解角形知识点汇总和典型例题

1、文成教育学科辅导教案讲义授课对象授课教师徐老师授课时间3月11日授课题目解三角形复习总结课型复习课使用教具人教版教材教学目标熟练掌握三角形八兀素之间的关系，会解三角形教学重点和难占灵活解斜三角形4. TV、土S 士扌人教版必修5第一参考教材'早教学流程及授课详案解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1直角三角形中各兀素间的关系：在厶 ABC中，C= 90°, AB= c, AC= b, BC= a。(1)三边之间的关系：a2+ b2 = c2。(勾股定理)(2)锐角之间的关系：A+ B= 90°(3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)sin A= cos

2、 B=a , cosA= sin B= b , tan A=。ccb2 斜三角形中各兀素间的关系：在厶ABC中,A B C为其内角，a、b、c分别表示 A、B、C的对边。(1)三角形内角和：A+ B+ C= n。(2)正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等Oabc-=2R (R为外接圆半径)sin A sinB sinC(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与匕们夹角的余弦的积的两倍。a2 = b2 + c2 2bccosA;b2= c2 + a2 2cacosBc2 = a2 + b2 2abcosC。3 三角形的面积公式：1(i) Sa = 一1

3、 1aha= bhb= chc (ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高);22 21 11(2) S = absin C= _ bcsin A= _ acsin B； 也2224解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角 形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：(1) 两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角(2) 两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角第2、已知两边和他

4、们的夹角，求第三边和其他两角5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特 点。(1)角的变换因为在 ABC 中，A+B+C=,所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= tanC。.AB C A B . Csincos,cossin；2 2 2 2(2)判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式6.求解三角形应用题的一般步骤：(1) 分析：分析题意，弄清已知和所求；(2) 建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；(3) 求解：正确运用正、余弦定理

5、求解；(4) 检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型1:正、余弦定理例 1. (1 )在 ABC 中，已知 A = 32.0°, B=81.8° , a =42.9 cm,解三角形；(2)在ABC中，已知a =2° cm b=28cm, A=40°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm)。解：(1)根据三角形内角和定理，C =180° -(A B) =180° -(32.0° 81.8°) -66.2° ；sinA 一 sin32.0根据正弦定理，|3=晋呼=42.9空810

6、8.壯80.1（cm）;根据正弦定理，c /近=42出吧2 ： 74.1(cm). si nAsin32.00(2)根据正弦定理，sin B=bsi nA/%：*40 . 0.8999. a 20因为 00 v B v 1800，所以 B : 640，或 B 1160.当 B 640 时，C=180°-(A B) 180° - (40° 64°) = 76°,-磐戶前7?0，30（叭.sinA 一 sin4O016 / 12当B ：、116°时,C=18O0-(A + B)"8O0 -(4O0 +1160)=240 , c

7、= asinC =20sin24 紀 13(cm). sinA si n40点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情 形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2:三角形面积例 2 在 ABC 中，sin A cosA = ' 2 , AC = 2 , AB =3，求 tan A 的值和 ABC 的 2面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。i 2 sin A cos A 二 2 cos(A -45 )=Q 1 cos(A -45 ).2又 0 : A : 180 , . A45,60： A =105.1, 3 tan A =tan

8、(45" 60")2 - 31-V3II 2 6 sin A 二sin105 二si ng5 60 ) =sin45 coBO cos45 sin60 二4=4(.，2e。Sbc =决咒 ABsin A 打 W“2+" 3解法二：由sin A cos A计算它的对偶关系式 sin A cos A的值。2 1.(sin A cosA)12si n A cos A = 一2: A : 180, si nA 0,cosA ：0.另解(sin 222(si n A - cosA) = 1 - 2si n A cos A.si nAcosA -2+得si nA上26得 co

9、s A =、2 -6。从而 tan a = sin A = 26cosA以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢?题型3:三角形中的三角恒等变换问题例3 .在 ABC中, a、b、c分别是/ A、/ B/ C的对边长，已知 a、b、c成等比数列,c cbsinB且a2 c2=ac-be,求/ A的大小及c的值。分析：因给出的是 a、b、c之间的等量关系，要求/A,需找/ A与三边的关系，故可用2b_余弦定理。由b=ac可变形为=a,再用正弦定理可求cbsin B的值。解法一

10、： a、b、c成等比数列， b2=ac。2 2 2 2 2、又 a c =ac be,b +c a =bc。在厶ABC中,由余弦定理得:b2 c2 - a2 bc 1cosA=,-2bc 2 '2bc在厶ABC中,由正弦定理得sin/ A=60 ° ,bsin Bb sin 60=si n60ac解法二：在ABC中,由面积公式得1 1 bcsin A=acsin B。222/ b =ac,Z A=60 ° , bcsin A=b sin B。. bsinB=sinA= 3。 c评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型

11、4:正、余弦定理判断三角形形状例 4 .在 ABC中，若 2cos Bsin A= sinC ,则厶 ABC的形状一定是(A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB= sin C =sin (A+ B) =sinAcosB+cosAsinB sin (A B)= 0, A= B另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型5:三角形中求值问题B + C例5 .ABC的三个内角为A、B、C ,求当A为何值时，cos A 2cos取得最大2值，并求出这个最大值。B+C n AB+C A

12、解析：由 A+B+Cn，得 一2=2 2，所以有 cos-?- =sin ?。B+CA2AAA 1 2 3cosA+2cos 2 =cosA+2sin =1 2sin ? + 2sin 咗2（sin ? 2）+ 2 ；A 1nB+C，+3当sin 2 = 2， 即卩A= 3时，cosA+2cos ?取得最大值为点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。题型6:正余弦定理的实际应用例6. （2009辽宁卷文，理）如图， A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B, D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为

13、 75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 60°，AC=0.1km。试探究图中B, D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B, D的距离（计算结果精确到:2.449 )0.01km，1.414，解：在厶ABC中，/ DAC=30 , /ADC=60 Z DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又Z BCD=180 60° 60° =60°，ABACsin BCAsi n ABCACs in60,即 AB=sin 1520因此,BD=:0.33km。20在厶ABC中,故CB> CAD底边AD的中垂线，所以 BD=BA故

14、B, D的距离约为 0.33km。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求 的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概 念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、BC）,由A+B+C=n求C由正弦定理求a、b;（2）已知两边和夹角（如 a、b、c）,应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短 边所对的角，然后利用 A+B+C = n，求另一角；（3） 已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求 B,由A+B+C= n求 C,再由正弦定

15、理或余弦定理求 c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c,应余弦定理求 A B,再由A+BC = n，求角C。2三角学中的射影定理：在 abc中，b = a cosC - c cosA，3.两内角与其正弦值：在ABC中，A B = sin A :： sin B ,4解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角 定理及几何作图来帮助理解”。三、课后跟踪训练则厶ABC1. （2010上海文数18.）若厶ABC的三个内角满足sin A: si n B : si nC =5:11:13 ,(A)(C)，定是锐角三角形.，定是钝角三角形.(D)（B）- -定是

16、 :直角三角形.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析:由 sin A :sin B :sinC =5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13_13<0，所以角C为钝角2. （ 2010天津理数7）在厶ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2 -b22 2由余弦定理得 COSC = 112 x5 x11sin C =2、3sin B，则 A=()(A) 300(B) 600(C) 1200(D) 1500【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由正弦定理得2=1皿,，所以A=3C）2bc所以论=汪宜=曲出2 =丛泌2巫也2bc

17、2bc2bc2【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3. （ 2010湖北理数）3.在 ABC 中，a=15,b=10,A=60。，则 COSB =A - 2、亠 b 22c 兰6D 兰63 333【答案】D【解析】根据正弦定理b可得笛，10解得sin'3，又因为b",si nA si nBsin 60° si nB3B则B : A，故B为锐角，所以cos坐，故D正确.34. （ 2010广东理数）11.已知a,b,c分别是 ABC的三个内角 A,B,C所对的边，若a=1,b=.、,A+C=2B则 sinC=丄，即sin

18、A sin 60解：由 A+C=2B及 A+ B+ C=180。知，B =60。.由正弦定理知, sin A .由 a : b 知，A ： B = 60，则 A = 30,2C =180 -A-B =180 - 30 - 60 =90', sin C 二s in 90 =1AC5 （2009湖南卷文）在锐角 ABC中，BC=1,B=2A,则的值等于，ACcos A的取值范围为解析 设一 A - 6= B = 2丁由正弦定理得AC BC AC, ACc, 1 2.sin 2二 sin2cos 二 cos由锐角 ABC 得 0：2：90'：= 0 ： v : 45',又 0

19、；' ：180； - 3二： 90：= 30: 60 ,故 30 ： v ：45- : cos 3 ,2 2.AC =2cos（、2八3）.6. （ 2009全国卷i理）在 ABC中，内角A B c的对边长分别为 a、b、c，已知2 2a -c =2b，且 sin AcosC = 3cos AsinC,求 b22分析：此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手.对已知条件（1） a - c 2b左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件（2）sin AcosC二3cosAsin C,过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导

20、致找不到突破口而失分解法：在. ABC中则："sin AcosC二3cos Asin C,由正弦定理及余弦定理2 2 2有:aL?b -c2abb2 c2 _ a2|=3c,2bc（角化边）化简并整理得:2 2 2 2 2 2 2（a 一 c ）二 b .又由已知 a - c = 2b 4b = b .7 在 ABC中，已知 A B解得b=4或b =0（舍）.C成等差数列，求tan A tan C 3tanAtanC的值。 2 2 2 2解析：因为 A B、C成等差数列，又 A+ B+ C= 180°,所以A+ O 120° ,从而AC = 60 °,故

21、tan 一 =、丿3 .由两角和的正切公式，得tan ? tan ?。221 t At C=v31 - tan tan 2 2所以 tanA+tanC=亦V3tanAtanC,2 2 2 2 tanA+tanC +>/3tanAtanC = V3。2 2 2 2点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知 角求解，同时结合三角变换公式的逆用。8. （2009四川卷文）在 ABC中，A B为锐角，角A B、C所对的边分别为a、b、c，且沁烂融“帶（I）求 A B 的值；（II）若 a - b =£2 -1，求 a、b、c 的值。解（I ）T A、

22、B 为锐角，sinAu'sin B=10510二 cos A =-sin2 A=,cos B =71 si n2 B = 310510丄245 10 75 帀 42.cos（A B） =cosAcosBsin Asin B =5105102/ 0 c A + B £ 兀A +B = ,4（II ）由（丨）知 c = , . sin=-24 2sin Asin Bcsin C、5a = .、10b = .2c，即 a = 2b,c = 5b又 a _b = 2 _1、2b-b2-1 b = 19. ( 2010陕西文数17)(本小题满分12分) 在厶ABC中，已知 B=45° ,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.解 在厶 ADC中, AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos AD2 DC2 -AC2 =100 36 -19612AD|_DC2 10 62二 Z ADC=120 , Z ADB=60在厶 ABD中，AD=10, Z B=45° , Z ADB=60，由正弦定理得ABsin ZADB AD si