10数论问题的常用方法（教师版）

1、 数论问题的常用方法数论是研究数的性质的一门科学，它与中学数学教育有密切的联系。数论问题解法灵活，题型丰富，它是中学数学竞赛试题的源泉之一。下面介绍数论试题的常用方法.1.基本原理为了使用方便，我们将数论中的一些概念和结论摘录如下：我们用表示个整数,的最大公约数。用,表示,的最小公倍数。对于实数，用表示不超过的最大整数，用=-表示的小数部分。对于整数,若，则称关于模同余，记为。对于正整数，用表示1，2，中与互质的整数的个数，并称为欧拉函数。对于正整数，若整数中任何两个数对模均不同余，则称为模的一个完全剩余系；若整数中每一个数都与互质，且其中任何两个数关于模不同余，则称为模的简化剩余系。定理1设

2、的最大公约数为，则存在整数，使得.定理2 （1）若，2，则；（2）若，则；（3）若，且，则；（4）若（），M=，则（）.定理3 （1）；（2）；（3）设为素数，则在质因数分解中，的指数为.定理4 （1）若是模的完全剩余系，则也是模的完全剩余系；（2）若是模的简化剩余系，则是模的简化剩余系.定理5（1）若，则.(2) 若的标准分解式为，其中为正整数，为互不相同的素数，则.对于以上结论的证明，有兴趣的读者可查阅初等数论教材.2 方法解读对于数论试题，除直接运用数论的基本原理外，常用的基本方法还有因式（因数）分解法，配对法，分组法，估值法，同余方法，构造法，调整法，数学归纳法与反证法.下面分别予以说

3、明2.1基本原理的应用例1 设正整数，的最大公约数为1，并且（1）证明：是一个完全平方数.证 设,其中.由于，故有.由（1）得（2）由（2）知，又，.同理可证，从而有，设，为正整数，代入（2）得 （3）由（3）知，又，.故是一个完全平方数.例2 设为大于1的奇数，为给定的个整数.对于的任一排列，记，试证存在的两个不同的排列B、C，使得.证 假设对于任意两个不同的排列B、C，均有不整除.令X为的所有排列构成的集合，则为模的一个完全剩余系，从而有 （1） 又= （2）而为大于1的奇数，所以由（1），（2）得.又，所以，矛盾.这个矛盾表明必存在B、C，BC，使得.2.2 因式（数）分解数论中许多问题

4、直接与因式（数）分解相关联，如合数问题，整除问题等常常是要证明某种分解式的存在.数的标准分解式本身就是一种特定形式的因数分解.在不定方程的求解与一些代数式的求值中，因式（数）分解能帮助我们确定某些变量的取值范围，寻找到解题的方法.例2 求三个素数，使得它们的积为和的5倍.解 采用分析中的记号，易知，中必有一个为5，不妨设，则有，从而有.因为与均为正整数，不妨设，则有 或 ，从而知，.故所求的三个素数为2，5，7.2.3配对 例4 设为正奇数，证明：整除.分析 因为.故需证，注意到当为奇数时，可因式分解，因此可将中的个数两两配对.证 =，而当为奇数时，从而知 （1） 又=， （2）由（1）（2）

5、知，故结论成立.2.4 分组例5 （1990年高中联赛试题）设，且具有下列性质：（1） 对任何，；（2） .试证：中的奇数的个数是4的倍数，且中所有数的平方和是一定数.证 对于，令，.，则中恰含中的一个元素.设中有个奇数，有个偶数，这里=.由题设知，10080=+ =2+ =. （1）由于为偶数，所以，又，所以，即是4的倍数.=+=+=+ （2）将（1）代入（2）得=1349380.2.5估值例6 令表示前个质数之和，即，,证明：对任意的正整数，区间中包含有一个完全平方数.分析 设质数从小到大依次为，要结论成立，只要存在正整数，使得，只要 ，只要 ，只要 ，只要 只要 （1） 证 直接验证易知

6、，中都含有1个完全平方数.当时，我们证明（1）式成立.为此，令，则=.因为当时，为奇数，所以，=，故当时，数列为递增数列.由于=32>所以当时，.故当时（1）式成立.例7 求出不定方程 （1）的全部正整数解.解 当时，易得；当时，（1）式左边为偶数，故右边也是偶数，所以为奇数.当时，由，得.当时，由，得.当且为奇数时，故，即，因此，所以.另一方面，由二项式定理知=A（+.其中A为整数，所以，故，因此，从而有.这说明当时，方程（1）无解，故方程（1）的解为，2.6同余 例8 证明能被1984整除.证 993=，.例9 用数码1，2，3，4，5，6，7 排成7位数，每个数码恰用一次，证明：这

7、些7位数中没有一个是另一个的倍数.证 若有两个7位数，使得 （1）由于，均是由1，2，.,7所排成，故由（1）得，即，这与矛盾，故结论成立.2.7构造 例10 若一个正整数的标准分解中，每个素约数的幂次都大于1，则称它为幂数，证明：存在无穷多个互不相同的正整数，它们及它们中任意多个不同数的和都不是幂数.证 将全体素数从小到大依次记为，.令，当时，下证 ，满足要求.事实上，但，所以不是幂数.又对于，=，其中A为正整数.因为，所以在的标准分解中的幂次为1，因而不是幂数.例11 设中质数的个数为，为正整数且，求证必有个连续正整数，其中恰有个质数.证 令，并令为中质数的个数，则易知，. 对于，显然有，

8、所以对于，必存在一个，使得，从而中的个连续整数满足要求.2.9 数学归纳法例12 设是正整数，求证：. 证 令.因为，所以，假设，那么对于，因为，所以要证，只需证，即只需证明.为此，令.显然有，假设，由于，由归纳法原理知对一切，有，从而有，再由归纳法原理知，对于正整数，有.2.10反证法例13 试证方程 （1）无正整数解.分析 若（）为（1）的一组解，则为偶数，令，则有，从而知为偶数，再令，代入上式得，从而知为偶数，再令，代入上式得，因此也是方程（1）的解.这样由方程（1）的一组正整数解必可得到另一组正整数解，且.因此，若开始取得的正整数解使得达到最小，则这种下降不可能进行.证 反证法. 若方程（1）存在正整数解，设是使得达到最小的正整数解，那么依分析的过程知必可得到方程（1）的一组