第五章 动态电路的时域分析

1、第五章 动态电路的时域分析第五章 动态电路的时域分析§5.1 动态电路及其方程5.1.1 动态电路的方程当电路中含有个独立的动态元件时，建立的方程将是阶微分方程。对于线性非时变电路，电路方程就是线性常系数微分方程。在求阶线性常微分方程过程中，需要计算个积分常数，它们必须通过个初始条件来确定。因此，在分析动态电路时，不仅需要知道电路参数，还要明确电路变量（电压或电流）及其1阶至 阶导数的初始值，也就是初始条件。5.1.2 动态电路的过渡过程一般情况下，上述电路连接方式或元件参数的变化导致电路变换统称为“换路”，并且认为电路的切换发生在时刻。为了叙述方便，将换路前的最终时刻记为，把换路后

2、的最初时刻记为，而从到的时间记为换路时间。暂态过程从开始，初始条件则是指电路变量（电压或电流）及其1阶至 阶导数在的时刻的值。值得注意的是，电路的微分方程必须根据时刻以后的电路列出。5.1.3 电容电压和电感电流在换路时的连续性 对线性电路而言，在任意时刻，它的电荷、电压和电流都有如下的关系 其中、分别为电容器储存的电荷、两极的电压和电容器引线中的电流。如果令，则有 （5-1） （5-2） 由式（5-1）和式（5-2）可以看出，如果在换路过程中，即从到时间内，电流为有限值，则式（5-1）和式（5-2）中右方的积分项为零，导致电容储存电荷和电压保持连续性而不发生跃变，即 （5-3） （5-4）

3、对于在时储存了电荷而具有电压的一个线性电容，在换路瞬间电流保持为有限值的条件下，有 ，说明在换路瞬间，电容可视为一个电压为的电压源。同理，对于一个在 不带电荷的电容，在换路瞬间能保持电流为有限值的条件下，有，说明电容在换路瞬间相当于短路。对线性电感而言，在任意时刻，其磁通链、电流与电压的关系为 其中、分别为电感中的磁通链、电感绕组中的电流和电感两端的电压。如果令，则有 （5-5） （5-6）同理，如果换路前后电压为有限值，则式（5-5）和（5-6）中右方的积分项为零，导致电感中的磁通链和电流保持连续性而不发生跃变，即 （5-7） （5-8） 对于在时电流为的电感，在换路瞬间能保持电压为有限值的

4、情况下，有，说明电感在换路瞬间可以视为一个电流值为的电流源。同理，对于一个在时电流为零的电感，在换路瞬间保持电压为有限值的条件下，有，说明电感在换路瞬间相当于开路。式（5-3）、（5-4）和式（5-7）、（5-8）分别说明在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路后的瞬间电容电压和电感电流保持连续而不发生跃变。通常将上述关系称为换路定则。从上述分析可以看出，确定电路初始条件的步骤为（1）根据换路前的电路确定；（2）根据换路定则确定；（3）根据已经确定的画出时的等效电路亦称为初始条件等效电路，显然等效变换后的时刻的电路为一个直流电阻网络，很容易根据基尔霍夫定律确定其他非独立初始条件。&#

5、167;5.2一阶电路的零输入响应与时间常数5.2.1 一阶电路的一般形式 研究表明，任意一阶电路换路后都可以用图5-6（a）来表示。因此一阶电路总可以看成一个有源二端电阻网络N外接一个电容或电感构成。根据戴维南等效和诺顿等效，图5-6（a）的电路可以简成5-6（b）和图5-6（c）的电路，称为一阶电路的一般形式。即常见的电路和电路。 (a) (b) (c)图5-6 一阶电路的一般形式如果动态电路中的无外接激励源时，仅由动态元件初始储能产生的响应称为动态电路的零输入响应。因此，零输入响应仅由非零初始状态激发。5.2.2 电路的零输入响应 电路如图5-7所示，当时，开关S掷向A，经历足够长的时间

6、后处于稳态，电容被充电，其电压。开关S掷向B后，电容储存的能量将通过电阻以内能的形式释放出来。由于R是耗能元件，且电路在零输入状态下无任何激励源对电容充电，故电容电压将逐渐下降，放电电流也逐渐减小，最后电路中的电压和电流均趋近于零。现在以开关动作的时间为计时起点。开关掷向B后，根据KVL可得 又将，代入上述方程，有 （5-9）图5-7电路的零输入响应 式（5-9）就是以为变量的电路的状态方程，显然是一阶线性齐次常微分方程。开关S掷A时，电容端电压等于电源电压，故有。根据换路定则，可以确定方程(5-9)的初始条件 根据一阶线性齐次常微分方程的求解方法，令代入方程(5-9)得 即 令方程(5-9)

7、的通解为 将初始条件和通解一同代入原方程得 所以，满足初始条件的微分方程的解为 （5-10）这就是电容放电过程中电容电压的表达式。根据，电路中的电流为 (5-11)式（5-10）和式（5-11）就是电路的零输入响应。特别指出的是，和都是按相同的指数规律而衰减的，其波形图如图5-8所示。图5-8 和的波形5.2.3 时间常数由式（5-10）和式（5-11）可以看出，和衰减的快慢取决于指数中的大小。又因为即电路特征方程的特征根，仅取决于电路的结构和元件的参数。电阻R的单位为欧姆，电容的单位为法拉，则的单位为秒，被称之为电路的时间常数，并用表示。引入以后，电容电压和电流可以分别表示为 (5-12)

8、(5-13)的大小表征一阶电路过渡过程的进展速度，它是反应过渡过程特性的一个重要参数。通过以下计算来说明时间常数在过渡过程中的作用。 时， 时， 时，如此看来，零输入响应在任意时刻的值，经过一个时间常数后都衰减为原有值的36.8%,即 可见，经过一个时间常数后，衰减了63.2%,成为原有值的36.8%。将，时刻电容电压列于表5-1中。 表5-1 随时间的变化规律从表5-1可以看出，虽然从理论上讲，放电电路要经过无限长的时间后，才能衰减到零；但在实际工程中，设为经过的时间后，衰减到初始值的1% 以下，就可以认为过渡过程已经结束。 式（5-12）和式（5-13）表明：电路时间常数的数值越小，则过渡

9、过程进度的速度越快；反之，的数越大，则过渡过程进展的速度也就越慢。图5-9表示不同时间常数情况下的波形。图5-9 不同对应的波形 时间常数的大小，除了用代数方法可以计算外，还可以由几何方法来求解。如图5-10所示，取电容电压的曲线上任意一点A，过A点作曲线的切线，与时间轴交于C点，A点在时间轴上的射影为B，则图中的次切距即为时间常数。图5-10 时间常数的几何意义即 所以说，在时间坐标上次切距的长度等于时间常数。 5.2.4 电路的零输入响应 如图5-11（a）所示的电路中，开关S处于闭合状态，且电路已经达到稳态状态；即电感中的电流为。当时将开关S断开，电路简化成图5-11（b）所示的电路。在时，根据，有 又因为，代入上式可得电路的微分方程为 这也是一个一阶齐次常微分方程。根据开关S断开前的电路分析可知，根据换路定则，可以确定方程（5-14）的初始条件为 令，代入方程（5-14）解得对应的特征方程 即 再令方程（5-14）的通解为，由初始条件可知 即 所以微分方程（5-14