线性代数历考题东南大学

1、试卷(33%)填空题(E表示单位矩阵)：1.设- (1,2) ,- -(1,-1)，则 -;)2.3.4.5.6.右向量组相关；011 ?321_-2a- -123-4 L则行列式AB711k-3a5矩阵A阳的伴随矩阵A*=；设矩阵A及A E均可逆，G= E - (A E)-，则G '二分块矩阵|A O丨的逆矩阵为时，1,2,3线性-14 - / 127.设A是6 5矩阵。若齐次线性方程组 Ax-v的解空间是2维的，则齐次线性方程组ATx - v的解空间是维的;8 与向量=(1,0,1)T ,- - (1,1,1)T均正交的一个单位向量为 ;9. 已知矩阵M二¥ k ，A =

2、MM T ,贝U当数k满足条件时，A是正定的；10. 若实对称矩阵 A有两个不同的特征值，且A2 -3A 2E =0则当参数k满足条件时，矩阵E kA是正定的。(12% )求矩阵方程XA =2X B的解，其中,B= 一3012-1三( 12% )设3阶方阵A有特征值1(二重)和-1 UhJ值1的特征向量,-1的特征向量。是其相应于特征1.求A及A99992.若3阶实对称矩阵B的特征值也是1 (二重)和- 1，证明：A与B必定相似。四（12% ）设线性方程组x1 +X2 +X3 +x4=0Xi +3x2 +5x3 +5X4=2X 2 +PX3 -2 x4=q3 x 1 +2 x 2 +X3 +(

3、p + 3) X4 =-11. 问：当参数p, q满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解?2. 当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。1111 五(12% )矩阵 A= 3120。13 0-21. 求一 4 2矩阵B,使得AB =0,且秩(B) =2;2.问：是否存在秩大于2的矩阵C使得AC = 0 ?为什么?（12% ）设实对称矩阵41. 求参数k的值；2.求一正交矩阵Q，使得Qaq二B.（7% ）证明题:1.设'1, '2是矩阵A的两个互异的特征值,1,2是A的属于 1的线性无关的特征向量，3是A的属于二的特征向量。证明： 1, 2, 3线性无关。2.

4、 已知n阶方阵A相似于对角阵，并且，矩阵 A的特征向量均是矩阵 B的特征向 量（注：A , B的特征值未必相同）。证明AB二BA .（24% ）填空题:叼X 0、( 、1.假设矩阵A =0 1 0，则仁。芒0 2< )时，向量组 AQft 2假设向量组A :，则当参数七满足条件的秩为1 ； 时A的秩为2 ； 时A的秩为3。3.若向量n = '1是矩阵A = a 0 *特征向量，则（a,b）=（）b丿I1 2 0丿'a1 )4.设矩阵A=, BJb丿0 1 )，且(A + B)(A B)=A2B2，则参数 a,b满足J 0丿条件5.若矩阵3A = 30-14与对角阵人相似，

5、则X满足条件x0丿6.a是正交矩阵，则a,b,c满足条件c7.若对满足条件 A2，3A-4E =0的实对称矩阵A , aE A都是正定矩阵，则实数a必定满足条件(8% )求矩阵A =的行列式det（A）的值。(1 1 1 x31三.（15% ）已知矩阵A =二 p 2,向量b=3口 =1U 2 p1丿O1.若 是线性方程组 Ax=b的解，试求p, q的值，并求这时 Ax =b的通解;2.若Ax =b有无穷多组解，但不是Ax四.（15% ）解矩阵方程 XA=2X，B。其中=b的解，求p,q的值。'30-r1 0 2A =012,B =-1 1 0203 JO五. （15% ）设二次型f

6、(Xi,X2,X3)2x2 X 2x1X31. 写出二次型f的矩阵；2. 求正交变换 X二QY将f化成标准形，并写出相应的标准形。六.（12% ）设3阶矩阵A的特征值是2 （二重）和4，且=101T，nTT.10是A的相应于特征值2的特征向量，春h10-1是A的相应于特征值是4的特征向量。求矩阵 A及（A _ 2E）n 。七.广12、乜1、A =,B =<2x>J v>（5% ）已知矩阵。问：当参数x, y满足什么条件时,矩阵方程AX二B有解，但BY = A无解?八.（6% ）证明题：1. 已知向量组可以由：“一线性表示。若向量组, -2, -3的秩为2,证明：1,2线性无关

7、。（a b）2. 设2阶方阵A=，且a+d=2 , adbc=1。若b,c不全为零，证明：2 d丿A不与任何对角阵相似。(27% )填空题1.2.3.4.5.6.7.8.9.2 0-Ba 5,且AB二BA，则a,b的值分别为设对任意列向量X b , AX =(a+2b+3c i，则矩阵A =;X = b/a+5b+6c 丿设3阶方阵 A = )：-2：-3 ， B = 32八3- -'3冷八2。若A的行列式A =3，则矩阵B的行列式B =；设A为n阶可逆方阵，2n阶矩阵b = E A的逆矩阵为；I。A.丿齐次线性方程组3x, 2x2 3x3 =0的一个基础解系为2 2 2若二次型f (

8、x,x2,x3)=2捲x2x3 2x2tx2x3是正定的，则参数t的取值范围是;若A = a b 是正交矩阵，则参数a,b,c的值分别为 c a +2 丿假设3阶矩阵 A的特征值为2,1,-1。则行列式A A丄的值为若实二次型f, g的矩阵分别为A ='1 0 1 '2 、0 a 0、B =b7 0 b<2 J，则f,g的正惯性指数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数a,b满足(14% )假设n阶矩阵A满足A2 2A -3E =0。1. 证明矩阵A及A E均可逆，并分别求 A，及(A E) J；2. 证明：若 A = E，矩阵A - 3E肯定不可逆。J 1九(厂三(

9、 14%)假设矩阵a= 1人1 , b= 1 。已知线性方程组 Ax = b有无穷多组 a 1 1丿1-2解。试求参数-的值，并求方程组的通解(要求用Ax =b的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示)。广034、四(15% )已知矩阵A= 0-10相似于对角阵。J a 31. 求参数a的值，并求 A的特征值及相应的特征向量;2. 求一可逆矩阵 P，使得PJAP为对角阵，并写出相应的对角阵;3. 问：是否存在正交矩阵 Q，使得QAQ为对角阵？试说明你的理由。-21、(1-1-10,矩阵B =.2 10hX.广0五(12% )已知矩阵A= 01°0丿<00)求矩阵X ,使得

10、DXA =2DX B。广1、©0,鼻2 1412% )假设3维向量：£2,卩2 =1，卩3 =11<2>9。已知向量组冷，2与向量组-1, -2, -3等价。1.求1，j，'的秩及其一个最大线性无关组，并求参数a,b,c的值;2.令矩阵，:V，B = m，-2, -3 ，求满足AX =B的矩阵X。七( 6% )假设n阶矩阵A满足A2 = 2A。1. 证明：关于矩阵的秩有等式 R(2E -A) R(A)二n，并且A相似于对角阵;2. 若R(A) =r，试求行列式A + E的值。试卷四(30%)填空题1.设 A0 0则(A+2E)I。1 *-22 - / 1

11、22.若矩阵A满足A =0，则E - A的逆矩阵(E A) J =3. 若向量组i=1 t 1 ,:很=1 1 t ,3 = t 1 1 ,的秩为2，则参数t满足条件；4. 假设3阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=E-2A*，其中，A*是A的伴随矩阵，贝U B的行列式B =5. A = "1相似于对角阵的充要条件是X满足条件x丿6.00、与B =0 、2x23<312相似，则x,y =若A二7. 设(1, -1,0)T,(1,0, -1)T是3阶实对称矩阵A的相应于某个非零二重特征值的特征向量。若 A不可逆，则 A的另一个特征值为 ，相应的一个特征向量为；8. 3元非齐次线

12、性方程组Ax = b的系数矩阵的秩为2,已知a1ot2o(3是它的3个解向量，其中q =(1,1,1)T a +% =(2,4,6) T ,则该方程组的通解是 ；9. 若4阶矩阵 代B的秩都等于1,则矩阵A + B的行列式 A+B=。10% )计算下述行列式 D =111 -x11+x11111+x11的值。为 3x2 x3 = 0(15%)设线性方程组3x1 2x2 3x3 =T。问：当参数',取何值时，线性方-x1 4x2'疋=程组有唯一解？当参数 ,取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有四.*1 1(12%)假设矩阵A= 11J -1无穷多组解时，求出其通解(用

13、向量形式表示)-11,矩阵B满足A*B = A，+ 2B，其中A*是A1丿五. (10%)已知向量组 ，'，:飞线性无关，问：参数 a,b,c满足什么条件时，向量组ai匕2,b2心3,C3心!线性相关？六. (15%)已知二次型2 2 2f (Xi, X2,X3)= Xi2x2 3x3 -4xiX2 4X2X3 ,1. 写出二次型f的矩阵；2. 求一正交变换x=Qy，将f变成其标准形；3. 求当XTX=1时f (Xi,X2,X3)的最大值。七. ( 8% )证明题：1.设向量组：1,2,3,4中，1,2,3线性相关，>2, >3, >4线性无关，证明：'1能由

14、2,3,线性表示。2.设A是n阶正定矩阵，证明：矩阵A AJ -2E也是正定矩阵。(30%)填空题1.设 3 阶矩阵 A =_ , ：-2，:-3), B = (_：迈2二3,冷-3,3 心2)。若 A 的行列式A = 2，贝U B的行列式B =2.与向量=(1,0,1)及=(0,1,0)都正交的单位向量为八“2)*3.矩阵A =的伴随矩阵A =34I34丿4.假设 G =(1,1),B =(2,3)，则 G邛=； ap T=a16.已知矩阵A =20<-12时，A的秩为5.若A为方阵，则方阵bE A的逆矩阵b，二；O 2E1、，这a ，若A不可逆，则参数a满足条件27.假设n阶方阵A满

15、足A3A 2E =O，则A E是可逆的，且(A E)二；5-1 1 '8.假设矩阵A= x 4 y相似于对角阵，并且 2是A的一个二重特征值，则厂3-35参数 x, y的值分别等于 。隹11 1(12% )已知矩阵A =1九11。11A1I111九丿1.求A的行列式的值；2.根据兀的不同的值，求A的秩及列向量组的极大线性无关组。广112r 1 、四（14% ）假设矩阵A =1九1，b =2& 1 bQ+虬1.问：当参数-取什么值时,'0 0 0 '1、五（14%）已知三阶方阵 A =2x2与矩阵B =4相似,I3131 y>2.当线性方程组 Ax =b有无

16、穷多组解时，求出其通解。求参数x, y的值,并求一可逆矩阵 P，使得PAP =B。三（ 12%）假设100'A=100 ，Ba0b-11。求矩阵方程2X 二 B XA 的解。线性方程组 Ax = b有唯一解、有无穷多组解、无解?六（12%）设二次型 f （xx2,x3） = x,2 2x| - x3 - 2kXjX31. 求一可逆线性变换将 f变成其标准形；2. 根据参数k的不同取值，讨论 f的秩及正、负惯性指数；3. 问：当参数k取什么值时，f是正定二次型？七（ 6%）假设A是n阶正交阵。若 A是实对称矩阵，证明：A的特征值只能是1和-1，并且，若A = E，则-1肯定是A的特征值。

17、一、填空题1. 设3阶方阵A满足A = -A (其中AT表示A的转置),则行列式|A| =1 22. 矩阵的伴随矩阵=.3 43.向量组1,2为秩的-HI-o o_它的一个最大线性无关组是4. 设A为可逆矩阵，则矩阵万程2XA + 3B = C的解X =.5. 设矩阵A = x 2是正交矩阵，则x, y的值分别为 .y12226.二次型 f(X1, X2, X3)= 2 X1 + X2 - 3X3 + 4X1X2 一 6X2X3 的矩阵是 二、选择题1. 设A是4阶方阵，则下列条件中D 与“秩(A) = 3”等价.(A) A的列向量组线性无关，(B) 行列式|A| = 0,(C) A的3阶子式

18、都不为零，(D) 齐次线性方程组 Ax = 0的基础解系中仅含有 1个解向量2. 设A, B都是2 3的矩阵，它们的转置分别记为AT和BT,则下列等式中恒成立的是B .(A) ( ATB)T = ABT,(B) 行列式 | ATB | = 0,(C) 秩(A+B)=秩(A) + 秩(B),(D)A O Bt 0 _ ABt O0 B'oo ab.3. 下列矩阵中不能相似对角化的是A .1 1A1 21 o_B)1 1o o_1103221.计算行列式aa3二、计算题_ 15的值.-a4.下列陈述中正确的是B .(A)若两个矩阵等价,贝陀们的行列式相等，(B)若两个矩阵等价,贝陀们的秩相等，(C)若两个矩阵相似，则它们有相同的特征向量(D)若两个矩阵合冋,则它们有相同的特征值3b 2b 1-2b 5b-11-232.求矩阵A =3510的逆矩阵'2 一47 一捲x2x3 = 33.对于方程组丿捲+2x2 +3x3 =0来说,x1 + x2 + ax3 = b(1) 当参数a与b满足什么条件时无解？(2) 当