解直角角形知识点强化记忆

1、第24章解直角三角形知识点强化记忆知识点1:正弦、余弦、正切、余切的概念(1)锐角/A、/ B (/A+ / B=90 °)的三角函数:I一互余两角的三角函数关系取值范围全称简写锐角/的正弦sinA=A的对边斜边1 r=cosBOv si nA v 1si nesin锐角/的余弦cosA= * A的邻边=sinB斜边0 v cosAv 1cosinecos锐角/的正切A八NA的对边 an = . A的邻边=cotBtanA > 0tangenttan(或 tg)锐角/的余切NA的邻边cotA=ta nBNA的对边tacotA > 0cota ngentcot(或 ctg、

2、ctn)12 / 8注：对于锐角/A的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。(1)正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义;(2)sinA不是sin与A的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“sinA”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的;(3)锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。知识点2 :同角三角函数的关系：(1)平方关系：2 2sin A+cos A =1(2)商数关系：丄 a sin A tan A= cosAcotA=cosA sin A(3)倒数关系：tanA cotA=1tanA 一,cot

3、AtanA tanB=1cotA cotB=1(ZA + ZB=90注：同一锐角的正弦和余弦的平方和等于1,同一锐角的正弦与余弦的商等于正切，同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。同一锐角的正切与余切的积为1,互为倒数；互余两角正切值的积为1;互余两角余切值的积为1(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形,如：si nA =、.1cos2A , cosA=、1s in2 A ；因为/ A为锐角,所以0 v si nA v 1,0 v cosA v 1所以其中的负值舍去(2)sina 是(sina ) 2的简写，读作“sina ”的平方；不能将sin 2 a写成s ina ，

4、前者是 a的正弦值的平方，后者表示a 2的正弦值。知识点3:、互为余角的三角函数之间的关系(诱导公式)若ZA + ZB=9 0 °，贝UsinA=cos(90°A)=cosB,tanA=cot(90°A)=cotB,cosA=sin(90°A)=sinB,cotA=tan(90°A)=tanBo即任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值; 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。知识点4 :三角函数值的变化范围及规律锐角三角函数的变化情况：在 0° 90 °

5、;之间，锐角/ A的正弦值随着角度的增大而增大。 在0° 90°之间，锐角/ A的余弦值随着角度的增大而减小。在0° 90°之间，锐角/ A的正切值随着角度的增大而增大。 在0° 90°之间，锐角/ A的余切值随着角度的增大而减小。即(1)当0°V a <90 °时，sin a、tan a随着a的增大而增大，cos a、cot a随着a的增大而减小；(2)当0°W a <90 ° 时，0Wsin a <1,0<cos aW1。tan a > 0 > cot a

6、 > 0注：(1)sinA 的值从0增加到1cosA的值从1减小到0 (3) tanA的值从0开始增大，tan90的值不存在。(4) cotA的值逐渐减小到0, cot0 °的值不存在知识点5:特殊角的三角函数值特殊角有0 °、30°、45°、60°、90 °，它们的三角函数值如下表:a三角函数值、0°3 0°4 5°6 0°9 0°sin a14210222cos口1乜2豆2120tan a031不存在cot a不存在130注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0

7、76;、30°、45°、60°、90 °的正弦值分别是0、7、 2、 3、 4，而它们的余弦值分别是4、?、 2、 1、 0;2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 0°、45°、60。的正切值分别是_1二、-2、3，而它们的余切值分别是3、2、73 72i142 43知识点6:用计算器计算三角函数值用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角是必须掌握的。知识点7:解直角三角形的类型与解法:Rt ABC，/ C=90a上:冲的图 19.3.1计算边的口诀：有斜求对乘正弦有斜求邻乘余弦一无斜求对乘正切边无斜求邻乘余切一角

8、已知条件解法步骤两直角边（a, b）,a,1、由 ta nA = 求/ Ab2、/ B = 90°/ A3、c一 a +b 斜边c,直角边aa1、由 si nA = 求/ Ac2、/ B 一 90°/ A3、b- Jc2 a2 直角边、 一锐角锐角/ A、锐角/ A的邻边b1、/ B 一 90°/ A亠a _.2、由 tanA = a一 b tanAb,b _.b3、 由 cosA =k c=ccosA锐角/ A、锐角/ A的对边a1、/ B 一 90°/ A,b _.2、由 cotA = b一 a cotAaa .a3、由 si nA = c=csin

9、A斜边c、锐角/ A1、/ B 一 90°/ A亠a _2、由 si nA = a=c - sinAcb _3、 由 cosA = b=c cosAc已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的 已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的 已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的正弦；求邻边，用锐角的 余弦 正切；求斜边，用锐角的余弦。 余切；求斜边，用锐角的正弦。解直角三角形口诀（一） 已知一边一锐角，求其余边和余角求出它们很是绕，概括三句口诀妙.求直角边用乘，求斜边用除灵是对边用正，是邻边用余有斜边用弦，无斜边用切.注余边、余角即其余边和其余角已知角的三角函数，求直角边用乘，求斜边用除当已知边为斜边 时

10、，求对边用正弦，求邻边用余弦已知一直角边求另一直角边用正切和余切.口诀（二）选用关系式归纳为口诀：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切余切理当然; 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好; 已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦; 计算方法要选择，能用乘法不用除。注：直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：（1）三边之间的关系：a2 b2 =c2 （勾股定理）；（2）锐角之间的关系：/A + /E=90（3）边角之间的关系：sinA =abab,cosA =,tanA,cotA =。ccba这几句话的意思是:“有斜（斜边）

11、用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切、余切，宁乘毋除，取原避中）当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法 时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：（1）作垂线构成直角三角形；（2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。知识点&有关名词、术语的意义及高度的测量的方法1、铅垂线：重力线方向的直线。2、水平线：垂直于铅垂线的一条直线。3、仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的

12、夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。4、坡面的坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（I）的比叫做坡面坡度（或坡比）记作i,即i=.Ih5、 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,有i = =tan aI6、高度的测量的方法：构造两个相似的直角三角形，禾U用相似三角形的对应边成比例。（1）、利用平行的太阳光线（2）、利用标杆与量角仪（3）、利用物理的光学知识与平面镜知识点8三角形的面积公式：已知 ABC中，/ A、/ B/ C的对应边分别是 a、b、C,如图2,过点A作AD丄BC于点D。AD在 RtAABD 中，sinB= 即: AD = AB，si n B =

13、 c，si nB AB，1 1 1S ABC BC AD a c si nBacs in B (其中：/ B 为 a、c 的夹角)A 2 2 2同理可得：111S-ABCacsinBbcsinAabsinC (三角形的面积公式)s 222b图2注：三角形的面积等于两边与夹角正弦乘积的一半补充:1 1 1(1)基本公式：S . = S a hab hbc hc（2）海伦公式:S,广、p(p-a)(p -b)(p-c)知识点9:正弦定理、余弦定理由面积公式可得:1 1 acsin Bbcsin A2两边同时除于-c2得:asin B = bsin A =sin A sin B同理可得,正弦定理:s

14、in A正弦定理:在任一个三角形中,sin B sin C各边和它所对角的正弦的比相等。s i An sin B sinC=2R（ R ABC外接圆半径）余弦定理：如图 2： AD 二b sin C , BD 二 BC -CD 二 a -b cosC，在 Rt ABD中,由勾股定理得:2 2 2 2 2 2AB = AD BD c = (b sinC) (a-b cosC)整理得：c2 二 b2sin2Ca2-2abcosCb2cos2C =c2二 b2(sin2Ccos C)a2-2abcosC2 2 2 2 2 2=c二b a -2ab cosC 整理得到余弦定理：c = a b -2ab

15、 cosC (/ C为a、b的夹角)同理可得：（余弦定理及其变形）b2 二 a2 c22accosB.222b c - a cos A 二-2bc2.22 r a +c bcosB2aca2 二 b2 c2 -2bccos Ac2 =a22b -2ab cosC2 , 2 2 小 a +b c cosC2ab余弦定理:对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积知识点10:三角函数与相似三角形、射影定理:如图5,可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解A ADABx x+3.2A DEcos A如图 6， tan AAEAC6 一BCAE AB

16、-4备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些 三角函数与直角三角形的射影定理：10直角三角形与射影定理： CD2 =AD BDAC2 =ADBC2 二 BD AB丄a CD tan AADA ACcos A 二 AB=tanBCD二 CD2CD=AD BDcosB 二BCABbd=bc2BCBD AB射影定理：直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项在斜边上的射影和斜边的比例中项,每一条直角边是这条直角边知识点11 ：三角函数与一次函数设一次函数y =kx b经过点A(x1, y1)与B(x2, y2)那么我们可以列出方程组:则可以得到:

17、如图所示：k=ta n>x2 _x知识点12:三角函数的高中定义：（图中的圆半径为单位 1）yyx如图3，siny 同理可得：cos二x，tan, cot如图4,也可以得到相同的结论,rxy但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化，从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。补充练习21、（2009?芜湖）已知锐角 A满足关系式 2s in A - 7sin A+3=0 ,则si nA的值为-82、已知：/ A 为锐角，且 sinA= ，贝U tanA 的值为 _.3、 （2009?济南）如图，/ AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos/ AOB的值是 _一 .4、 （2007?遵

18、义）如图所示是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到 DEF .2如果AB=8cm , BE=4cm , DH=3cm，则图中阴影部分面积为 cm .B5. （2009?吉林）将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是。6、（ 2009?荆州）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面o O的圆心0,0O的半径为0.2m, AO与屋面AB的夹角为32°与铅垂线OD的夹 角为40° BF丄AB于B, OD丄AD于D, AB=2m，求屋面 AB的坡度和支架 BF的长.（参考数据：tan18 tan32。希，tan40 °.7、（2007?乐山）如图，小山上有一棵树现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚 水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离 AB .要求：（1）画出测量示意图；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）根据（2）中的数据计算 AB .3& （ 2009?株洲）如图1, Rt ABC中，/ A=90° , tanB=j，点P在线段AB上运动，点 Q、R分别在线段 BC、AC上，且使得四边形 APQR是矩形设 AP的长为x,矩形APQR的面积为