、中间值法（还是判不了，就把中人找）如果ac, cb，那么abo若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好 比该数大时，可选用此法。例1、比较匸:-的大小。解析：因为皿w府5，所以顾+ 25屈。所以+ 丘应_ 2，即40+ 2 - 34即-3 - 3.5999所以-3.55v -3