增分点7利用导数“三招”破解不等式恒成立问题

1、小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语增分点 / 利用导数“三招”破解不等式恒成立问题不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问 题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向.rmfl利用单调性或最值求解典例(2017 全国卷川) )已知函数 f(x)= x 1 aln x.若 f(x) 0，求 a 的值；设 m 为整数，且对于任意正整数 n, 1 + 2 -1 + p 1 +空m,求 m 的最小值.方法演示解：(1)f(x)的定义域为(0,+).若 a 0,因为

2、 f 2 = 2+ aln 20,由 f (x)= 1 -=知，当 x (0, a)时，f (x)0.所以 f(x)在(0, a)上单调递减，在( (a,+s)上单调递增.故 x=a 是 f(x)在(0,+s)的唯一最小值点.由于 f(1) = 0，所以当且仅当 a = 1 时，f(x) 0.故 a = 1.(2)由(1)知当 x (1, +)时，x 1 In x0.令x=1+卡,得 In 1 +1寺从而 In 1 + 2 + In 1 + 2 + + In 1 +寺* + 2 + +寺=1 寺寺1 时,x 1 In x0.令 x = 1+1，换元后可求出1 +1+寺寺 +窃 的范围.应用体验

3、小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语11.已知函数 f(x)= (2 a)ln x + 一 + 2ax.(1) 当 a= 2 时，求函数 f(x)的极值；(2) 当 av0 时，讨论 f(x)的单调性；(3) 若对任意的 a ( 3, 2), xi,XQG1,3恒有(m+ In 3) a 2ln 3 |f(x。心訓成立,求实数 m 的取值范围.解：函数 f(x)的定义域为(0,+),1 1当 a = 2 时，函数 f(x)= - + 4x,所以 f (x) = 2+ 4.由 f (x)0，

4、得 x 1, f(x)在 1, +a上单调递增；由 f (x)v0,得 Ovxv2 , f(x)在 o ,1上单调递减，所以函数 f(x)在 x= 1 处取得极小值 f斶卜 4,无极大值.2 a 1(2)f (x)=子+ 2a =11令 f (x)= 0，得 x =1或 x =-.2a111由 f (x) 0 ,得1vxv-；由 f (x)v0,得 0vxv;或2a2x1, 所以函数 f(x)在 jo , 2 :上单调递减，在 g ,-:上单调递增，在2 ,+1上单调递减.当一10,得一 -vxv1;由 f(x)v0,得 0vxv-或a 2a 2ax 1,所以函数 f(x)在 0 , a 上单

5、调递减，在一 1 ,-上单调递增，在 2, +a上单调递减，当 a = 2 时，f (x) 1 + 2a (2 a)ln 3 - 6a 成立,32x 1 ax+ 1当!即2 3vav0时,因为 av0,所以 mv3a 4,又3a4min=13，所以实数m 的取值范围是小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语-a，-芍.小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语利用分离参数法求解典例(2018 兰

6、州模拟) )已知函数 f(x)= x3+ x2+ b, g(x) = aIn x.(1) 若 f(x)在区间一 2, 1 上的最大值为 3 求实数 b 的值；(2) 若对任意的 x 1, e,都有 g(x) x2+ (a + 2)x 恒成立，求实数 a 的取值范围.方法演示解：(1)f (x)= 3x2+ 2x= x(3x 2),2令 f (x)= 0，得 x= 0 或 x = 3.x 3, 1 时，f (x)0，函数 f(x)为减函数.b= 0.(2)由 g(x)一 x2+ (a+ 2)x，得( (x In x)a x2- 2x, x 1, e,. In x 1 x，由于不能同时取等号， I

7、n x0，x2 2xt aw在 x 1, e上恒成立.x In x则 h ”jx+222In x(x In x J，当 x1, e时，x 1 0, x + 2 2In x= x+ 2(1 In x)0 ,从而 h (x) 0,2x 2x函数 h(x)= 一 在1, e上为增函数，x In x-h(x)min=h(1)=1，aw 4.,f (x)0，函数 f(x)为增函数,令 h(x) =x2 2xx In x,x 1, e,当1-1- 2 2b b+2-32-3f f 1-1- 2 2小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英

8、语试题、英语导学案、英语单词短语故实数 a 的取值范围为( (一s,1.解题师说小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语由不等式恒成立求解参数的取值范围问题，一般采用分离参数的方法，转化为求不含x 2x-,x 1, e的最小值问题.x In x应用体验12x 3 22. (2018 湖北七市( (州)联考)函数 f(x) = In x + 云 x + ax(a R), g(x)= e + 尹.(1)讨论 f(x)的极值点的个数;若对任意的 x (0,+ )，总有 f(x)wg(x)成立，求实数

9、 a 的取值范围.2十ax+ 1解：法一：由题意得 f (x)= x + - + a=x_-(x0)，令 f (x)= 0,即卩 x2+ ax+ 1=0, = a2 4.当= a2 4W0,即一 2wa 0 对 x0 恒成立，即 f (x)= 0 对 x0 恒成立，此时 f(x)没有极值点.当= a2 40,即卩 a2 时.若 a0,x2= 10,故 X2X10 , 当 0VXVX!或 xx2时，f (x)0;当 X1VXVX2时，f (x)2，设方程 x2+ ax+ 1 = 0 的两个不同实根为 X3, X4,则 X3+ X4= aV0, X3X4= 10，故 X3V0 , X4V0.当 x

10、0 时，f (x)0，故函数 f(x)没有极值点.综上，当 aV 2 时，函数 f(x)有两个极值点，当 a 2 时，函数 f(x)没有极值点.1法二：f (x)=x+1+a，/ x0,f(x)a+2,+ a).1当 a + 2 0,即 卩 a 2, +)时，f (x) 0 对？x0 恒成立，f(x)在(0,+a)上单 调递增，f(x)没有极值点.2当 a+2V0,即 a(a, 2)时，f(x)=0 有两个不等正数解，设为 x1,x2, f(x)21 x + ax+ 1x X1x X2参数的函数的最值问题，如本例(2)转化为x2 2xx Inx从而将问题转化为求函数h(x)=小学英语、英语课件

11、、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语小洋英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语=x+ 一+ a=(x0).XXX不妨设 0VX1VX2,则当 x (0, x时,f (x)0, f(x)单调递增，当 x (, X2)时，f (x)v0,小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语f(x)单调递减，当 x (X2,+8)时，f (x)0, f(x)单调递增，所以 Xi, X2分别为 f(x)极大值 点和极小值点，故 f( x)有两个极值点.综上所述，当 a -

12、2,+8)时，f(x)没有极值点，当 a(8,2)时，f(x)有两个极值点.x2(2)f(x) ax,ex+ x 一 In x 因为 x0，所以 aw对？x0 恒成立.ex+ x2 In x 设 0(x)= (x0),ex+ 2x 1x ex+ x2 In xexx 1 + In x + x + 1 x 12x，当 x (0,1)时,O(x)0 ,Ox)单调递增,Ox)A0(1)=e+1,awe+1.故实数 a 的取值范围为( (一8,e+ 1.利用“洛必达法则”求解函 数 与 导 数 是 高 中 数 学 的 重 要 内 容 纵 观 近 几 年 的 高 考 数 学 试 题 ， 压 轴 题 都

13、是 函 数 与导数应用的问题，其中求参数的取值范围是重点考查题型在平常教学中，教师往往介绍利用变量分离法来求解但部分题型利用变量分离法处理时，会出现“0”型的代数式，而这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.洛必达法则法则 1 若函数 f(x)和 ax)满足下列条件：(1)Iixmaf(x) = 0 及 Iixmag(x)= 0；在点 a 的去心邻域内，f(x)与 g(x)可导且 g (X)M0;/OX1.fx)I那么IimUx)Iimf_fx)I(3)Ii m= b 那么 h m =Iim= Lxagxxagxxagx法则 2 若函数 f(x)和 am 满足下列条件

14、：(1)Iixmaf(x)= 8及 Iixmag(x)=8；Iim 也=Iim1-x= I.X-ag xX-ag xaIn x b典例已知函数 f(x) =a+7 +b，曲线 y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为X + 2y 3X 十 1 x则O(x)=在点 a 的去心邻域内,f(x)与 g(x)可导且 g( (X) )工 0；(3)叽小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语小洋英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语=0.求 a, b 的值；如果当 x0 ,且XM1 时，f(x) + 求 k 的取值范围.X 1 X方法演示1由于

15、直线 x+ 2y 3 = 0 的斜率为一 2 且过点( (1,1),In X , 1 mf(X)=X+V1,所以f(x)巴 +k=宀 2lnX+k1 X21.X 1 X 1 XX2设 h(x)= 2lnX+(X0),2k 1X+ 1 +2X则 h(X)=-2.(x)v0, h(x)单调递减.而 h(1) = 0,1故当X(0,1)时，h (X)0,可得 口 h(X) )0；1当 X (1, +)时，h(x)v0，可得 dh(x) 0.从而当X0，且XM1 时，f(x) -ln- +k0,X 1 XInXk 即f(X) 芦+X.设 0vkv1.由于 y= (k 1)(*+ 1)+2X=(k 1)

16、X2+ 2x+ k 1 的图象开口 向下,1 1=44(k1)20，对称轴 X =百1，所以当 X1，三时，(k-1)(X2+1)+2X0，解：f (x) =(X +1)f1=1,故，1f?1一 1,b=1,即 ab=-2，解得1,b= 1.法一：由知设 k 1.此时 h (X)0，而 h (1)= 0,故 h (x)0，而 h (1)= 0,故当X1, 1k I寸，h(x) 0,可得匚、h(x)v0,与题设小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语1故当 x (1 ,+)时，h (x) 0，可

17、得2h (x)v0,与题设矛盾.1 x综上所述，k 的取值范围为( (8,0.(法一在处理第( (2)问时很难想到，现利用洛必达法则处理如下) )法二：由题设可得，当 x0,XM1 时，kvfxx+ i 恒成立.1 x令 g(x)=普+1(x0,xM1),1xfx2+ 1 In x x2+ 1(x)= 2再令 h(x)= (x2+ 1)ln x x2+ 1(x0 , xM1),1则 h (x)= 2xln x+ - x,1 1又 h” (x)= 2ln x + 1 -2,易知 h” (x)= 2ln x + 1 r 在(0,)上为增函数，且 h (1)=0,故当 x (0,1)时，h (x)v

18、 0,当 x (1, +8)时，h (x)0 , h (x)在(0,1)上为减函数，在(1, +8)上为增函数，故 h (x)h (1)= 0, h(x)在(0, +8)上为增函数.又h(1) = 0,当 x (0,1)时，h(x)0,当 x (0,1)时，g (x)0, g(x)在(0,1)上为减函数，在(1, +8)上为增函数.由洛必达法则知，故 k 的取值范围为( (一8, 0.解题师说解决本题第( (2)问时，如果直接讨论函数的性质，相当繁琐，很难求解采用参数与变 量分离较易理解，但是分离出来的函数式的最值无法求解，而利用洛必达法则却较好的处 理了它的最值，这是一种值得借鉴的方法.应用

19、体验3.已知函数 f(x)= x(ex 1) ax2，若当 x 0 时，f(x)0,求 a 的取值范围.解：当 x0 时，f(x)0, 即卩 x(ex 1)ax2.1当 x = 0 时，a R ；则 gs2 2(1 x)iixm1g(x) =2ii) )m1xln x1+1=2lixm11 + In x2x小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语2当 x0 时，x(ex 1) ax2等价于 aw -min.小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语

20、课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语记 h(x)= (x 1)ex+ 1, x 0,+)，则 h (x)= xeX0.因此 h(x)= (x 1)ex+ 1 在0, +s)上单调递增，且 h(x)h(0) = 0，所以 g (x)=0 , xex 1从而 g(x)= 在(0,+s)上单调递增.ex1ex由洛必达法则有 lixX0g(x)= lixm0 x = li,m0彳=1,所以 g(x)1，即有 aw1.故实数 a 的取值范围为( (一a,1._2 x1. (2017 全国卷n)设函数 f(x) = (1 x )e .(1) 讨论 f(x)的单调性；(2) 当 x 0 时

21、，f(x) 0;当 x ( 1 + 2,+a)时，f (x)V0.所以 f (x)在 ( a, 1 2) , ( 1 + 2 , +a)上单调递减，在( (一 1 ：.； 2 , 1 + 1 时，设函数 h(x)= (1 x)ex，则 h (x)= xexv0(x 0).因此 h(x)在0 , +a)上单调递减，又 h(0)=1,故 h(x)w1,所以 f(x)= (x+ 1)h(x)0(x0),所以 g(x)在0, +a)上单调递增，而 g(0) = 0,故 ex x + 1.当 0vxv1 时，f(x) (1 x)(1 + x)2,(1 x)(1 + x)2 ax 1 = x(1 a x

22、x2),记 g(X) )=e-Z , X (0 ,)，贝 y gfx1 (x) =x+1小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语取 Xo=则 Xo (0,1), (1 Xo)()(i + xo)1 2- ax。一 1= 0, 故 f(xo)axo+ 1.当 aw0 时，取 xo=_4,则 xo (0,1), f(xo) (1 xo)(1 + xo)2= 1 axo+ 1. 综上，a 的取值范围是1,+).22.已知 f(x) = xln x, g(x)= x + ax 3.(1)若对一切 x

23、(0,+s), 2f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围.1 2 一、证明：对一切 x (0,+ ), In xr 恒成立.e ex解：( (1)由题意知 2xln x x2+ ax 3 对一切 x (0, +)恒成立,3则aw2|n x+x+3.53设 h(x)= 2ln x + x+ -(x 0),则 h (x)2x.当 x (0,1)时，h (x)v0, h(x)单调递减；当 x (1, +s)时，h (x) 0, h(x)单调递增. 所以 h(x)min= h(1) = 4,因为对一切 x (0, + ) , 2f(x)g(x)恒成立， 所以 awh(x)min= 4,故实数

24、a 的取值范围是( (,4. 2问题等价于证明 xln x-x；(x 0).e e又 f(x) = xln x(x 0), f (x) = In x+ 1,当 x o , e 时，f (x) 0 , f(x)单调递增, 所以 f(x)min=fe =:设 m(x)=爲2(x0),e e1 则 m (x)=厂,e，当 (0,1)时，m (x) 0 , m(x)单调递增，当 x (1, +)时，m (x) m(x)恒成立，即 xln x42恒成立.e e所以对一切 x (0 ,+), ln xA2 恒成立.e ex23.已知函数 f(x)= bx 2ax+ 2ln x.(1) 若曲线 y= f(x)在(1, f(1)处的切线为 y= 2x+ 4,求实数 a, b 的值；5-(2) 当 b= 1 时，若 y= f(x)有两个极值点 xi, x2，且 Xi?,