十章动量矩定理ppt课件

1、动力学动力学10-1 10-1 转动惯量转动惯量一、转动惯量的普通公式一、转动惯量的普通公式 2iilmJOxyzirlixiyizyihxihzihiMidmJ2l刚体对坐标轴的转动惯量刚体对坐标轴的转动惯量: : )z(ymhmJ2i2ii2xiix)x(zmhmJ2i2ii2yiiy)y(xmhmJ2i2ii2ziiz)JJ(J21)zy(xmrmJzyx2i2i2ii2ii0 xyzOimixiyir不计厚度的平面刚体不计厚度的平面刚体: : 2iixymJ 2iymxJ yx2i2iizJJ)y(xmJ第十章第十章 动量矩定理动量矩定理ab例例10-1： 知质量知质量m的匀质杆，杆长

2、为的匀质杆，杆长为l，求转动惯量，求转动惯量Jz回转半径回转半径2llmJ mJll即：即：dmxJ2zdxlmx2l02l2mml31zxdxdmxOl31l例例10-210-2：匀质平板如图示：匀质平板如图示, ,边长分别为边长分别为a,ba,b长度长度. .求求:(1):(1)对边的对边的转动惯量转动惯量,(2),(2)对平板角端的转动惯量。对平板角端的转动惯量。imOxy2am31Jiy22i2iyma31)am(31am31J2xmb31J )bm(a31JJJ22yxOzOxyR例例10-310-3：试计算半径为：试计算半径为R R的均质等厚圆板对于中心轴的转动惯量。的均质等厚圆板

3、对于中心轴的转动惯量。 dd2dm解：解：d2J2R00z243R0mR21R21d22ozyxmR41J21JJ例例10-410-4：试计算半径为：试计算半径为R R的均质圆柱体对于中心轴的转动惯量。的均质圆柱体对于中心轴的转动惯量。 xyzO2izRm21J im22i2izmR21)Rm(21Rm21J二、转动惯量的平行移轴公式二、转动惯量的平行移轴公式质心质心C C的坐标为的坐标为d,0,zCd,0,zC 任一质量元任一质量元dmdm的坐标为的坐标为x x、y y、z z xyOzOCCzddm222yx)dmy(xJ22zOxdm2ddmd)dmy(xdmyd)(xJ22222zCm

4、dmxxdmC2zzmdJJOC2zzmdJJCO转动惯量的平行移轴公式转动惯量的平行移轴公式zCxOzOC例例10-5： 匀质杆质量匀质杆质量m，杆长，杆长l，求转动惯量，求转动惯量JzC2zml31JO2zz)2lm(JJCO222zml121ml41ml31JCvmr)v(mMLOO定义：质点动量定义：质点动量 对对O点的矩点的矩vm质点动量对质点动量对 z 轴的矩轴的矩d)v(m)v(mMLzz设质点设质点A的动量为的动量为 ，对固定点的矢径为，对固定点的矢径为r。vmnnn222111OvmrvmrvmrL定义：定义：10-2 10-2 质点系的动量矩质点系的动量矩 OzAOLOzA

5、zAvmzrBvm abdiiivmr)v(mMiiOxyzOiMivdmQQrrriQirrrdtrddtrddtrdiQidtrdvviQi思索到质心公式思索到质心公式 dmrrmCdmvvmC和和)dmdtrdv ()rr ()dmvr (LQQO)dmdtrdr ()dmvr ()dmdtrdv (rQQQ)dmdtrdr ()dmvr ()dmvr (QQQQQCQL)vrm(prQCrmdmr其中其中)vrm(prLLQQCQOQ)vrm(prLLQQCQOQ1、Q点与质点系的质心点与质点系的质心C点重合：点重合： 讨论：讨论：0rQCprLLCCO质点系对任一固定参考点质点系对任

6、一固定参考点O O的动量矩，等于质点系相的动量矩，等于质点系相对于质心的动量矩与质心的动量对对于质心的动量矩与质心的动量对O O点之矩的矢量和点之矩的矢量和 2 2、当、当Q Q点与质心点与质心C C重合：重合： CLLO0p 3 3、当、当Q Q点为固定点点为固定点 ：prLLQOQ0vQ4 4、当、当 时时 ：QQCvr/0vrQQCprLLQOQ三、定轴转动刚体的动量矩：三、定轴转动刚体的动量矩： JdmrrdmvLz2zCJLCzCz作平面运动的刚体对任一固定点作平面运动的刚体对任一固定点O O的动量矩的动量矩 k)v(mMJprLLCzCzCCzOxyzOirivdmiM)rv(xy

7、RrCCvO例例10-610-6： 知半径为知半径为r r的均质轮，在半径为的均质轮，在半径为R R的固定凹面上的固定凹面上只滚不滑，轮重只滚不滑，轮重W W，均质杆，均质杆OCOC重重P P，杆长，杆长l l，在图示瞬时杆，在图示瞬时杆OCOC的角速度为的角速度为 ，求系统在该瞬时对，求系统在该瞬时对O O点的动量矩点的动量矩 lgp31J)(L2OOCO解：解：r)(RvgWJ)(LCCCCOr)(RgWrr)(RrgW21223r)r)(2R(R2gW3r)r)(2R(R2gWl3gp)(L)(LL2COOCOO10-3 10-3 质点系动量矩定理质点系动量矩定理一、质点系对固定点一、质

8、点系对固定点O O的动量矩定理的动量矩定理 iiiOvmrdtddtLddtvdmrvmdtrdiiiiiiiiiiiiamrvmv0vmviiiiieiiiiFFFamiOieOiiiieiiOMMFrFrdtLd0MiOieOiOMdtLd质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的一切外力对于同一点之矩的矢量和。用于质点系的一切外力对于同一点之矩的矢量和。 留意到：留意到：exixMdtdLeyiyMdtdLezizMdtdL投影方式：投影方式： 例例10-7A:10-7A:分量为分量为P P的物体绕的物体绕O O支座摆动支座摆

9、动, ,写出摆动周期写出摆动周期解解:Plsin)lgP(ldtd0lg gl2T Pl动量矩定理动量矩定理: :摆动方程摆动方程: :AvllgPlmvLAOxyPlOA例例10-7B: 10-7B: 将将O O支座处添加弹性系数支座处添加弹性系数k k的螺旋弹簧的螺旋弹簧, ,写出摆动周期写出摆动周期解解: sinPlklgP 202 gPlkPl g)kPl(PlT 22 摆动方程摆动方程: :xylPO例例10-8 知：半径为知：半径为r，滑轮重为，滑轮重为G，将其视为圆环。，将其视为圆环。A物重物重为为P，B物重为物重为Q，且，且PQ。 求：两重物的加速度及轮的角加速度。求：两重物的

10、加速度及轮的角加速度。ABO解：解：研讨对象为轮、物体研讨对象为轮、物体A A和和B B。分析受力，分析受力，rgGrvgQrvgPL2BAz运动分析运动分析QPxFyFGAvBviv对对O点运用动量矩定理点运用动量矩定理OiOMdtdLvrgGQPQrPrdtdvrgGQP得GQPQ)g(PdtdvaG)rQ(PQ)g(Pra二、质点系相对于质心的动量矩定理二、质点系相对于质心的动量矩定理 prLLCCOeiCCCCCCOFrpvdtLddtpdrpdtrddtLddtLd0vmvpvCCCeiCCOFrdtLddtLd eiieiCeiiCeiieiOFrFrF)rr (Fr)F(M又：又

11、：121=2eiiCFrdtLd eCieiiMFreCiCMdtLd质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系一切外力对质心之矩的矢量和。用于该质点系一切外力对质心之矩的矢量和。 ex ixMdtdLey iyMdtdL eCieiiMFr三、质点系动量矩守恒定律三、质点系动量矩守恒定律 t dMLdeOiOdtMLdeOittOLL212O1OdtMLLeOittOO2112动量矩定理的积分方式动量矩定理的积分方式 质点系对固定点质点系对固定点O O的动量矩在一段时间内的增量，等于作的动量矩在一段时间内的增量，等于作用于质点系的外力在同一时

12、间段内对用于质点系的外力在同一时间段内对O O点的冲量矩之和。点的冲量矩之和。 1、0MeOi常量OL0Mexi2、常量xL质点系动量矩守恒质点系动量矩守恒动量矩守衡定理实例动量矩守衡定理实例冰上芭蕾冰上芭蕾,M00 cL0 ,cLx1,Mx0 1J1 2J2 1 J1= 2 J2 J1 J2, 1 J2, 1 PBr2.2B1Arv ,rv)r(gmgmmaF1111AA动量矩动量矩:外力矩外力矩:动量矩定理动量矩定理:运动学关系运动学关系:解得解得:质点定理质点定理:BA2yFFgmFvAvBAm1vAFAm1BvBFB0 xFFxFyAm1m1Bm2r1r20 FxFy例例10-1310

13、-13：齿轮传动安装，开场时角速度分别为：齿轮传动安装，开场时角速度分别为0101，0202，重分别为，重分别为P1P1，P2P2，求耦合后的，求耦合后的1 1值。值。解解:t01211dtFRdR2gP101t02222dtFRdR2gP2022211RR)(2gPR)(2gPR0222201111121022201111)RP（PPRPR左轮左轮:右轮右轮:运动学关系运动学关系:方程右端化简相等方程右端化简相等:有有: 1R1 2R2 02 01R1R2FNFFFN12111FRdtdR2gPdtdJ例例10-14：知：自动轮：知：自动轮A的半径为的半径为r1，转动惯量为，转动惯量为J1

14、，转动力矩，转动力矩为为M ，从动轮，从动轮B的半径为的半径为r2，转动惯量为，转动惯量为J2，均质胶带长为，均质胶带长为l，质量为质量为m。求：自动轮的角加速度求：自动轮的角加速度解：解： 1. 受力分析，设受力分析，设A轮和轮和B轮的皮带长分轮的皮带长分别为别为l1、l2，单位长度胶带的质量为，单位长度胶带的质量为，2. 运动分析：设轮运动分析：设轮A和轮和轮B的角速度和的角速度和角加速度分别为角加速度分别为 1、 2、a1、a2 。122121rr有有BxFByFgmBgl21T2TgmAgl11T2TAxFAyF分别对分别对A A轮和轮和B B轮用动量矩定理：轮用动量矩定理：对对A A

15、： 211111ArlJL112A)rT(TMtddL222222BrlJL对对B B： 212B)rTT(dtdL(2)rTT()rl(J(1)rT(TM)rl(J2122222211212111联立联立未知量未知量121221TTTT、BxFByFgmBgl21T2TgmAgl11T2TAxFAyF1122TTTT由于由于2211rr(3)(4)将将(3)(4)(3)(4)代入代入(2) (2) 2121212222)rT(Trr)rl(J(5)由由 )5(1) 1 (121rr212221111212122211mrJrrJMM)rl(lJrrJ其中其中mll)(2110-5 10-5

16、刚体平面运动的微分方程刚体平面运动的微分方程SyzxyzxSac iCFamciCMdtLdxiCxFmayiCyFmaiCMdtdLJLCCxiCCcxFxmma yiCCyFymma CiCCMJJ 刚体平面运动的微分方程刚体平面运动的微分方程例例10-15：均匀圆盘沿斜坡滚下，知盘重：均匀圆盘沿斜坡滚下，知盘重P，半径，半径 r, 求：求：下滚时盘质心的加速度与摩擦力。下滚时盘质心的加速度与摩擦力。FmgsinamamaccxFrJCmarmsinmgmacc21rsing3232singacsinPF3解解:NcyFmgcos0mamrJ,arcc221有有:得得: CPCayx FN

17、F例例10-16：杆：杆OA长长l，重，重P。可绕过。可绕过O点的程度轴转动，点的程度轴转动，A端铰接端铰接一半径为一半径为R、重为、重为Q的均质圆盘，初瞬时的均质圆盘，初瞬时OA杆处于程度位置，杆处于程度位置，系统静止。略去各处摩擦，求系统静止。略去各处摩擦，求OA杆转到恣意位置用杆转到恣意位置用角表示角表示时的角速度时的角速度及角加速度及角加速度a。解：受力分析解：受力分析由圆轮受力图由圆轮受力图因此因此 00，圆盘在运动过程中作平移，圆盘在运动过程中作平移运动分析运动分析xFyFQPQOxFOyF整体对整体对O O点运用动量矩定理点运用动量矩定理zizMdLdt求求OA杆的角加速度杆的角

18、加速度a2220333lgQPlgQlgPLcosQlcoslPlgQP2332coslQP22 JAa0cos2332lgQPQP由上式解出由上式解出coslgQPQPt2332dd求求OA杆的角速度杆的角速度wPQOxFOyF分别变量分别变量 ddcoslgQPQP2332coslgQPQPddtdddd2332dcos2332d00lgQPQP积分积分sin332lgQPQP得得 当瞬心离质心矩离是常数，或瞬心的加速度恒当瞬心离质心矩离是常数，或瞬心的加速度恒指向质心时也可以选瞬心为动量矩的矩心。指向质心时也可以选瞬心为动量矩的矩心。IIMdtdL例例1:例例2:vBvCvAAAB BI

19、vDDCCvI例例10-1710-17： 定齿轮固定在程度面上，分量为定齿轮固定在程度面上，分量为P P的杆绕的杆绕O O点转动，杆点转动，杆长长l l，并经过，并经过O1O1，带动半径，带动半径r r，重为，重为P1P1的动齿轮转动的动齿轮转动, ,知：自动力知：自动力偶为偶为M M。求动齿轮的角加速度，两个齿轮之间的切向力。求动齿轮的角加速度，两个齿轮之间的切向力。解解:lFMlgP023rFPr101232rl001lr)PP(Mg101926l )PP(MPF11923FrJOO11杆对杆对0取动量矩取动量矩:轮对轮对A取动量矩取动量矩:运动学关系运动学关系:有有:轮对质心取动量矩轮对

20、质心取动量矩:001l600M 00600MFnFFNFFxFyFn01 01F A例例10-18：均匀圆盘分量均为：均匀圆盘分量均为P，半径均为，半径均为r。求：。求：B物体物体滚下时质心的加速度与绳子张力。滚下时质心的加速度与绳子张力。FrJAAFrJBBFPagPBBA BBAarrBBrgPPgPr212rgB52解解:gaB54PF51加速度加速度:绳子张力绳子张力:ABPPBBFFaBAA例例10-1910-19：均质鼓轮放置粗糙的地面上，在半径为：均质鼓轮放置粗糙的地面上，在半径为r r 的轴柱上的轴柱上绕着绳索，索的拉力为绕着绳索，索的拉力为F1F1，F2F2。求：轮的角加速度

21、，摩擦力。求：轮的角加速度，摩擦力。解解:maFFF12FRrFrFJ210Ra )rR(F)Rr(FJI21)s(ggJPR)rR(F)RrF2022111（RJrFFF0210:x:或或:运动学关系运动学关系:得得:RF2F10IFNF a例例10-2010-20：一根筷子在光滑地面上，开场时手拿着如图示位：一根筷子在光滑地面上，开场时手拿着如图示位置，然后松手置，然后松手, ,求：筷子此时的角加速度和地面的正压力。求：筷子此时的角加速度和地面的正压力。解解:122lmJC)(sinlsing3122P)(sinF31312sinlFJc2FmgmaCsinlaaCyC2PF ，0PF52

22、45，条件条件:1. aCx=0Y方向投影方向投影:c:y:xyP Fl/2l/2ac AaACAACaaa2. t=0, w=0。例例10-2110-21：截面为：截面为A A的水管约束如图，单位时间内流过管的水管约束如图，单位时间内流过管道的水体质量为道的水体质量为m m，求：，求：A A，B B支座的动反力。支座的动反力。解解:ezMdtdLgAvmbFmva)cb(sinmvcosmvB动 45045gba)cb(ArvFB2222动动AxFmvcosmv:x45)(vgAFAx1222动)FF(sinmv:yBAy动动45222vgAFFBAy动动FB动动FAx动动FAy动动mdtva)cb(s