线性代数各知识点概述

1、东南大学数学系2006年11月<S线性代数辅导目录第一部分 行列式第二部分 矩阵的运算第三部分 矩阵的初等变换和矩阵的秩第四部分 向量组的线性相关性和向量组的秩第五部分 线性方程组第六部分 相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量第七部分 实对称矩阵和二次型第八部分 空间解析几何21 / 22第一部分行列式定义1定义设A=(aj烏，则|A=瓦(1)如2叽匕忌211%hbllMn是n!项代数和；不同行，不同列；正、负号。【例1】a32a24a242是不是4阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么?不是【例2】5x123xx123434中x , x的系数。七x ,10x12x3x122x2注：(1).

2、对角线法则一般地不再成立。举例。(2).记住上、下三角阵的行列式。.性质1 .性质(1) 行列式的基本性质；(2) 按行(列)展开；(3) 乘法定理。2. 需记住的结果：(1) Van derm onde 行列式；(2) 分块上、下三角阵的行列式。3. 例：【例3】 已知A3 =3:B3 3 二：'1 ：2 2： 2 -3： 3 ： 2 2： 3 , A = 2，求 B。-7。3 口 2 +2。=陆 +口2 _7。3 冬卜陆-73 口 2| = 7A=14*1 2【例4】已知A = 56Q 51 ,B = 30)<40 0315 0。求 A B6 1丿4.注：(1) 矩阵的加法、

3、数乘之后的行列式;(2) 容易出现的错误：520-112 70 *2r2 -7口，n 2/ 7r23 50 *(3) 分块矩阵的行列式 三计算1. 典型方法:(1) 化成低阶行列式；(2) 化成三角形行列式。2. 注：很少直接用定义计算；应先化简，后计算。3. 例【例5】13 1415 162013【例6】3-121023 12314【例7】1111乜11，人，2,爲，入4均不为零;11 +入31111十打1 '11111 +a1川122+a川2nnIIIn +a【例8】1【例9】23IIIn -1n12IIIn -2n 1n1IIIn -3n 2HIHIIIIIIIIII45III1

4、234IIIn1nn -1III32【例10】Dnbb+ab IIIa IIIFFhif+c III第二部分矩阵的运算.矩阵的乘法1.运算规律【例1】-113(1 2 ° )| 11(2I2(2 1 0)【例2】假设e是n维非零列向量， A = E -eeT。证明：A是对称矩阵,且 A2 二 A ：= eTe 二 1。2.应当注意的问题(1) 矩阵记号与行列式记号的差别；(2) 单位矩阵(用E或I表示)的每个元素都等于 1吗？不是(3) 矩阵乘法含有非零零因子，因而乘法消去律不成立;01【例3】N =° +11。°丿【例4】 人.满足满足什么条件时，由 AB二AC

5、就能推出B = C ?r As n 二 n(4) 矩阵乘法不可交换，因而一些代数恒等式不再成立。【例5】平方差公式。【例6】二项式定理。°、【例7】设A = °九1 ，求An。1°°丸【例8】与对角阵可交换的矩阵是否一定是对角阵？ 不一定，任意方阵与单位阵都是可交换的。可逆矩阵1.可逆的条件(1) 行列式不为零；(2) 秩等于阶数；(3) 存在另一矩阵使它们的乘积是单位阵;(4) 特征值全不为零。2.逆矩阵的计算(1)禾U用伴随矩阵：一般只对低阶矩阵，如二阶矩阵用这种方法。但要注意 阶矩阵的伴随矩阵是如何定义的。(2)利用初等变换：要注意避免过繁的运算。

6、f3 2【例9】求矩阵的逆矩阵 A = 23 0<3 1 2 丿重要性质，如(1)可逆矩阵肯定不是零因子；(2)1AA = A ；(3) 对于方阵A，若存在矩阵B使得AB二E，贝U A是可逆的，且 A=B ;1 1 1(4) (AB)二B A 。【例10】已知A3 =0，证明E-A是可逆的，并求其逆。【例11】已知A2 2A-3E =0。(1) 证明：A可逆，并求A ;(2) A 2E可逆，并求其逆；2【问题】：假设n阶矩阵A满足A 230。证明矩阵A及A E均可逆，并分别求 A，及(A，E) ；证明：若 A = E，矩阵A 3E肯定不 可逆。4. 伴随矩阵a b '(1) 定义

7、；如求矩阵A=的伴随矩阵2 d丿(2) aa*=A*a=|a|e ；(3) 若 A可逆，则 a* =|A A*。'1 、【例12】已知A=2 ，求A。<3*n 1【例13】假设n兰2,证明A =|A 。5. 矩阵方程各种类型的矩阵方程，正确化简成标准形式，正确求解。标准形式的矩阵方程的求解可以先求逆矩阵，再求乘积得解，或直接有初等变 换求解。可以进行验算！'2【例14】设矩阵A= 11 °2°，矩阵B满足ABA* = 2BA*十E，求B。° 1三矩阵的分块运算(1)分块矩阵的乘法规则的成立是有条件的：小矩阵间的运算要有意义，或左边的因子的列的

8、分法与右边的因子的行的分法一致B12°*kA：Fq°<°*An丿F<°Aknj'1 °°、nAI2B11A22B21【例15】求°九1<°°九【例16】已知矩阵M其中B,C是可逆矩阵，求(2) 注意：不能滥用分块。如：行列式；伴随矩阵等。第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩.概念(1) 讨论什么问题可以用初等行、列变换。有时只能用行变换，不能用列变换; 求相抵标准型要同时用初等行、列变换。解方程组，求逆矩阵，求极大无关组都只能用初等行变换，不能用列变换。(2) 行向量组等价的矩阵一定

9、是等价的。等价的矩阵的行向量组等价吗？ 等价的矩阵的行向量组不一定等价，因为等价的矩阵可能做了初等列变换。【例1】讨论矩阵的秩广 1-2 3k"A =-1 2k -3k-23.初等变换与矩阵乘法(1) 初等变换与初等矩阵的乘积；【例2】已知A 4可逆，交换其第一、三两行的得矩阵B，求AB J。(2)矩阵的等价标准形'Ero°一 亠、.一 ，一 _(Er(3) 若r(As>n)=r,则一定存在可逆矩阵 PU$,Qn>n，使得A= PIQ。0丿【例4】证明矩阵的满秩分解定理，分解成秩为1的矩阵的和。(4) 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，解矩阵方程。三.矩阵的

10、运算与秩(1) r(A) =r(AT)(2) r(A B)汀(A) r(B)(3) r(AB)乞r(A), r(B)(4) r(As nBnJ -r(A) r(B) -n(3)若 AnBnt = 0，则 r(A) r(B)乞 n【例4】假设An n满足A2二E，证明：r(A E) r(A- E)二n。【例5】假设A是s n矩阵，且r(A)二n。若AX =AY，则必有X =Y。'n,如果r(A)= n【例6】假设n 2 , A是n n矩阵。证明r(A*) = 1,如果r(A)二n -1。0,如果 r(A) ： n -1第四部分 向量组的线性相关性和向量组的秩什么叫线性相关、线性无关？什么

11、叫向量组的极大无关组，秩？重要结论。(1) 定义；(2) 简单性质：含零向量的向量组一定线性相关等；两个向量线性相关当且仅当其分量成比例；问题：如果三个向量中的任意两个向量的分量都不成比例，是否线 性无关？不一定，可能有某一行可以由其他两行线性表示。(3) 向量组的秩与矩阵的秩的关系；(4) 定理：S2时，线性相关二 存在某个j使得可以由其余S-1个向量线性表示。(5) 定理：若1,2,川，： 线性无关，1,2,川，亠线性相关，贝U可以由冷，2,川，亠线性表示。(6) 定理：若'I, -21, ：t 可以由1,2,IHs 线性表示，且 t S，则'I, -21, 线性相关。(7

12、) 定理：1,2,川，亠线性无关r(r2,川sS。(8 )定理：假设向量组1,2|l,s线性无关，并且=k1j：1 - k2j2kj s，仁 j 乞s记K m.kj。则J，川s线性无关= K可逆；S怒如何判别？(1) 线性表示，线性相关性【例 1 】 设向量 8=(-1 2 A) , a2=(-2 1 5，03=(a 2 10),1=1 b cT.问：当参数a,b,c满足什么条件时1. 1能用1,2,3线性表示？2:不能用 m3线性表示？【例2】已知向量组1,2,3 ,'1, '2, '3之间有关系：'1' '2 ,- 2 =2 二3 ,-3 ：

13、3 -1证明：1 , ： 2 , ' 3肯定线性相关【例3】求k，使得向量组2S =2,。3 =k61线性相关。-不【例5】设1, 2,，t是齐次线性方程组 Ax -二的线性无关的解向量,是其解向量。证明：:,1, 2,，t也线性无关【例 5】 设： 4 , ： 2 ,3 线性无关，k： 2,-2 = ' 2 k 3，: 3 =3 亠"：。问：k,l满足什么条件时 2,'线性无关?（2）极大无关组和秩定理：如果：2,1|, :t可以由1,2,|l,s线性表示，则rCi,、,IH, ）冬（1,： 2,川，：s）定理：如果r（： 1, ： 2,1",：

14、s） = r，则12,川，亠中任意r个线性无关的向量都是其一极大无关组。【例6】若向量组£20«2 =203 =11:'ik取什么值时,3线性相关；这时求这个向量组的一个极大无关组。【例7】求给定向量组的极大无关组：1 二 1-1T0 2 ,： 2 = 2 1 1T-1)TT：3 二 121-3) ,口4 =(1 1 22),：5 二 10T1 2)（3）注意辨别对错【例7】若1,2,川，亠线性相关，则1可由2H,s线性表示？错，不一定【例8】若有全为零的数k1,k2J|,ks使得©i k2 2川ks： s 7，则' -，川，亠线性无关。错，不一定

15、三.向量空间第五部分线性方程组解的存在性、唯一性代nX =b(1) Anx=b有解二 r(A)=r(Ab);(2) 若 r(A) =r(Ab) =r，则 A nx =b有唯一解 u r =n；(3) 若r(A) =r(Ab) =r ： n，则A, nx二b的通解中含有n-r个自由未知量。解的结构(1)齐次线性方程组人nx - :有非零解的充分必要条件是r(A)二r ： n。A 解的结构B 若r(A)=r：n，则A nx -二的基础解系中含nr个解向量；C.若r(A)二r ： n，则 乓nx =二的任意n - r个线性无关的解向量都是基础解系(2)非齐次线性方程组A, nx二b的解的结构三. C

16、ramer法则，Gauss消元法与通解的表达注：Cramer法则只适用于方程个数与未知量个数相同的情形；用Gauss消元法求解只能对增广矩阵作初等行变换，不能作列变换；通解有两种形式：用自由未知量表示；用向量形式表示。四. 例【例1】求齐次线性方程组的基础解系X1+X2+X3+X4+ X5=02x1+2x2+3x3+3x4-X=03x1+3x2+X3+X4+ X=0将系数矩阵化成行简化阶梯形矩阵，求通解，写出基础解系。 【例2】讨论解的情况并求基础解系(1 a)x1+X2+III +Xn=02x1+(2 a)x2+III+2Xn二0j IIIHIIIIHIHIIHIH IHIHn+nx2+II

17、I+(n 5)人二0【例3】问：当参数去什么值时，齐次线性方程组有非零解，有非零解时求通解X| 3x2 5X3+2X4=-1人 +X2+PX3+4X4=1x-X2-2X3+3x4=0儿 + 7x2+ 10x3+7x4=q【例4】讨论解的情况并求解 /.x11 1+X2+X3二 1X1+ x2+X3二 0X1+X2+ X3=-1【例5】设：-i-2是齐次线性方程组 Ax - -的基础解系，2线性方程组 Ax = b的特解。k1, k2表示任意常数。则 Ax二b的通解是1（1）K宀 k2（： 亠：2）（ m - -2）21（2）： 1 - k2（-：i -2）（ r 亠，2）21（3）kv'

18、;1 - k2（ ：1：2）（ ：1 2）21（4）K k2（ - .：2） （ :2）2【例6】已知：1,2,IH,s是齐次线性方程组 AxJ的基础解系，tr'1 - t22, ：2 =t2 - t23,lHs =ts - t 1问：当t1,t2取何值时，2，lll，：s也是Ax - V的基础解系。【例7】假设r（AQ =2, n 1/'2是Ax =b的解，且口n2 =1,33-2S =22求Ax = b的通解。第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量中心问题是矩阵的相似对角化问题。一矩阵的特征值、特征向量的概念和简单性质1. 计算：先求特征多项式，再求根，再解齐次线性方程组

19、的非零解<0 0 1 A【例1】 求矩阵A= 010的特征值和特征向量。I10°2. 特征多项式和迹假设A = (aj逑。则仏E-A是n次多项式，首一的，且丸E_A =" _11 +&22 +川+為)丸2+| + (_1)n|A称3)1 a?2 V 为A的迹，记为tr ( A)。3. 特征值的性质(1) 如A=(3j h的特征值是人，打，川，打，则tr(A) = 12 川 n， A = 12 川 n(2) A可逆二特征值均不为零。如果A可逆，°是A的特征值，则，°是A 的特征值；(3) 假设f(x)多项式，'°是A的特征值

20、，则f('°)是f(A)的特征值；(4) 设f (x)是A的化零多项式，则 A的特征值均是f (x)的根。【例2】假设A是3阶方阵，A 2E,2 E 代A-2E均不可逆，求 A。【例3】假设A2 = A，证明：A的特征值只能是0和1。注：错误做法：因为A|E A = ° ,则A =0或EA =0。若A =0,则0是A的特征值，若 E-A=0，贝U 1是A的特征值。二.相似矩阵及矩阵相似的必要条件定义：矩阵的相似。定理：若矩阵A与B相似，贝yp'E-A=|hE-B，且A与B有相同的特征值、迹、秩、 行列式。a 1【例4】已知矩阵A =a 1 b与B =1相似，

21、求a,b。J b b< 2丿解：A, B 相似，则 |A|=|B|=0。化简可得 |A|=(a-b)2=0,所以 a=b。另外，A, B相似，A的特征值也为0, 1, 2。当=1时，l-A|=-2ab=0 所以a=b=0。注：1.逆命题不成立2. 课程中没有介绍“充分条件”，除非对矩阵加了特定的条件(如实对称等)。【例5】 若A与B之一可逆，证明： AB与BA 一定相似。【例6】若A与Bi相似，A2与B2相似，证明:与旧相似。A2 )'、B2 J三矩阵可相似对角化问题广01'注：并非每个矩阵都相似于对角阵。如0 .' 1<0定理：n n矩阵A相似于对角阵 =

22、 A有n个线性无关的特征向量。 定理：矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。q 2 3'【例7】如:045肯定相似与对角阵。卫 0 6 ?如：10有重特征值，但相似于对角阵。<0 1丿定理：如果是矩阵A的互不相同的特征值，i1, i2,lll, iki是A的属于i的特征向量，则-11, -12JII, -1k, JILs1<s2l<sk5 线性无关。【例8】假设A=(aj )n对是上三角矩阵。证明(1)如果a11,a22JH,ann互异，则A一定相似于对角阵;(此时，A有n个不同的特征值 an,a22l,ann，所以有n个线性无关的特 征向量。)(2) 如果an,a

23、22,IH,ann全相等，而 A不是对角阵，则 A肯定不相似于 对角阵。(此时，A的n个特征值相同，且rl I - A 1 > 0 = n - nj = n - n.)定理：n n矩阵A相似于对角阵 =对于A的s重特征值，A有s个线性无关的特征 向量。(1-11、假设A =x4y相似于对角阵，2是一个二重特征值。求 x, yr3-35丿【例9】及可逆矩阵P，使得PAP是对角阵。52 -3、【例10】已知矩阵 A= -1 4 -3的特征方程有一个二重根。求参数 a的Ja 5值，并讨论 A是否可相似对角化。2注：-A =(人-2)(k -8k+18+3a)。因此，若2是两重根，则a - -2

24、，此时，特征值为 2，2，6。可以证明，这时，可以相似对 角化。2若2不是两重根，则-8儿-18 - 3a为完全平方，从而可以解得a - -2。可以证明，这时不可以相似对角化。3【例11】设n n矩阵A满足A2 = A。证明：Er o、(1) A相似于r ；I。丿(2) tr(A) = r(A)。四同时对角化问题、矩阵相似对角化的应用【例12】设n n矩阵A有n个互不相同的特征值，且 AB = BA。证明：存在 可逆阵P使得PAP , PBP均是对角阵。一3 2【例13】设A =。求An。1-2 2 丿第七部分实对称矩阵和二次型应当注意，讨论二次型与讨论实对称矩阵本质上是同一回事。 内积、Sc

25、hmidt正交化方法和正交矩阵1. 内积和正交性定义：n维向量的内积(可以用矩阵的乘积表示)正交 长度，单位向量，单位化 正交向量组定理：正交向量组是线性无关的。【例1】已知向量组J,线性无关，非零向量与中每个向量正交。证明：2,3 ,:线性无关。2. Schmidt正交化方法如果：，一：2 ,| |1 , -：s线性无关，则经过正交化、单位化可以得到一个与之等价的标准正交向量组。正交化、单位化的公式 。3. 正交矩阵定义：正交矩阵定理：n阶实矩阵A是正交矩阵二at二A的行(列)向量组是标准正交向 量组。【例2】 若上三角实矩阵 A是正交矩阵，则 A是对角阵，且主对角元是 _1。 【例3】 若

26、n阶实矩阵A是正交矩阵。则(1 )当A=1时，且n是奇数时，1是A的特征值；(2) 当A = 1, -1是A的特征值；(3) 若B也是n阶正交矩阵，且 AB| vO，贝y A+B =0。.实对称矩阵1. 实对称矩阵的基本性质(三条)：假设A是实对称矩阵，则(1) 实对称矩阵的特征值是实数；(2) 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交；(3) 存在正交矩阵Q，使得QtAQ是对角阵。2. 正交矩阵Q及对角阵QtAQ的计算。要注意与相似对角化的区别。(1【例4】假设A = 0J0 1、00。求正交矩阵Q，使得QtAQ是对角阵。【例5】设三阶实对称矩阵A的特征值为3, 1, 1,:1 是A的相

27、应于° b特征值3的特征向量。求A。法一.求正交阵；法二用相似对角化方法。【例6】假设A是n n实对称矩阵。证明：存在实对称矩阵B，使得A = B3。【例7】假设A是实对称矩阵。证明：若存在 m使得Am =0，贝U A = 0。 三二次型的矩阵二次型的矩阵都是对称矩阵，两者 对应。可逆线性变换与矩阵的合同关系两者一一对应。2 2 2【例 8】求二次型 f (x1,x2,x3 x. 2x2 - x3 - 6x1x2 - 8x2x3 的矩阵。【例9】假设M是n n矩阵(不一定是对称的)。求二次型f(X) = XtMX 的矩阵。四标准形、惯性定理与规范形1. 标准形的计算配方法：【例 10

28、】二次型 f(%,x2,x3)=为2 2x； x； 2x1x2 2x2x3注：应是可逆线性变换，故，变换前后变量个数相同。正交变换的办法：完全化成矩阵问题2 2 2【例11】已知实二次型f (捲，冷山3)=3为'ax2 x3 - 4x2x3在一正交变换下可以变成3y2 3y； ' by：。求a, b及一个合适的正交变换。2 惯性定理，正、负惯性指数定理：惯性定理定义：二次型的秩和正、负惯性指数命题：二次型的秩和正、负惯性指数可以由其矩阵的特征值确定。【例12】假设A是n n实对称矩阵，且 A2二E , r(A，E)=s。求A的秩和 正、负惯性指数。3. 分类每个实对称矩阵 A均

29、与Er合同，称此矩阵为 A的规范形。I 。于是，两个n n实对称矩阵合同 =它们有相同的秩和正惯性指数。【例14】若将n n实对称矩阵按合同关系分类，共可分成多少合同类？解：秩的取值为0, 1, 2, 3, 4,n合同类的个数为1, 2, 3, 4, 5,n+1共有(n+1)(n+2)/2.五.正定性定义：实对称矩阵、二次型的正定性、负定性定理：假设 A是n n实对称矩阵，则下述命题是等价的：1. A是正定的2. A的各个顺序主子式大于零3. A的所有特征值均大于零4. 存在实可逆矩阵P，使得A = PT P。【例13】设 f (X|, X2, X3) = X| + 2x? +1X3 4tXj

30、 X2 4X2X3。求 t ,使之为正疋-次型。【例14】设A, B都是正定矩阵。证明：AJ,A*, Am, A B都是正定的。问：AB是不是正定的？【例15】假设n n实对称矩阵A是正定的，B是n s实矩阵。证明：BTAB正定二 r (B) = s。【例16】假设nn实对称矩阵 A是正定的。证明： A+Ea1。第八部分空间解析几何.矢量代数1. 数量积几何定义：是一数量- cos3坐标表达x xi yii 4几何意义：正交=0,2. 向量积几何定义：是一向量，方向：P符合右手则；恥 引=«_in半ijk坐标表达：a x P = X!x2x3定义：(:,:,)=(:;,)3.混合积X

31、2X3xi坐标表达：(Ct, )=yi几何意义：C,)=平行六面体的体积；四面体的体积;yiy2y3y2y3共面：=(，：，)=0。yiy2y3几何意义：-; 一般地，卜：円是平行四边形面积24/22简单性质：轮回。.平面、直线i.平面方程(3) 确定平面的基本方法：点 +法向量【例i】 三点确定平面【例2】 两相交直线确定平面【例3】 两平行直线确定平面(4) 截距式方程a b c(5) 特殊形式的方程(缺项)【例4】 缺常数项表示过原点，缺 X项时表示与X轴平行。【例5】缺X, y时表示与xOy平面平行。x 1v 十 3 z【例6】 求过点（3,2,1）且通过直线的平面2-132. 直线方

32、程（1）确定直线的基本方法：点 +方向向量=对称方程（标准方程）=参数方程【例7】两点确定一条直线。【例8】两相交平面确定一条直线。【例9】求过点P（3,2,1）且与方向=（1,1,1）,： =（2,-1,0）都正交的直线。（2）直线的一般方程:=视直线为两平面的交线= 一般方程与标准方程的互换f x v - 2z = 1 【例10】化一般方程为标准方程2x_ y+ z = 23. 位置关系：理解几何含义(1)夹角【例8】X 1求直线X 1 -y 3 z 一十云与平面2x - y z=5的夹角。11 2(2)距离【例9】点到直线的距离：利用平行四边形的面积公式（底与咼的积，向量积的模）。如x-1 y 3 z x-3： 与y -2 z 12-132-13间的距离。【例10】点到平面的距离：利用在法向上的投影的绝对值。【例11】异面直线间的距离：公垂线与两直线的交点间的距离（公垂线的方向是很容易得到的）（3） 平面束【例12】 求直线Z二二三在平面x-y，3z8 = 0上的投影43-2直线方程。三一般曲线、曲面：曲面是由一个方程给定的，曲线是由两个方程给定的。由此也可看出