有心圆锥曲线上任一点内接正三角形存在的条件及其证明

1、有心圆锥曲线上任一点内接正三角形存在的条件及其证明湖北省大冶一中 黄震 张贵钦 435100文1以介值定理为依据，运用数形结合的思想，证明了抛物线上任一点均存在其一个内接正三角形. 通过类比，笔者发现，有心圆锥曲线也存在类似的结论.为了方便描述，本文约定，三角形三个顶点位于圆锥曲线上时，称此三角形为圆锥曲线的一个内接三角形. 结论1：过椭圆=1(a>b>0)上任一点，均存在其一个内接正三角形.结论2：过双曲线=1(a>0,b>0)上任一点，当ab时，均存在其一个内接正三角形，并当a>b时正三角形的三个顶点位于双曲线的同一支上，当a<b时正三角形的三个顶点位于

2、双曲线的两支上；当a=b时，不存在其内接正三角形.下面给出这二个结论的证明.结论1的证明：如图1，设A1，B1，A2，B2为椭圆=1(a>b>0)的四个顶点，P为椭圆上的一个动点，由对称性知，要证明结论1成立，只需证明P在第二象限且包括A1，B2两点的一条弧线段上时，过P均能作出其一个内接正三角形即可.设P是椭圆在第二象限且包括A1，B2两点的一条弧线段上的任一点，过P作切线l，在l上P点的上、下方各取一点T、Q，过P作射线PM交椭圆于M，使TPM=. 将TPM顺时针旋转至PM与PQ重合. 设旋转某时刻，PT旋转至PR，相应地PM旋至PE，记TPR=(0)，|PR|=s()，|PE

3、|=t()，f()=|PR|PE|.在旋转过程中，设PR、PE的最大长度分别为s,t，则|PR|0,s，|PE|0,t，必存在1,2，使f(1)<0，f(2)>0，当12时，因R、E分别在椭圆上连续变动，所以|PR|、|PE|均为的连续函数，所以f()也为连续函数，由介值定理知f()在区间1,2内，必存在0，使得f(0)=0，此时的三角形PRE即为所作.故结论1正确.结论2的证明：设A1、A2是双曲线=1的左、右两个顶点，P是双曲线的一个动点，由对称性知，要证结论2成立，只需证P在A2或P在第一象限内时均能（不能）作出双曲线的一个内接正三角形即可.P在A2处或在双曲线中位于第一象限

4、内的部分时，P的轨迹方程为y=(xa，y0)，设l1：y=，l2：y=，过P作双曲线的切线l，T为l上P点上方的一个点，l1到l2的角为2，l1到l的角为,于是我们有2<+(当P与A2重合时取等号).I. 当a>b时，<，2<<若=，过P作射线PM使PMl1，如图3，则TPM=，将TPM顺时针旋转至PTl2，相应地PM旋至PF，设旋转某时刻PT旋至PR，相应地PM旋至PE（R、E、F均在双曲线上），记TPR=，则02，|PR|由0递增至+，|PE|由+递减至|PF|.i) 令|PR|=s()，|PE|=t()，f()=|PR|PE|，在旋转过程中，必存在1,2得f

5、(1)<0，f(2)>0，当12时，R、E点在曲线上连续变动. |PR|，|PE|为连续函数，f()为1,2上的连续函数，由介值定理知，在1,2内，必存在0使f(0)=0，此时PRE为所作正三角形.若，过P作射线PM使PMl1，如图3，由于PM到l所成的角与l1到l所成的角相等，故在双曲线上P点上方存在一点T1，使T1PM=.将T1PM顺时针旋转至PT1l2，相应地PM旋至PF，设旋转某时刻PT1旋至PR，相应地PM旋至PE(T1、R、E、F均在双曲线上)，令T1PR=(02)，易知|PR|由|PT1|递增至+，|PE|由+递减至|PF|，下同i.若2<<，过P作射线P

6、M，使PMl1，如图4，则TPM=r<，过P作射线PK使TPK=，K在双曲线上且位于第四象限. 将TPK顺时针旋转至PTl2，相应地PK也旋至PF. 设旋转某时刻PT旋至PR，相应地PK旋至PE（R、E、F均在双曲线上）. 令TPR=(0r2)，易知|PR|由0递增至+，|PE|由|PK|递减至|PF|，下同i.故当P在A2处或位于双曲线在第一象限内的部分且a>b时，均能作出一个双曲线的内接正三角形，且位于双曲线的同一支. 当a<b时，>，r>2>.过P作直线ml1（在m上P点的上、下方各取一点、M），如图5，过P作射线PC，使CPM=，过P再作射线PN/l

7、2，设P(x0,y0)，y0=，任取x1>x0，则直线x=x1与双曲线，射线PN分别交于A、B两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，当y1>y0，y2>y0时，y1y2=>=0y1>y2，即双曲线在P点上方的曲线段必位于射线PN的上方；同理当y1<y0，y2<y0时，双曲线在P点下方的曲线段必须位于射线PM的下方.m/l1，2>射线PC的反向延长线必与双曲线的左支相交，设交点T1，将PT1逆时针旋转至PT1l2. 设旋转某时刻P旋至PR，相应地PT1旋至PE（R、E在双曲线上），令PR=(02)，记旋转过程中|PR|的最小值为s，|PE|的

8、最小值为t，则|PR|，|PE|，下同i.ii) TPN=2<，故在双曲线右支P点上方不存在两点M1、N1，使M1PN1=.在l上P点下方取一点D，则MPD=<.若MPD，则在双曲线右支P点下方也不存在两点M2，N2，使M2PN2=；若MPD>，将CPM顺时针旋转使PM、PC分别与双曲线交于M3，C1，如图6，过M3作直线M3C2/l1交PC1于C2，交l于M4，则PM3C1>PM3C2>PM4C2=2>；PM3N4不为正三角形.故当a<b时的，过双曲线上任一点均能作出一个内接正三角形，且三角形的三个顶点不能位于双曲线的同一支上.当a=b时，过P作PM

9、l1，PNl2，l3y轴，使M、N分别在P点的上、下方，并在l3上P点的上、下方各取点H、，如图7. 则MPN=NP=MPH=，将NPM顺时针方向旋转至PN与PM重合，这个过程将得不到双曲线的一个内接三角形. 将MPN逆时针方向旋转至PM与PN重合，设此过程中，PM旋至PR相应地PN旋至PE，R、E均在双曲线上，连RE过E作EJl1，交线段PR于J，交l2于G，则射线GE到l2所成的角为，且>EJP>ERP，又RPE=，ERP不为正三角形. 在NP，MP的延长线上分别取一点N1，M1，将N1PM1逆时针旋转至PN1与PH重合，或将N1PM1顺时针旋转至PM1与PN重合，由(ii)知

10、得不到正三角形，故当a=b时，过双曲线上任一点均不能作出其内接正三角形.综上所述，结论2成立.参考文献：1张贵钦 黄震 抛物线上任一点均存在其一个内接正三角形的证明. 中学数学教学 2008（2）抛物线上任一点均存在其一个内接正三角形的证明湖北省大冶一中 张贵钦 黄震 435100一、问题的提出在一次关于抛物线内容的集体备课会上，承担主讲任务的郭老师提到了解析几何课本P121的例3.例3 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.对于例3，郭老师提出了自己的想法：当三角形的一个顶点在坐标原点时，过原点可作抛物线y2=2px(p&g

11、t;0)的一个内接正三角形，现在的问题是，当三角形的一个顶点为抛物线y2=2px(p>0)上异于原点的任意一点时，过这一点是否也能作出其一个内接正三角形？郭老师的话引起了大家的思考.二、问题的解决笔者经过一段时间的联合攻关，这个问题得以解决。下面给出该问题的一种证明与同行交流.结论 过抛物线y2=2mx(m>0)上任一点均可作一个正三角形，使其另外两个顶点也在抛物线上.先引入一个定理：介值定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)，则对于f(a)与f(b)中的任意一个数c，在(a,b)内至少存在一点x0，使得f(x0)=c.证明：设O为抛物线 y2=2mx(m&g

12、t;0)的顶点，P为抛物线上的一个动点，由对称性知.要证结论成立，只需证当P在原点及在第一象限内时均能作出一个抛物线的内接正三角形即可.抛物线y2=2mx(m>0)在第一象限内的曲线段的表达式为y=，>0，故抛物线在第一象限内必存在一点C(xc,yc)，使得. 设P是抛物线上位于原点及第一象限内曲线段上的任一点，过P作切线l，在l上P点上方取一点T.)当P与O重合时，由例3知，结论正确.)若P与C重合（仍称P），如图1，过P作射线PM、PF，使TPM=，TPF=，l的倾斜角为，PMx轴. 将TPM顺时针旋转至PM与PF重合，设旋转某时刻，PT旋至PR，相应地PM也旋至PE（R、E、

13、F均在抛物线上），记TPR=(0)，易知|PR|由0递增到+. |PE|由+递减至|PF|.1令|PR|=s()，|PE|=t()，f()=|PR|PE|，在旋转过程中，必存在1,2得f(1)<0，f(2)>0，当12时，R、E点在曲线上连续变动.因 |PR|，|PE|均为的连续函数，f()也为1,2上的连续函数，由介值定理知，在1,2内，必存在0使f(0)=0，此时PRE为所作正三角形.) 若P在C点下方，如图2，kl>，设直线l的倾斜角为,则>. 过P作射线PT1,PM,PF，使PMx轴，T1PM=，TPF=+，将T1PM顺时针旋至PM与PF重合. 设旋转某时刻，PT1旋至PR，相应地PM旋至PE（T1、R、E、F均在抛物线上），设T1PR=,(0)，易知|PR|由|PT1|递增至+，|PE|由+递减至|PF|，下同文1.) 若P在C点上方，如