角形倒角压轴题

1、【解析】 A 2 B，依题意得-55【例3】 （河南竞赛题）若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是C 满足 3 A 5 B , 3 .钝角三角形2809A.ABC的内角锐角三角形三角形内角和A、 B、B .直角三角形 C360，故最小的外角为3601802C w B3A A,90C< 2 B，则这个三角形是（） D .不能确定，它对应的内角为最大内角为100 .【例5】在 ABC中，若AB 2BC , 并写出理由.B 2 A，判断 ABC的形状（锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 ），【例1】（北京市竞赛题）在 度数为.ABC 中，三个内角的度数均为整数，且

2、A BC , 4 C 7 A，贝U B 的【解析】设C x，贝U A4(x),B 180A C 18011x ,77则411x 180x x，解得701 x 84 ,77又4x是整数，得x77,故A 44 , B 59 .7【例2】 ABC中， A是最小角,m n .B是最大角，且 2 B 5 A，若 B的最大值是 m，最小值是n .则B < 180- B < B，解得 75 < B < 100，故 m n 175.5B.ABC是直角三角形.理由：如上图， AB 2BC，二 AB BC ,根据大边对大角：ACB A，作 ACD A , CD与AB交于点D ,根据等角对等

3、边：AD CD ,由外角定理：BDC A ACD 2 A,又 B 2 A , B BDC ,由等角对等边：CD BC ,又 AB 2BC ,1- AD BD CD BC -AB ,2B BCD BDC 60 ,1ACD BDC 30 ,2 ACB ACD BCD 90 .DCE 45，求证:【例6】 如下图所示，在 ABC中， ACB 90 , D、E为AB上两点，若 AE AC , BC BD.ACC.如图，2 45 , AE AC，二 523 4534A3，15B(453) (904145BCD，BCBD .A) 3 A 454 45【例7】如图,A 20ABC 中， BAC 120 ,

4、ADBC 于 D，且 AB BD CD，则 大于30B 25 C 30 DC的大小是()22252D.如图，在 DC上取DE DB，连接 AE，易得Rt ABD也Rt AED .AB AE CE , AEB 2 C ,所以 BAC 2 EAD C 2(902 C) C 120，得 C 20 .【例8】 在 ABC中， A 50，高BE、CF所在直线交于点 O，且点O不与点B、C重合，求 BOC的 度数.CO【解析】对于没有给出具体图形的几何问题，一定有要根据题意画出图形，特别是要注意是否有多解的情 况若 ABC是锐角三角形，如图(1)所示，BOCAABEACF A(90 A)(90A) 180

5、A 130若 ABC是钝角三角形，如图(2)所示，BOC90ECO90ACF90(90A)A 50从本题我们能得到一个重要结论：三角形两边上的高相交所形成的角与第三边所对的角的关系是：当此三角形是锐角三角形时，它们互补；当此三角形是钝角三角形时，它们相等.【例9】 如图，在 ABC中，BE、CD分别是 ABC、 ACB的角平分线，且 BD CE BC，贝U A的度数 为.C【解析】60 .【例10】 如图所示，已知CB II OA, C OAB 100 , E , F在CB上，且满足 FOB AOB , OE平 分 COF 求 EOB的度数； 若平行移动AB，那么 OBC : OFC的值是否随

6、之发生变化若变化，找出变化规律；若不变， 求出这个比值； 在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由.【解析】此题是一类重点题型，考查了学生的转化思想，题目难度较大，是角平分线与平行性质的综合，提 高班及精英班老师可提前给学生渗透这种思想，让学生掌握此类问题的解法. 40 ;(2) 1:2 ;(3)存在， OEC OBA 60 【例11】(2008年南通市)已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：方法1:直接法计算三角形一边的长，并求出该边上的高.方法2:补形法将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.方

7、法3:分割法选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形.现给出三点坐标：A( 1, 4) , B(2 , 2) , C(4 , 1)，请你选择一种方法计算ABC的面积，你的答案是 S ABC 【解析】 本题考查三角形面积的求法及在坐标系内求线段长度.利用方法2,如图，取点D(4 , 4)，连接AD、BD、DC SA ABCSa acdSA ABDSA BCD acd1 AD2DC25Sa BCDDC2(XdXb)Sa abd1 ADyB)Sa ABC-故应填-2 21【例12】如右图所示，BD是 ABC的角平分线，CD是 ACB的角平分线，BD、CD交于D，试探索 A与 D之间

8、的关系：.C【解析】在BDC中， D DBC DCB 180°二 DBC DCB 180° D1T DBC -21 (ABC2在 ABC 中,ABC , DCBACB) 180°A ABC2 D A 180°，即 D1ACB2DACB 180°90°- A2【例13】（05年山东中考题改编）如右图所示， BD、CD交于点D，试探索 A与BD是 ABC的外角平分线， CD也是 ABC的外角平分线,D之间的关系：.【解析】-EBCA ACB ,FCBAABC EBCFCBAABCACBA 180° A1(EBCFCB) 90&#

9、176;1-A22DBC 1 EBC , DCB 1 FCB221DBCDCB(2EBCFCB)90°1 A2在 DBC中，DDBCDCB180°° 1D 90A 180°，即D 90°1A22BD是 ABC的角平分线,【例14】如右图所示,CD是 ABC的外角平分线,DFBD、CD交于点D，试探索A与 D之间的关系：A【解析】 ACET DCEA ABC11ACE , DBC ABC2 2DCE A DBC2 DCE D DBC11二 DDBC ADBC，即 D A22【例15】如右图所示，在 ABC中，CD、BE是外角平分线，BD、CE是内

10、角平分线，BE、CE交于E ,BD、CD交于D，试探索 D与 E的关系：.D【解析】在BEO和DCO中，1 1T EBO ABF 一ABC1-180902 22同理 DCO 90 EBO DCO EOB DOC , DE【例16】如图所示, 试探索点E和D分别在ABC的边BA和CA的延长线上,CF、EF分别平分ACB和 AED,D的关系:B【解析】EGD与二 F 同理 BHC与 FHE中, F DEG 2 FCGF 中,DDEGHCBHEF ,BEGD CGFFCGBHC FHE HEFFCG HCB1-(D2B),也可连接EC ,而后利用等量代换求证.DCE与 DBE和 DAE的关系:【例1

11、7】如图所示，DC平分 ADB , EC平分 AEB，试探索【解析】连接DE ,/在 BDE 中， DBE BDE BED 180 BDE BED 180 DBE/在 ADE 中， DAE ADE AED 180又ADEADBBDE ,AEDAEBBEDDAEADBAEB 180( BDEBED)180 (180DBE)DBEADBAEBDBEDAE在DCE 中,DCECDECED180CDE1CED -2(ADBAEB)(BDEBED)DCE 1801(2DBEDAE)(BDEBED)1DBE -2(DBEDAE)1(DBE2DAE)1即： DCE ( DBE DAE)2【例18】如图，在三

12、角形 ABC中, 数.A 42°, ABC和 ACB的三等分线分别交于 D、E，求 BDC的度A【解析】设 ABC的三分之一为x， ACB的三分之一为y，3x 3y 42°180，18042即x y，所以 BDC 1803因为三角形内角和为180，所以有：88【例19】如图， A 60，线段BP、 小是.BE把 ABC三等分，线段 CP、CE把ACB三等分，则 BPE的大BA【解析】思路1:分析可知 BPC 度数，根据题设条件，线段A ABP ACP,因为 ABP、BE把 ABC三等分,60，故可以先考虑求出ABP ACP的线段 CP、CE把 ACB三等分，所以111ABP

13、 - ABC , ACP - ACB , BPE - BPC，这样只要求出ABCACB 的度数，就332可以解决问题，只需利用三角形内角和定理，即可求出.解法1 :在BPC中，因为BE平分 CBP , CE平分 BCP ,所以PE是 BPC的平分线.即BPE丄BPC .2因为A 60所以ABCACB120 ,又因为BP、BE把ABC三等分，CP、CE把 ACB三等分所以ABP1-ABC1,ACP ACB ,33又因为 BPCABP ACP,所以 2 BPE A 1( ABC ACB),3所以 BPE 1 601 12050 .2 6思路2:结合本题特有条件， 还可以把着眼点集中于BPC中，直接

14、利用三角形内角和定理解决这一问题同样由两个三等分得到1BPE BPC，不同在于我们利用三等分的另一个结论,222BCP ACB， CBP ABC .3 3解法2 :在BPC中，因为BE平分 CBP , CE平分 BCP ,所以PE是 BPC的平分线，即 BPE 1 BPC .2因为 A 60 ,所以 ABC ACB 120 .BCP CBP -( ABC ACB) 80 ,3所以 BPC 100，所以 BPE 1 10050 .22等分线，3等分线相交.A 090A2【总结】图1和图2中，分别是两个内角的易得结论：图1中有P0图2中有180°2 A360°0F290A 1200A3【例20】如图，延长四边形交于O，求证:ABCD 对边 AD ,1EOF ( EAF2交BC于FBCD).【解析】延长FO交AE于H点,2 EOF2( FHE OEA) 2( FAEAFHFAEBCD FBE 2 OEA FAE,DC , AB交于E .若OEA)AED ,AFB的平分线180FAE 2 AFH 2 OEA FAE2( FAE AFH OEA) 即 EOF 2( E