二次求导问题

1、北京华罗庚学校 为全国学生提供优质教育二次求导问题导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现利用二次求导求函数的单调性典例若函数f(x)，0<x1<x2<. 设af(x1)，bf(x2)，试比较a，b的大小思路点拨此题可联想到研究函数f(x)在(0，)的单调性函数图象虽然可以直观地反映出两个变量之间的变化规律，但大多数复合的函数作图困难较大导数的建立拓展了应用图象解题的空间导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供了简单、程序化的方法，具有很强的可操作

2、性当f(x)>0时，函数f(x)单调递增；当f(x)<0时，函数f(x)单调递减方法演示解：由f(x)，得f(x)，设g(x)xcos xsin x，则g(x)xsin xcos xcos xxsin x.0<x<，g(x)<0，即函数g(x)在(0，)上是减函数g(x)<g(0)0，因此f(x)<0，故函数f(x)在(0，)是减函数，当0<x1<x2<，有f(x1)>f(x2)，即a>b.解题师说从本题解答来看，为了得到f(x)的单调性，须判断f(x)的符号，而f(x)的分母为正，只需判断分子xcos xsin x的符号

3、，但很难直接判断，故可通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题应用体验1已知函数f(x)满足f(x)f(1)ex1f(0)xx2，求f(x)的解析式及单调区间解：因为f(x)f(1)ex1f(0)xx2，所以f(x)f(1)ex1f(0)x.令x1，得f(0)1. 所以f(x)f(1)ex1xx2，所以f(0)f(1)e11，解得f(1)e.所以f(x)exxx2. 设g(x)f(x)ex1x，则g(x)ex1>0，所以yg(x)在R上单调递增因为f(0)0，所以f(x)>0f(0)x>0，f(x)<0f(0)x<0.所以f(x)的解析式为f(x)ex

4、xx2，且单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0).利用二次求导求函数的极值或参数的范围典例(理)已知函数f(x)ln(ax1)x3x2ax.(1)若x为yf(x)的极值点，求实数a的值；(2)若yf(x)在1，)上为增函数，求实数a的取值范围；(3)若a1时，方程f(1x)(1x)3有实根，求实数b的取值范围方法演示解：(1)f(x)3x22xa. 由题意，知f0，所以a0，解得a0.当a0时，f(x)x(3x2)，从而x为yf(x)的极值点(2)因为f(x)在1，)上为增函数，所以f(x)3x22xa0在1，)上恒成立当a0时，f(x)x(3x2)，此时f(x)在1，)上为增函数恒成

5、立，故a0符合题意；当a0时，由ax1>0对x>1恒成立，知a>0.所以3ax2(32a)x(a22)0对x1，)恒成立令g(x)3ax2(32a)x(a22)，其对称轴为x，因为a>0，所以<，所以g(x)在1，)上为增函数，所以只需g(1)0即可，即a2a10，解得0<a.综上，实数a的取值范围为.(3)由已知得，x>0，bx(ln xxx2)xln xx2x3.令g(x)xln xx2x3，则g(x)ln x12x3x2.令h(x)g(x)，则h(x)26x.当0<x<时，h(x)>0，函数h(x)g(x)在上递增；当x>

6、时，h(x)<0，函数h(x)g(x)在上递减又g(1)0，存在x0，使得g(x0)0.当0<x<x0时，g(x)<0，函数g(x)在(0，x0)上递减；当x0<x<1时，g(x)>0，函数g(x)在(x0,1)上递增；当x>1时，g(x)<0，函数g(x)在(1，)上递减又当x时，g(x).又g(x)xln xx2x3x(ln xxx2)x，当x0时，ln x<0，则g(x)<0，且g(1)0，b的取值范围为(，0解题师说本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b的范围问题，实际上是求g(x)x(ln

7、xxx2)极值问题，问题是g(x)ln x12x3x20这个方程求解不易，这时我们可以尝试对h(x)g(x)再一次求导并解决问题所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法(文)已知函数f(x)exxln x，g(x)extx2x，tR，其中e为自然对数的底数(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若g(x)f(x)对任意的x(0，)恒成立，求t的取值范围方法演示解：(1)由f(x)exxln x，知f(x)eln x1，则f(1)e1，而f(1)e，则所求切线方程为ye(e1)(x1)，即y(e1)x1.(2)f(x)exxln x，g(x)

8、extx2x，tR，g(x)f(x)对任意的x(0，)恒成立等价于extx2xexxln x0对任意的x(0，)恒成立，即t对任意的x(0，)恒成立令F(x)，则F(x)，令G(x)exeln x，则G(x)ex0对任意的x(0，)恒成立G(x)exeln x在(0，)上单调递增，且G(1)0，当x(0,1)时，G(x)0，当x(1，)时，G(x)0，即当x(0,1)时，F(x)0，当x(1，)时，F(x)0，F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，F(x)F(1)1，t1，即t的取值范围是(，1解题师说本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(2)问要求参数t的范围问题

9、，实际上是求F(x)极值问题，问题是F(x)exeln x这个方程求解不易，这时我们可以尝试对G(x)F(x)再一次求导并解决问题所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法应用体验2设kR，函数f(x)ex(1xkx2)(x>0)(1)若k1，求函数f(x)的导函数f(x)的极小值；(2)若对任意的t>0，存在s>0，使得当x(0，s)时，都有f(x)<tx2，求实数k的取值范围解：(1)当k1时，函数f(x)ex(1xx2)，则f(x)的导数f(x)ex(12x)，令g(x)f(x)，则g(x)ex2，当0<x<ln 2时，g(

10、x)<0；当x>ln 2时，g(x)>0，从而f(x)在(0，ln 2)上递减，在(ln 2，)上递增故导数f(x)的极小值为f(ln 2)12ln 2.(2)对任意的t>0，记函数F(x)f(x)tx2ex1x(kt)x2，x>0，根据题意，存在s>0，使得当x(0，s)时，F(x)<0. 易得F(x)的导数F(x)ex12(kt)x，令h(x)F(x)，则h(x)ex2(kt)若h(x)0，注意到h(x)在(0，s)上递增，故当x(0，s)时，h(x)>h(0)0，于是F(x)在(0，s)上递增，则当x(0，s)时，F(x)>F(0)0

11、，从而F(x)在(0，s)上递增故当x(0，s)时，F(x)>F(0)0，与已知矛盾；若h(x)<0，因为h(x)在(0，s)上连续且递增，故存在s>0，使得当x(0，s)，h(x)<0，从而F(x)在(0，s)上递减，于是当x(0，s)时，F(x)<F(0)0，因此F(x)在(0，s)上递减故当x(0，s)时，F(x)<F(0)0，满足已知条件综上所述，对任意的t>0，都有h(x)<0，所以12(kt)<0，即k>t，故实数k的取值范围为.利用二次求导证明不等式典例证明当x>0时，sin x>x.方法演示证明：令f(x)

12、sin xx，则f(x)cos x1，所以f (x)sin xx.易知当x>0时，sin x<x，所以在(0，)上f(x)>0，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(0)0，所以在(0，)有f(x)>f(0)0，所以f(x)在(0，)上单调递增故当x>0时，f(x)sin xx>f(0)0. 所以sin x>x(x>0)解题师说本题是应用导数证明不等式证明的关键在于构造适当的函数，然后在相应区间上用二次求导的方法判定导数的符号，得到导函数的单调性，再利用单调性证明不等式应用体验3(2018·西安八校联考)已知函数f(x)mexln x1

13、.(1)当m0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当m1时，证明：f(x)>1.解：(1)当m0时，f(x)ln x1，则f(x)，所以f(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(1)(x1)，即xy0.(2)证明：当m1时，f(x)mexln x1exln x1.要证f(x)>1，只需证exln x2>0. 设g(x)exln x2，则g(x)ex.设h(x)ex，则h(x)ex>0. 所以函数h(x)g(x)ex在(0，)上单调递增因为ge2<0，g(1)e1>0，所以函数g(x)ex在(0，)上有

14、唯一零点x0，且x0. 因为g(x0)0，所以ex0，即ln x0x0.当x(0，x0)时，g(x)<0；当x(x0，)时，g(x)>0，所以当xx0时，g(x)取得极小值也是最小值g(x0)故g(x)g(x0)ex0ln x02x02>0.综上可知，当m1时，f(x)>1.1(理)对任意实数x，证明不等式1xln(x).证明：设f(x)1xln(x)，f(x)ln(x)ln(x)，设h(x)f(x)，则h(x)>0，所以f(x)在(，)上是增函数由f(x)0，即ln(x)0，得x0.所以当x<0时，f(x)<0，则f(x)在(，0)上为减函数；当x&

15、gt;0时，f(x)>0，则f(x)在(0，)上为增函数故f(x)在x0处有极小值，所以f(x)f(0)0，即1xln(x).(文)已知函数f(x)(x1)ln xax，当x0(1，)时，函数f(x)的图象在点(x0，f(x0)处的切线方程为yxe.(1)求a的值；(2)求证：函数f(x)在定义域内单调递增解：(1)由题意，得f(x)ln x1a，所以函数f(x)的图象在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，即y(x01)ln x0ax0(xx0)，即yxln x0x01，所以令g(x)xln x1，则g(x)1，当x(1，)时，g(x)0，故当x(1，)时

16、，g(x)单调递增又因为g(e)e，所以x0e，将x0e代入ln x01a，得a2.(2)证明：由a2，得f(x)ln x1(x>0)令h(x)ln x，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0，故当x(0,1)时，h(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)单调递增，故h(x)h(1)1.因此当x(0，)时，f(x)h(x)10，当且仅当x1时，f(x)0.所以f(x)在定义域内单调递增2已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值解：由f(x)exax

17、2bx1，得g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当<a<时，令g(x)0，得xln 2a(0,1)当g(x)<0时，0x<ln 2a；当g(x)>0时，ln 2a<x1，所以函数g(x)在区间0，ln 2a)上单调递减，在区间(ln 2a,1上单调递增，于是g(x)在0,1上的最小值是g(ln 2a)2a

18、2aln 2ab.综上所述，当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当<a<时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln 2a)2a2aln 2ab；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.3已知函数F(x)exsin xax，当x0时，函数yF(x)的图象恒在yF(x)的图象上方，求实数a的取值范围解：设(x)F(x)F(x)exex2sin x2ax. 则(x)exex2cos x2a.设S(x)(x)exex2sin x.S(x)exex2cos x0在x0时恒成立，函数S(x)在0，)上单调递增，S(x)S(0)0在x0，)时恒成立，因此函数(x)在0，)上单调递增，(x)(0)42a在x0，)时恒成立当a2时，(x)0，(x)在0，)单调递增，即(x)(0)0. 故a2时F(x)F(x)恒成立当a>2时，(x)<0，又(x)在0，)单调递增，存在x0(0，)，使得在区间0，x0)上(x)<0. 则(x)在0，