第八章 圆锥曲线的方程

1、第八章 圆锥曲线的方程网络体系总览考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.复习方略指南圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的

2、知识；4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.8.1 椭圆知识梳理定义1.到两个定点F1、F2的距离之和等于定长（|F1F2|）的点的轨迹2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（0，1）的点的轨迹3.参数方程方程1. +=1（ab0），c=，焦点是F1（c，0），F2（c，0）2.+=1（ab0），c=，焦点是F1（0，c），F2（0，c）x=acos，为参数 y=bsin 性质E：+=1（ab0）1.范围：|x|a，|y|b2.对称性：关于x，y轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点

3、A1（a，0），A2（a，0）；短轴端点B1（0，b），B2（0，b）4.离心率：e=（0，1）5.准线：l1：x=，l2：x=6.焦半径：P（x，y）Er1=|PF1|=a+ex，r2=|PF2|=aex思考讨论 对于焦点在y轴上的椭圆+=1（ab0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？点击双基1. （2007北京文4）椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）解析：椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则，该椭圆离心率e，取值范围是。答案：D2. （2007江西理9文12）设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）必在圆内必在圆上必在圆

4、外以上三种情形都有可能解析：由=得a=2c，b=，所以，所以点到圆心（0，0）的距离为，所以点P在圆内.答案：A3.椭圆（为参数）的焦点坐标为 x=4+5cos，y=3sin A.（0，0），（0，8） B.（0，0），（8，0）C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）解析：消参数得椭圆+=1，c=4.易得焦点（0，0），（8，0）.答案：D4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.解析：椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上，则2，即k0，0k0，n0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m

5、+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）0，即m+nmn0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦长公式得2=（）2，将m+n=2代入，得mn=. 或解得 m=， m=，n= n=. 椭圆方程为+y2=1或x2+=1.8.（2006年福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：（I）圆过点O、F，圆心M在直

6、线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为探究创新9.已知常数a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a， O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且=，P为GE与OF的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.分析：根据题设条件首先求出P点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A（2，0），B（2，0），C（2，

7、4a），D（2，4a）.设=k（0k1），由此有E（2，4ak），F（24k，4a），G（2，4a4ak）.直线OF的方程为2ax+（2k1）y=0. 直线GE的方程为a（2k1）x+y2a=0. 由消去参数k，得点P（x，y）满足方程2a2x2+y22ay=0.整理得+=1.当a2=时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a2时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a2时，点P到椭圆两个焦点（，a），（，a）的距离之和为定值.当a2时，点P到椭圆两个焦点（0，a），（0，a+）的距离之和为定值2a.评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性

8、质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.2.要明确参数a、b、c、e的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a，=e；（2）|A1F1|=|A2F2|=ac，|A1F2|=|A2F1|=a+c；（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；（4）|F1K1|=|F2K2|=

9、p=，|PM2|+|PM1|=.教学点睛本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2（如下图），它的三边长分别为a、b、c.易见c2=a2b2，且若记OF1B2=，则cos=e.（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如

10、上述的OF1B2、公式cos=e等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有ab0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A、B、C同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即

11、正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.拓展题例【例1】（2006年全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（）点M的轨迹方程；（）的最小值。解：（I）根据题意，椭圆半焦距长为，半长轴长为，半短轴长，即椭圆的方程为。 设点P坐标为（，）（其中），则切线C的方程为：点A坐标为：（，0），点B坐标为（0，），点M坐标为：（，）所以点M的轨迹方程为：（且）（II）等价于求函数（其中）的最小值当时等号成立，此时即。因此，点M坐标为（，）时，所求最小值为。【例2】（2007四川理20）设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动