数学解题学习中的元认知

1、数学解题学习中的元认知丹阳市第五中学 212300 张涛 一些数学家认为数学解题学习是有意义的发现学习，所以按照有意义学习理论，必然是解题者已有的解题认知结构对整个解决问题的学习过程起着决定性的作用。数学的解题认知结构由解题知识结构、思维结构和解题元认知结构组成。关于解题知识结构和思维结构，对此，已经有人进行了比较详实地阐述，本文拟就数学解题学习的元认知问题进行深入探讨。1“元认知”思想的脉络 “元”的概念来源于对“内省法的自我证明悖论”的哲学思索。卡蒙特(Comte)认为， 同一器官如何能够同时既是观察者又是被观察者呢，因而“内省法”存在“自我证明悖论”。为了解决这一悖论，哲学家塔尔斯基(A

2、TMski)引进了“Meta”即“元”的概念。他针对“客体水平”提出了“元水平”的概念：客体水平是“关于客体本身的表述”，而元水平则是“关于客体水平表述的表述”。这2者之间的区别，使得一个过程可以作为同时进行的2个或2个以上不同水平的进程来分析，其中任何一个较低层次进程都可以成为一个较高层次进程的对象因此内省可看作是，认知主体对自己所进行的关于客体水平的意识做出元水平的言语表述这样一来，关于内省法的自我证明悖论就得到了解决与此同时，“元”的概念给予心理学家以启示，产生了“元认知”的思想元认知最初被表述为“个人关于自己的认知过程及结果或其它相关事情的知识”，是“为完成某一具体目标或任务，认知主体

3、依据认知对象对认知过程进行主动的监测，以及连续的调节和协调”，是“个人对认知领域的知识和控制”。因此，元认知被简单地表述为“关于认知的认知”。2波利亚的元认知思想 虽然“元认知”概念提出较晚，但元认知思想已有悠久历史，古今中外的许多先哲均有所涉猎，在数学教育研究领域，波利亚则堪称提出解题元认知思想的第一人。如果从心理学的角度来欣赏，波利亚的数学解题理论堪称数学解题心理学的精品，特别是其中所蕴涵元认知思想更是令人叹为观止，拍案叫绝。 其实，“怎样解题表”本身就是一个完整的数学解题的元认知体系。解题表既给出了解题的程序 一种程序性知识，又给出了解题的策略 如何使解题效果更好的自我监控知识，它对解题

4、过程给出的“提示语”就是典型的元认知知识。对于“弄清题意”，波利亚认为：在解题过程中解题者常常会翻来覆去地在脑子里掂量着问题，试图使它看起来更简便，这可以问一下自己：“能重新表述一下这个问题，使之尽可能简单、有启发性吗?当然要使问题表述得更熟悉，更有吸引力，更接近于问题和更有希望解决。”这种对自己思维趋向的提示，是地道的元认知活动。至于具体如何重新表述，是把条件或结论变形，还是把整个问题变形?是把未知量或已知量变形，还是把2者同时都变形?这些具体的策略和方法属于知识和技能，更倾向于认知而不是元认知。“回到定义去”是波利亚的最强调、最常用的提示语，“把问题所给的因素返回到定义去考虑，使我们可以引

5、进某些新的因素，而这些新的因素转而又引出更多的新因素，如此继续下去，就可以把问题的思路进一步展开，这种展开往往能使我们更接近于问题的解。”对于“拟订计划”，波利亚用一系列的提示语来诱发一个“好念头”，作为解题的核心环节，这些起监控作用的提示语都是元认知知识。 波利亚提出的“目标意识”“看着未知数”，“盯着目标”也是一种元认知意识。波利亚指出：目标启示着手段，对目标的考虑可能会启发找到一个途径。考虑了目标，问题就一个接着一个出来了：这些提问引导了一条“倒退”的途径：如果能发觉了推出问题未知量的“已知量”，那就可以把这些“已知量”选做辅助问题的目标，就可以从后往前推了。波利亚还提出“接近度”解题思

6、路探索时与解题目标的接近程度的思想，“能不能把问题重新表述得使未知量和已知量、结论和假设看上去彼此更加接近呢?”这是一种解题的元认知体验，这种体验有利于调节解题的思维方向。 波利亚关于“对自己提出的猜想应该保持一种理智的态度(坚持或放弃)”的思想，也是一种元认知知识。不轻信所做的猜想，也不轻易改变自己的猜想。即使有足够的证据，猜想也需要论证；即使不能论证猜想，也不要轻言放弃；一旦发现证据不足需要改变猜想，就毫不犹豫做出决断。 对于“实施计划”，波利亚提出“对每一步演算和推理进行检验”，“补充细节”，“耐心检验每一步”，“能清楚地看出这一步是正确的吗”，“不要放过任何含糊之处”。这些也都是元认知

7、活动。 对于“回顾解题”，波利亚强调要通过对解题的回顾，达到“能一下子看出问题的解”。这是培养解题者的“题感”，实际是对问题的敏感，一种解题的元认知体验。 波利亚数学解题理论可谓充满了元认知思想，如果称其为数学解题元认知理论的创立人，那决不为过。3 解题的元认知体验和元认知监控解题的元认知，由主体的元认知结构和元认知监控组成。元认知结构的成分包括元认知知识和元认知体验。元认知知识有元认知特征知识，元认知任务知识，元认知策略知识和元认知评价知识。这里着重讨论解题的元认知体验和元认知监控。3.1 解题的元认知体验 所谓元认知体验，是伴随并从属于智力活动的有意识的认知体验或情感体验。所谓体验一般是没

8、有明确编码、甚至难以编码的信息，近似于通常所说的“感觉”、“意会”，像心理图像，隐约的类似，朦胧的情境，难以明言的预期等，这些都是认知体验。 对问题情境中各种因素及其之间关系和变化的敏感，属于元认知体验的范畴。这种敏感包括2方面： 一是，对问题情境中各种线索的敏感，这种敏感决定着对情境中有关信息的觉察与认知，如果不敏感就可能遗漏、忽略某些重要的信息，或者产生误解、偏差的认识。例如，需要利用乘法公式进行因式分解时，如果没有对公式结构的敏感，没有对各项指数关系的敏感，没有对幂的底数相同性的敏感，没有局部和整体关系的敏感，即使对乘法公式记忆得滚瓜烂熟，也不能有效运用乘法公式使问题得到解决。 二是，激

9、活和提取不同问题情境下相应策略的知识和经验的敏感，这种敏感影响着调控对策和方法的选取，如果缺乏这方面敏感就可能在问题情境和方法匹配上发生困难，难以激活、提取适当的方法策略，难以将一种具体问题情境下解决问题策略和方法迁移到其它问题情境中去。如果从学习数学解题的角度，这种“敏感”还应该包括“一种敏锐的题感，它使人在解题时能一下子抓住关键，单刀直入，立即深入问题的核心”。3.2解题的元认知监控 从波利亚数学解题元认知思想中，可以抽取出组成自我监控的几个主要因素：控制、监察、预见、调节和评价。它与一般的元认知监控的组成因素既有一致性，又有数学解题的自身特点。 (1)控制，即在解题过程中，对如何入手，如

10、何策划，如何构思，如何选择，如何组织，如何猜想，如何修正等做出基本计划和安排。对学习情境中的各种信息做出准确的知觉和分类，调动头脑中已有的相关知识，对有效信息做出迅速选择，以恰当的方式组织信息，选择解决问题的策略，安排学习步骤，控制自己的思维方向。关注解题的过程性和层次性，有意识地控制自己的解题节奏，对整个解题过程做到“心中有数”，明确地意识到自己所采取的每一个解题步骤的意图。 (2)监察，即监视和考察。在解题过程中，密切关注解题进程，保持良好的批判性，以高度的警觉审视解题每一历程问题的认识、策略的选取、前景的设想、概念的理解、定理的运用、形式的把握，用恰当的方式方法检查自己的猜想、推理、运算

11、和结论。 (3)预见，即在数学解题的整个过程，随时估计自己的处境，判断问题的性质，展望问题的前景。对数学问题的性质、特点和难度以及解题的基本策略和基本思维做出大致的估计、判断和选择；猜想问题的可能答案和可能采取的方法，并估计各方法的前景和成功的可能性等等，要设法使自己置身于一个最便于行动的位置上，处在一个最易于抓住问题的位置上。(4)调节，即根据监察的结果，根据对解题各方面的预见，及时调整解题进程，转换思考的策略，重新考虑已知条件、未知数或条件、假设和结论；对问题重新表述，以使其变得更加熟悉，更易于接近目标，如，“尽可能画一张图”，“引入适当的符号”，“回到定义去”。(5)评价，即以“理解性”

12、和“发展性”标准来认识自己解题的收获，自觉对问题的本质进行重新剖析，反思自己发现解题念头的经历，抽取解决问题的关键，总结解题过程的经验与教训，反思解题过程的成败得失及其原因；从思维策略的高度对解题过程进行总结，从中概括出一般性规律，概括出点点滴滴的新经验、新见解、新体会，以及对问题进行推广、深化，寻找新的解法、更好的解法，对解题过程或表述予以简化。评价应该贯穿于解题的始终，随时进行评价，而不仅仅是在解题后。4 解题元认知能力的培养4.1 善于运用波利亚的“提示语” 波利亚在他的解题理论著作中所给出的很多提示语，都是属于元认知的范畴。因而在解题时经常自觉地运用这些提示语，是提高解题元认知能力的有

13、效途径。正如波利亚指出，“表中的问题除了普遍性以外，它们也是自然的、简单的、显而易见的，来自于普通常识。这些问题总是劝告你去做此时你该去做的合乎情理的事，而对你正要解决的特定问题并没提出具体的劝告(这正是元认知知识)。”“如果问得是地方，是时候，就可能引出好的答案，引出正确的想法，或一个能够推动解题进程的合宜的步子。” 在解题教学中，教师为学生所能做的最大好事是通过比较自然的帮助，特别应当反复经常地提出这些提示语，促使他自己想出一个好念头。这样的指导，可以使学生找到使用各种提示语的正确方法。因为这些都是元认知知识，超越了具体对对象而实用于任何问题，从而学生就学到比任何具体数学知识更重要的东西。

14、4.2 善于提炼自己的“提示语”对善于解决问题而已经拥有这些常识的人来说，这些常识性提示语似乎很自然、很平凡、很不起眼，但是他们往往不注意用明确的语言来表达他的行动，而波利亚则以自己的明确意识，清晰地表达出这些观点。 因此，一方面需要学习运用波利亚的元认知监控的提示语，培养良好的解题元认知习惯，另一方面解题者还应当从自己的体验中提炼和总结自己在解题监控中的经验和体会，形成有自己风格的元认知监控的提示语。尽管个体从事的解决问题活动的实践千差万别，但“进行自我监控”却是从事各种解题活动时的一种共同特征，而且个体对不同类型解题活动进行自我监控的实质是相同的。因此，在任何一种解题活动中的自我监控都具有

15、广泛的迁移性，可以用于多种不同的实践活动上。这表明，数学解题活动的元认知知识和体验可以用于其它领域的解题活动之中，而其它领域解题活动的元认知知识和体验也可以用于数学解题活动之中。 元认知不仅来源和运用于文化知识的学习，还来自于游戏、体育及其它活动之中。例如学习打乒乓球，打球者要始终监控自己的每一个击球动作，从球的落点、方向、速度、高度、旋转等，及时判断该如何调整自己的击球动作，这样他的技术才会较快地提高。游戏中也包含了许多对自己活动监控、调整，因而包含了大量的元认知活动。重要的是找出关于处理各类问题所共有的特征来；找出与问题的主题无关的一般特征来。更为重要的是这些元认知活动是主体独立主动进行的，其所获得的元认知知识和体验，都是自己逐步感悟和摸索出来的，也就是自己建构起来的，这样才可能具有很强的迁移性，利于迁移