现代控制理论课件-矩阵复习_第1页
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文档简介

矩阵的复习(现代控制理论用(线性代数的复习A

a1na2n

B

b2k bbbb

an

ann

jkAnmaijAijB为第j行，kA（aijB（bjk）n=m时称为方阵，可表示为

a1n a2n

an

annAn给定najkj行第k列的全部元素而得到一个（n-1）阶行列式，称为原行列式的一个子行列式，简称子式，以jk表示。即a21

a22

a23

划掉a23的子行列

a11

ajkn阶行列式则有n行n列共n2个子式余因子或代数 如果用1jk去乘a的子式得到的结果称为a的余因子或代 式 123

一般为Ajk j

行列式的拉斯展开式为任一行或任一列的各元素与对应的余因子的乘积之和 a13 a

＝

a33上式为第一列各元素展开的拉斯展开式，任一行、任一列的元素展开结果之△值都相同

nndetaajkk12将行列式的任两行（行与行）3将行列式任一行（任一列）的元素，乘以一个给定的数以后再加到另外的任一行（或任一列）的对应45k倍，则行6用常数乘行列式任一行（或任一列）的诸元素，等于用乘这行列式。即：i在行列式中任一行（或列）元素的公因子可以提到行列式之外。ii在n×nA乘与每个元素，等于乘nAnAj=kajk 0A

ann1a11a22annI

1

x1 只有一列的矩阵x2称为列向量n维称为n维列向量 xn只有一行的矩阵

xnn五．零阵所有元素均为零的矩阵。n×mAm×nAATA

a1m a2m

an1 an2

nAT

nm

nmAAATA为对称矩阵。AAA

a1m a2m

an

anm

>0，

an

A为正定阵，这是判别正定矩阵的赛尔维斯特（sylverster）准则。，AB(a

bjk

AB(a

bjk矩阵的加减法满换律，结合律。ABC(AB)kA(kajk矩阵与矩阵相乘，ABA(ajln×m

Bblkn×r

C

nnajllCA(BC)( (BC)ABA(AB)TAT

BT

注意

AT12n×mAkkk阶行AkAA为方阵，而且其所有相当的行列式之值不为零，即满足条件则称A是满秩的n阶方阵。3余因子转置矩阵（或称伴随矩阵）A（即行与列交换）阵，并以符号A)T或A或adjA 4A是满秩的n即detA≠0）A1AA1＝A1AA1由下面公式确TA1T

(Ajk

(Akj)

5

(AB)1B1 注意(AB)1(A1)1（不等于零1(AB)2解：(AB)2＝(AB)(ABA2ABBA一般矩阵乘法不满换律，即AB≠B当AB＝BA

(AB)2＝A22ABB2 例2：求A＝ 2 2

31的逆矩阵A122detA＝－22

1＋0

3－1

311

1 2

3 1伴随矩阵adjA 11＝

1

1 ＝detA1 3x1＋3x2＋x3＝2x1－2x2＋x3＝32x1+x2+3x3＝1

解：A=

xx2

b

x

1 Ax

3 x1

11伴随矩阵adjA＝1511

5A1

det

0

1 x

2 1

x2

0 x

1 3

1

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