第2章 2.4 二项分布

1、教育精选2.4二项分布1理解n次独立重复试验的模型及二项分布(重点)2能利用二项分布解决一些简单的实际问题(难点)基础·初探教材整理二项分布阅读教材P63P64“例1”以上部分，完成下列问题1n次独立重复试验(1)定义：一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)p>0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验(2)概率计算：在n次独立重复试验中，如果每次试验事件A发生的概率均为p(0<p<1)，那么在这n次试验中，事件A恰好发生k次的概率Pn(k)Cpkqnk，k0,1,2，n.2二项分

2、布若随机变量X的分布列为P(Xk)Cpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p)1独立重复试验满足的条件是_(填序号)每次试验之间是相互独立的；每次试验只有发生和不发生两种情况；每次试验中发生的机会是相同；每次试验发生的事件是互斥的【解析】由n次独立重复试验的定义知正确【答案】2一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为_【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率为，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为PC2.【答案】3已知随机变量X服从二项分布，XB，则P(X2)等于_. 【导学号：29440050】【解析】P(X2)

3、C42.【答案】质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型独立重复试验中的概率问题(1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：他三次都击中目标的概率是0.93；他第三次击中目标的概率是0.9；他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1；他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.其中正确结论的序号是_(把正确结论的序号都填上)(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到

4、小数点后面第2位)：5次预报中恰有2次准确的概率；5次预报中至少有2次准确的概率；5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率【精彩点拨】先判断“射击手连续射击3次”能否看成，“一次射击”试验重复做了三次，同样，气象站5次预报准确与否也可看成是5次独立重复的试验，结合二项分布求概率【自主解答】(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是.【答案】(2)记预报一次准确为事件A，则P(A)0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为PC×0.82×0.230.051 20.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.“5次预报中至少有2次准确”

5、的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为PC×(0.2)5C×0.8×0.240.006 720.01.所以所求概率为1P10.010.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.说明第1,2,4,5次中恰有1次准确所以概率为PC×0.8×0.23×0.80.02 0480.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验2分拆：判断所求事件是否需要分拆3计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率

6、公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算再练一题1(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为_(2)在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为_【解析】(1)“甲获胜”分两类：甲连胜两局；前两局中甲胜一局，并胜最后一局即P2C×××.(2)由题意知，Cp0(1p)41，p.【答案】(1)(2)二项分布一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)求这名学生在途中遇到红灯的

7、次数的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列【精彩点拨】(1)首先判断是否服从二项分布，再求分布列(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确的取值再求取各值的概率【自主解答】(1)B，的分布列为P(k)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.(2)的分布列为P(k)P(前k个是绿灯，第k1个是红灯)k·，k0,1,2,3,4；P(5)P(5个均为绿灯)5.故的分布列为012345P1本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清XB(n，p)中的试验次数n与成功概率p.2解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,

8、1,2，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次再练一题2在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题设4名考生选做每道题的可能性均为，且各人的选择相互之间没有影响(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为名，求的分布列【解】(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB”，且事件A，B相互独立

9、P(AB)P(A)P(B)P()P()××.(2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且B.P(k)Ck4kC4(k0,1,2,3,4)随机变量的分布列为01234P探究共研型独立重复试验与二项分布综合应用探究1王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？【提示】做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n1的二项分布探究2王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】服从二项分布因为每道题

10、都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布探究3王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】不服从二项分布因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分

11、布甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分(1)求随机变量的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)【精彩点拨】(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以服从二项分布，其中n3，p；(2)AB表示事件A、B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分【自主解答】(1)由题意知，的可能取值为0,1,2,3，且p(0)C3，P(

12、1)C2，P(2)C2，P(3)C3.所以的分布列为0123P(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以ABCD，且C，D互斥，又P(C)C2，P(D)C3，由互斥事件的概率公式得P(AB)P(C)P(D).对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是AB还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.再练一题3为拉动经济增长，某市决定

13、新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列【解】记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，用P(Ai)，P(Bj)，P(Ck).(1)他们选择的项目所属类别互

14、不相同的概率P3! P(A1B2C3)6P(A1)P(B2)P(C3)6×××.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知，B，且3，所以P(0)P(3)C3，P(1)P(2)C2，P(2)P(1)C2，P(3)P(0)C3.故的分布列是0123p法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)P(AiCi)P(Ai)P(Ci)，所以B，即P(k)Ck3k，k0,1,2,3.故的分布列是0123p构建·体系1已知YB，则P(Y4)_.【解析】由YB可

15、知，P(Y4)C4×2.【答案】2小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_【解析】P(X1)C12.【答案】3下列说法正确的是_(填序号)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且XB(10,0.6)；某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且XB(8，p)；从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且XB.【解析】显然满足独立重复试验的条件，而虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义【答案】4设XB(4，p)，且P(X2)，那么一次试验成功的概率p等于_. 【导学号：29440051】【解析】P(X2)Cp2(1p)2，即p2(1p)22·2，解得p或p.【答案】或5甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰